連續(xù)小波變換的對(duì)數(shù)模擬濾波器實(shí)現(xiàn)

1、連續(xù)小波變換的對(duì)數(shù)模擬濾波器實(shí)現(xiàn)*黃姣英1 袁海文1 何怡剛2 (1. 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100191;2. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410082)摘 要: 提出了基于對(duì)數(shù)技術(shù)的連續(xù)小波變換的模擬濾波器實(shí)現(xiàn)方法, 通過迭代和函數(shù)逼近理論可獲得無顯式表達(dá)式的小波函數(shù)的沖激響應(yīng)。小波變換的濾波器實(shí)現(xiàn)電路由沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器組構(gòu)成, Padé逼近是一種有效的有理逼近, 小波函數(shù)經(jīng)Padé逼近后可得到其有理分式逼近, 有助于濾波器設(shè)計(jì)。通過優(yōu)化濾波器組的狀態(tài)空間模型確保了電路具有大的動(dòng)態(tài)范圍, 有利于低壓低功耗運(yùn)用。仿真結(jié)果證實(shí)了

2、其可行性。 關(guān)鍵詞: 小波變換；Padé逼近；狀態(tài)空間；對(duì)數(shù)濾波器中圖分類號(hào): O426.9;TN713文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科分類代碼: 510.4030Realization of log analog filter of continuous wavelet transformHuang Jiaoying1 Yuan Haiwen1 He Yigang2(1. School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China; 2. Colle

3、ge of Electrical & Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)Abstract: A new method is presented using analog filters to implement the wavelet transform based on log circuits. First, the impulse response of wavelet without explicit expression can be gotten by iterative te

4、chnique and function approximation theory. Next, the Padé approximation is used to calculate the transfer function of the filter, whose impulse response is the required wavelet. The Padé approximation can decompose the transform function into rational form so as to be conveniently implemen

5、ted by filter synthesis. For low-power low-voltage applications, the state-space mode of the filter is optimized for dynamic range requirements. The simulations demonstrate that the method implements the required wavelet transfer in an excellent way. Keywords: Wavelet Transform; Padé approximat

6、ion; state-space; log filter1 引 言小波變換因其在時(shí)、頻兩域都有表征信號(hào)局部特征的能力, 得到了廣泛的運(yùn)用1-2,10-11。傳統(tǒng)的小波變換是用數(shù)字計(jì)算方法(即離散小波變換DWT)來實(shí)現(xiàn)的, 其實(shí)時(shí)處理性差; 近年來人們開始致力于用模擬電路實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換的研究。盡管利用開關(guān)電容技術(shù)3可實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換, 但其動(dòng)態(tài)范圍受低壓低功耗以及工藝限制; 本文提出的用對(duì)數(shù)模擬濾波器網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換的方案可以克服上述缺點(diǎn)。對(duì)數(shù)域?yàn)V波基于瞬時(shí)縮展理論5, 能在低電源電壓下, 保持高頻、可調(diào)、擴(kuò)展的動(dòng)態(tài)范圍, 可理想地實(shí)現(xiàn)線性電流傳遞函數(shù), 而其內(nèi)部的電壓信號(hào)則是非線性, 完

7、全適合混合型Soc設(shè)計(jì)。Padé逼近是有理函數(shù)逼近的一種6, 濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)經(jīng)過Padé變換可以得到其有理分式逼近, 十分利于對(duì)數(shù)濾波器組的設(shè)計(jì)。本文結(jié)合瞬時(shí)縮展電路理論與Padé逼近技術(shù)來實(shí)現(xiàn)小波變換的模擬對(duì)數(shù)電路實(shí)現(xiàn), 該方法對(duì)于小波變換的硬件實(shí)現(xiàn)具有一定的理論價(jià)值; 而采用CMOS對(duì)數(shù)電路技術(shù), 可以有助于優(yōu)化電路的低壓、低功耗設(shè)計(jì), 這將在小波變換實(shí)時(shí)處理中有很好的應(yīng)用前景。2 原 理小波函數(shù)的定義為: 設(shè)y (t)是具有緊支集的平方可積函數(shù), 即, 若其傅里葉變換 滿足條件:(1)則稱y (t)為一個(gè)基本小波或母小波函數(shù), 稱(1)式為小波函數(shù)的容許

