《精品》2017-2019三年高考真題數(shù)學(xué)(理)分項匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(選擇題、填空題)(解析版)

1、專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(選擇題、填空題)1 .【2019年高考全國出卷理數(shù)】已知曲線y=aex+xlnx在點(1, ae)處的切線方程為 y=2x+b,則A. a =e, b = -11C. a=e b=1【答案】DB. a=e, b=11D. a = e1, b = 1【解析】:y =aex ln x 1,切線的斜率 k = y x=1= ae+1 = 2 , j.a=e',將（1,1）代入 y=2x+b,得 2+b=1,b = _1.故選D.【名師點睛】本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點在曲線上得到含有a, b的等式，從而求解，屬于?？碱}型.2.【2018年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)函

2、數(shù) f (x) =x3+(a 1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線 y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為a. y = 2xb, y = xC. y=2xD.【答案】D【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得所以，所以曲線在點處的切線方程為故選D.【名師點睛】該題考查的是有關(guān)曲線在某個點，所以 ， ，,化簡可得 處的切線方程的問題，在求解的過程中,首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中,奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項,15從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.3.【2017年高考全國n卷理數(shù)】若 x=-2是函數(shù)f

3、(x)=(x2+ax1)ex”的極值點，則f(x)的極小值為1 . 5e-D. 1【答案】A【解析】由題可得 f (x) =(2x+a)ex，+(x2+ax _1)ex，=x2+(a + 2)x+ a _1ex，,因為 f'(2)=0,所以 a =-1 , f (x) = (x2 -x-1)ex,，故 f'(x) = (x2 + x_2)ex-1,令 f (x)0,解得 乂-2或乂1,所以f(x)在(*,2),(1,依)上單調(diào)遞增，在(2,1)上單調(diào)遞減，所以 f(x)的極小值為 f (1) =(1-1 _1)e1A = _1.故選A.【名師點睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點

4、處取得極值的充要條件是f'x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f'x0的符號不同；(2)若f(x)在(a, b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a, b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增 或減的函數(shù)沒有極值.4 .【2017年高考浙江】函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y = f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且x=0位于增區(qū)間內(nèi)，因此選 D.【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點為x0,且圖象在x0兩側(cè)附近連續(xù)分布于 x軸上下方，則x0為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單

5、調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)f (x)的正負(fù)，得出原函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間.x -xe -e 5 .【2018年局考全國n卷理數(shù)】函數(shù) f(x) = 2的圖像大致為x,J. xa2 時，f'(x)A0, f(x)單調(diào)(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢;(3)由函【答案】B_xxe -e【斛析】, x # 0, f (x )=2一 = f (xf (x )為奇函數(shù)，舍去 A ；x1* f (1 )=ee >0, 舍去 D；x_x 2 x_xx_xe e x-e-e 2x x-2ex2e遞增，舍去C.因此選B.【

6、名師點睛】有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路:數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的周期性6.【2018年高考全國出卷理數(shù)】函數(shù) y = -x4+x2 + 2的圖像大致為【答案】D【解析】函數(shù)圖象過定點 (0, 2),排除A , B ;令 y = f (x) = x4 +x2 +2,則 f (x) = -4x3 +2x = 2x(2x2 -1),由 f '(x) A0 得 2x(2x2 -1) <0,得 x <吏或0»空22此時函數(shù)單調(diào)遞增,由 f '(x) <0 得 2x(2x2 1) >0,得xA-<x&

7、lt;0,此時函數(shù)單調(diào)遞減，排除 C.故選D.【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象過的定點及由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單 調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.x -2ax 2a,7.【2019年高考天津理數(shù)】 已知a u R ,設(shè)函數(shù)f (x)=!x - aln x,x . 1,.'若關(guān)于x的不等式f (x) >0 x 1.在R上恒成立，則a的取值范圍為A. 10,11B. 10,2C. b,e】【答案】cD,1,e【解析】當(dāng)x=1時，f (1) =12a +2a = 1 >0恒成立;2當(dāng) x<1 時，f (x) =x2 2ax +2a 之 0y 2a> 恒成立

8、, x T人x2V g(x)=;，x -1x2(1-x-1)2(1-x)2-2(1-x) 1g(x)二一二二1 -x 1 -x1 - x1-1-x 1 - x'I12 W 2+?(1 x)- 2 0 ,1 V11-x J，1rc-當(dāng)1 x =- ,即x =0時取等號,2a 至g(x)max =0 ,則 a >0.當(dāng) x>1 時，f(x) =xaln x ±0,即 awIn x恒成立,令 h(x)=In x則 h(x)=In x -1 (ln x)2當(dāng)x>e時，h(x) >0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0<x<e時，h(x) <0 ,函數(shù)