8、條件, 容許條件的滿足保證了小波變換的反變換存在。設(shè)x(t)是平方可積函數(shù), 則有(2)則式(2)稱為x(t)的小波變換。式中: a是尺度因子且 a>0; t 反映位移, 其值可正可負(fù); 上標(biāo)“*”表示取共軛。若式(2)中不但t是連續(xù)變量, 而且a和t 也是連續(xù)變量, 因此被稱為連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,簡(jiǎn)記為CWT)。若X(w)為x(t)的傅氏變換, 則(2)式對(duì)應(yīng)的頻域表示式如式(3): (3)從式(3)可看出: 小波變換在頻域的作用相當(dāng)于用基本頻率特性為Y (w)且品質(zhì)因素恒定的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)作濾波處理。當(dāng)a連續(xù)變化時(shí),

9、 對(duì)信號(hào)作小波變換相當(dāng)于用無限多個(gè)不同中心頻率與帶寬的恒Q帶通濾波器對(duì)信號(hào)作濾波再將濾波結(jié)果求積分, 品質(zhì)因素Q為中心頻率與帶寬之比。同時(shí), 從一維連續(xù)小波變換定義中有關(guān)內(nèi)積與卷積的比較來看, 輸入信號(hào)與小波函數(shù)的卷積可以認(rèn)為是小波變換(在函數(shù)滿足關(guān)于t=0對(duì)稱的條件下, 則該結(jié)論與從內(nèi)積的角度考慮而得的結(jié)論完全相同; 如非對(duì)稱, 在計(jì)算方法上也沒有本質(zhì)的區(qū)別)。根據(jù)信號(hào)處理理論, 信號(hào)與某個(gè)函數(shù)的卷積就是信號(hào)通過以該函數(shù)特性為沖激響應(yīng)的系統(tǒng)后的輸出, 因此只要構(gòu)造沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器組, 則信號(hào)通過該濾波器組后的輸出就是信號(hào)的小波變換。這樣一來, 小波變換的實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造沖激響應(yīng)為

10、不同尺度與位移的小波函數(shù)的濾波器組的問題。需要注意的是, 在構(gòu)造不同尺度與位移的小波函數(shù)濾波器組時(shí), 要保證品質(zhì)因數(shù)與a值無關(guān)這個(gè)條件。在實(shí)際應(yīng)用中, 考慮到小波變換的冗余性以及實(shí)際實(shí)現(xiàn)的可能性, 只要將a, t 離散化, 一般取a=2 (也稱二進(jìn)小波變換)并根據(jù)實(shí)際問題取為合適值即可滿足要求。該方法為實(shí)時(shí)處理提供了可能, 尤其是對(duì)二維信號(hào)(如圖像)求其二維小波變換的情形。因其數(shù)據(jù)量巨大, 用傳統(tǒng)的離散小波變換方法不能達(dá)到實(shí)時(shí)處理, 當(dāng)輸入信號(hào)是光學(xué)信號(hào)(如遙感、氣象衛(wèi)星的圖片)時(shí), 若能構(gòu)造一個(gè)沖激響應(yīng)具有二維小波函數(shù)形式的光學(xué)濾波器, 即可立即得到相應(yīng)的二維小波變換的輸出, 實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)壓縮、

11、傳輸。下面將論述一維小濾波器的構(gòu)造。3 濾波器的構(gòu)造3.1 濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)的確定在實(shí)際構(gòu)造濾波器組時(shí), 首先是確定母小波函數(shù)。要完全滿足其時(shí)域表達(dá)式y(tǒng) (t)或頻域表達(dá)式Y(jié)(w)是不可能的, 只能進(jìn)行一定程度的近似。這種近似既可以從時(shí)域考慮, 即近似y (t), 也可以從頻域近似, 即近似Y(w)。不失一般性, 此處只討論h(t)為y (t)時(shí)的構(gòu)造方法, 至于h(t)為、等的構(gòu)造方法完全類似。設(shè)u(t)表示階躍函數(shù), 則由電網(wǎng)絡(luò)理論可知, 若h(t)為指數(shù)和形式, 即(4)式中: pj是實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù), Kj為復(fù)數(shù), 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定, 則一定可以找到一個(gè)N階線性的模擬濾波網(wǎng)絡(luò), 其沖激響

12、應(yīng)等于h(t)。因此需要解決的問題是確定式(4)中的2N個(gè)未知參數(shù)Kj及pj. 假設(shè)T為某一固定的間隔, 由于一般小波函數(shù)y (t)都不具有指數(shù)和的形式, 甚至大多數(shù)小波函數(shù)連顯式表達(dá)式都沒有, 只有通過迭代得到的其離散點(diǎn)的值y (nT), (nZ ),因此只能根據(jù)函數(shù)逼近理論由這些已知的樣點(diǎn)值構(gòu)造出h(t), 使h(t)盡量接近y (t), 這里, 具體的計(jì)算略。下面討論獲取小波函數(shù)的顯式表達(dá)式后, 如何設(shè)計(jì)所需的濾波器, 本文選擇高斯函數(shù)作為小波函數(shù)(也稱為母小波), 這是因?yàn)楦咚购瘮?shù)在它的函數(shù)支架內(nèi)具有帶通的性質(zhì), 且?guī)掃€可以由參數(shù)a來控制, 另一個(gè)重要的性質(zhì)是它的頻域形式仍然保持高斯

13、形式。一般通用的高斯函數(shù)族形式為: (5)3.2 Padé逼近Padé逼近是有理函數(shù)逼近的一種, 任何函數(shù)經(jīng)過Padé變換可以得到其有理分式逼近。在小波變換的濾波器電路實(shí)現(xiàn)中, 構(gòu)造沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的恒Q帶通濾波器組至關(guān)重要。濾波器的傳輸函數(shù)通常都表示為有理分式, 因此將小波函數(shù)轉(zhuǎn)化成有理分式形式的傳輸函數(shù)在小波濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)中顯得非常重要。對(duì)小波函數(shù)進(jìn)行Padé逼近后, 可以獲得其頻域的有理分式逼近, 然后再根據(jù)濾波器設(shè)計(jì)理論, 就可以實(shí)現(xiàn)小波濾波器的設(shè)計(jì), 圖1為模擬小波濾波器的設(shè)計(jì)流程圖。在Padé逼近中, 有理分式逼近系數(shù)的計(jì)算由母

14、小波函數(shù)y(t)的拉普拉斯變換(Laplace transform)的泰勒級(jí)數(shù)(Taylor)展開獲得。一般的, 設(shè)F(s)在s = 0處的Taylor級(jí)數(shù)為(6)式中: c0, c1, ck稱為Taylor展開系數(shù). 由于F(s)的Taylor展開式中只有零點(diǎn),并不是濾波器傳輸函數(shù)的理想表達(dá)式,故需將其變換成有理分式形式。圖1 模擬小波濾波器設(shè)計(jì)流程圖Fig. 1 Flowchart of wavelet filter design函數(shù)F(s)的Padé逼近表達(dá)式為5:(7)式中: Q(s), P(s)的系數(shù)分別為: (8)(當(dāng)k < 0時(shí), ck=0)(9)如果逼近后的有理

15、式函數(shù)分子為n次多項(xiàng)式, 分母為m次多項(xiàng)式, 則原函數(shù)可被逼近至(m+n)次多項(xiàng)式。Padé逼近的主要優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便, 具有通用性; 因此也可將Padé逼近運(yùn)用于其他的指定了脈沖響應(yīng)的濾波器設(shè)計(jì), 例如, 小波濾波器的其他母小波的設(shè)計(jì), 如Morlet小波等。結(jié)合小波的時(shí)頻局部性特性, 采用3/6 Padé逼近, 其對(duì)應(yīng)的高斯函數(shù)的Padé逼近表達(dá)式為: (10)4 電路實(shí)現(xiàn)與仿真分析本節(jié)通過采用對(duì)數(shù)濾波器網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)高斯小波變換, 整個(gè)濾波器組由6個(gè)6階帶通濾波器組成, 其傳遞函數(shù)表達(dá)式如式(10)所示。6組濾波器的中心頻率分別為: 0.156 kHz,

16、 0.312 kHz, 0.625 kHz, 1.25 kHz, 2.5 kHz和5 kHz。每個(gè)6階帶通濾波器分別由3個(gè)二階濾波器并聯(lián)而成。為了節(jié)省硬件成本, 這里采用了共享鄰近的濾波器技術(shù), 也就是說, 整個(gè)6通道的濾波器組只需13個(gè)二階濾波器便可構(gòu)成, 如圖2所示。圖2 共享型6通道濾波器組Fig. 2 Communion 6-cannel filterbank二階濾波器采用對(duì)數(shù)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)。對(duì)數(shù)域?yàn)V波技術(shù)4,6-7可在同一瞬時(shí), 對(duì)信號(hào)先進(jìn)行壓縮, 待處理后再進(jìn)行擴(kuò)展, 從而實(shí)現(xiàn)在低壓下提供高頻、可調(diào)、擴(kuò)展的動(dòng)態(tài)范圍等優(yōu)點(diǎn)。它直接利用晶體管的指數(shù)特性實(shí)現(xiàn)線性電流傳遞函數(shù), 而其內(nèi)部的電壓

17、信號(hào)則是非線性, 避免由于將非線性器件線性化所引起的功耗增加和工作速度的降低。一般可以根據(jù)濾波器的傳遞函數(shù)來設(shè)計(jì)濾波器電路。但由于受大范圍內(nèi)變化的偏置電流和電容的限制, 不可能直接通過濾波器的傳遞函數(shù)來設(shè)計(jì)狀態(tài)空間模型(state-space mode)從而得到相應(yīng)的濾波器實(shí)現(xiàn)電路。為了在優(yōu)化電路大小的同時(shí)又能保證好的電路性能, 在進(jìn)行狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換時(shí)采用了如下3種方法: 1) 為了壓縮電路面積, 共享偏置電路, 需平衡所有的濾波器系數(shù), 從而保證偏置電流相等或至少處于同一個(gè)范圍之內(nèi); 2) 增加亞輸入單元, 從而使得內(nèi)部的各個(gè)狀態(tài)變量擁有同樣的工作點(diǎn)8; 3) 電流IBIAS和電流IF彼此獨(dú)立

18、, 通過調(diào)節(jié)IBIAS與IF來分別設(shè)置信號(hào)范圍和截止頻率, 從而保證輸入信號(hào)、電流以及電容等處在一定的范圍內(nèi), 而頻率調(diào)節(jié)卻不受影響。相應(yīng)的狀態(tài)空間模型實(shí)現(xiàn)如圖3所示, 式(11)為其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程。; (11) 圖3 狀態(tài)空間模型實(shí)現(xiàn)框圖Fig. 3 Block diagram of state-space model realization為了降低總體電路功耗, 這里采用CMOS電路, 所有電路單元采用工作在亞閾值態(tài)的MOS管實(shí)現(xiàn), 一般的, 當(dāng)晶體管工作在亞閾值狀態(tài)時(shí), 有9: (12)從式(12)可以很明顯的看出ID 與VGB以及ID 與VSB呈指數(shù)關(guān)系。圖4為采用3/6 Pad

19、33;逼近后的高斯函數(shù)的脈沖響應(yīng)與理想的高斯函數(shù)的波形對(duì)照?qǐng)D, 可以看出, 高斯小波函數(shù)逼近效果非常理想, 在實(shí)際運(yùn)用中, 我們可以調(diào)節(jié)濾波器組中的偏置電流與電容可以獲得不同尺度的高斯小波函數(shù)。圖4 運(yùn)用Padé逼近后的脈沖響應(yīng)Fig. 4 Impulse response using Padé approximation圖5(a)為原始的視頻編碼信號(hào), 經(jīng)過濾波器組重構(gòu)后的信號(hào)如圖5(b)所示。從圖5可以看出, 除了在A處存在輕微瑕疵外, 重構(gòu)信號(hào)基本上與原始信號(hào)吻合。這是因?yàn)? 仿真時(shí), 濾波器組(即通道數(shù)目)數(shù)目不多, 導(dǎo)致精度有所下降; 仿真時(shí), 只選用了0.25

20、mm CMOS工藝; 對(duì)電路設(shè)計(jì)而言, 在進(jìn)行狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化時(shí), 在優(yōu)化電路大小與保證好的電路性能兩方面, 考慮有所欠缺; 以及在整體設(shè)計(jì)上, 對(duì)系統(tǒng)的最大信號(hào)頻率與幅值等進(jìn)行的考慮不足, 對(duì)系統(tǒng)做的一些分析裕度的保留不夠。(a)(b)圖5 (a)原始信號(hào) (b)重構(gòu)信號(hào)Fig. 5 (a) Initial signal; (b) Reconstruction signal5 結(jié) 論本文提出了基于對(duì)數(shù)技術(shù)的連續(xù)小波實(shí)現(xiàn), 首先分析了濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)的計(jì)算, 然后通過Padé逼近方法, 得到所需小波函數(shù)的有理分式逼近, 小波變換的濾波器實(shí)現(xiàn)電路由沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器組構(gòu)成,最后,

21、 通過優(yōu)化濾波器組的狀態(tài)空間模型確保了電路大的動(dòng)態(tài)范圍, 十分利于低壓低功耗運(yùn)用。以高斯小波變換為例, 仿真結(jié)果證實(shí)了其可行性; 而任意小波函數(shù)均能通過Padé逼近得到其有理分式逼近, 從而使本文方法具有普遍意義。仿真中出現(xiàn)的誤差分析及電路性能優(yōu)化有待進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn): 1 HUANG J Y, HE Y G, ZHAO W SH, et al. Wavelet based approach for analog filter fault detectionC. The second international conference on complex systems and

22、applications-Modeling, Control & Simulations, 2007, 14 (S2): 526-530.2 黃姣英, 何怡剛, 趙新宇. 一維模擬小波芯片設(shè)計(jì)J.湖南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2002, 29(s1): 98-101,121.黃姣英HUANG J Y, HE Y G, ZHAO X Y. The design of 1-D analog wavelet chipJ. Journal of Hunan University:Natural Sciences, 2002, 29(s1): 98- 101, 121.3 LIN J, KI W

23、H, EDWARDS T, et al. Analog VLSI implementations of auditory wavelet transforms using switched-capacitor circuits J. IEEE Transactions on Circuit and System, 1994, 41(9): 572-583.4 TSIVIDIS Y. Externally linear, time-invariant systems and their application to commanding signal processorsJ. IEEE Tran

24、sactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, 1997, 44: 65-85.5 EL-GAMAL M N, ROBERTS G W. A 1.2 V npn-only integrator for log-domain filtering J. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, 2002, 49(4): 257-265.6 BAKER G A. Essent

25、ials of Pade approximantsM. New York: Academic, 1975.7 SEEVINCK E. Companding current-mode integrator: a new circuit principle for continuous-time monolithic filtersJ. IEE Electronics Letters, 1990, 26: 2046-2047.8 MYERS C, GREENLEY B, THOMAS D, et al. Continuous-time filter design optimized for red

26、uced die area J. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express briefs, 2004, 51(3): 105-110.9 KRUMMENACHER E C, VITTOZ A. An analytical MOS transistor model valid in all regions of operation and dedicated to low-voltage and low-current applicationsJ. IEEE Journal of Analog Integrated Circuits and Signal Processing. 1995, 8: 83-114.10 邊海龍, 陳光. 基于小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)變諧波信號(hào)的檢測(cè)J. 電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào), 2008, 22(1): 1-4.BIAN H L, CHEN G J. Novel method of time-varying harmonic measurement based on wavelet transform and artificial neural network J. Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2008,