9、h(x)單調(diào)遞減,則x=e時，h(x)取得最小值h(e)=e,a Mh(x)min =e ,綜上可知，a的取值范圍是0,e.故選C.【名師點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，分別利用基本不等式和求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的最值，然后解決恒成立問題.x, x : 08.【2019年高考浙江】已知a,bw R,函數(shù)f(x)=" 3 12.若函數(shù)y = f (x) axbx -一(a 1)x ax, x - 032恰有3個零點，則A . a< 1, b<0B . a< T , b>0C. a> 1, b<0D. a> T , b>0【答案】C【解析】當(dāng)

10、 x<0 時，y=f (x) ax b=x ax b= (1 a) x b= 0,得 x ,則y=f(x) - ax - b最多有一個零點；當(dāng) x>0時，y= f(x)- ax - b-x3一( a+1)x2+ax ax b-x3-( a+1)x2 b,y ' = x2 -(a +1)x ,當(dāng) a+1<0,即 a<- 1 時，v 考0y=f (x) - ax - b在0, +>)上單調(diào)遞增，則y=f (x) - ax - b最多有一個零點，不合題意；當(dāng)a+1 >0,即a> - 1時，令y >0得xC (a+1, +°°

11、),此時函數(shù)單調(diào)遞增，令y'v 0得xC0, a+1),此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.根據(jù)題意，函數(shù) y = f (x) - ax-b恰有3個零點？函數(shù)y= f (x) - ax - b在(-。)上有一個零點，在0 , +8)上有2個零點,如圖：>V0且解得 b<0, 1 - a>0, b> 一(a+1) 3,貝U a> -1, b<0.【名師點睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用xv 0 時，y = f (x) - ax - b = x - ax b= ( 1 a) x-b最多有一個零點；當(dāng) x>0時，y=f (x) - ax - b

12、-x3 - (a+1) x2-b,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意可列不等式組求解._ 一_2 _x _1_x"1- 八 _.一9.【2017年高考全國出卷理數(shù)】已知函數(shù) f(x)=x 2x + a(e +e)有唯一零點，則 a=A .C.B.D. 1【解析】函數(shù)f(x)的零點滿足x22x = a(ex+eT書),2 xJ、幾x-1厘 1x-1-x 1 x41 e - 1僅 g(x)=e +e ，則 g (x )=e -e =e -= x e e當(dāng)g'(x )=0時，x=1 ；當(dāng)x<1時，g'(x )<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞

13、減;當(dāng)x>1時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x = 1時，函數(shù)g (x)取得最小值，為g(1)= 2.2設(shè)h(x)=x -2x ,當(dāng)x = 1時，函數(shù)h(x)取得取小值，為 1,若-a a 0 ,函數(shù)h (x)與函數(shù)-ag( x)沒有交點；若-a<0,當(dāng)-ag1 )=h(1)時,函數(shù)h(x)和-ag(x)有一個交點,1即a父2 = -1 ,解得a =.故選C.2【名師點睛】函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀

14、、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10 .【2019年高考全國I卷理數(shù)】曲線 y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為 .【答案】3x - y = 0【解析】y:3(2x 1)ex 3(x2 x)ex =3(x2 3x 1)ex,所以切線的斜率k=y'|x衛(wèi)=3,x則曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x y=0.【名師點睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，而導(dǎo)致計算錯誤.求導(dǎo)要 慢”，計算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.11 .【2018年高考全國n卷理數(shù)】曲線 y = 2ln( x +1)在點(0, 0)處

15、的切線方程為 .【答案】【解析】一， 在點()處切線的斜率為一 ，則所求的切線方程為【名師點睛】 求曲線的切線要注意 過點P的切線”與在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點 P也不一定在已知的曲線上，而在點 P處的切線，必以點 P為切點.12 .【2018年高考全國出卷理數(shù)】曲線 y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為 2,則2=.【答案】【解析】y =aex+(ax+1 )ex,貝U y'|xz0=a+1 =-2 ,所以【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題4 ,13 .【2019年局考江辦】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線

16、y =x十一(x> 0)上的一個動點，則點 P到x直線x + y = 0的距離的最小值是.【答案】44.4【斛析】由y=x+ (x > 0),得y =1 -2 ,xx44、設(shè)斜率為一1的直線與曲線y = x+(x a 0)切于(x°, x° +一), xx04/2.由 12 = 1 付 x0 = V2 ( x0 = -V2 舍去),x043.2曲線y =x+ (x >0)上，點P(J2,3/2)到直線x+y = 0的距離最小，最小值為 4x、12 12故答案為4 .【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)

17、數(shù)法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題14.【2018年高考全國I卷理數(shù)】已知函數(shù)f (x) = 2sinx + sin2x ,貝U f(x)的最小值是 .【答案】所以當(dāng)-時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)-時函數(shù)單調(diào)遞增,從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間為.RkL,，2k鼠三Z ),函數(shù)的遞增區(qū)間為 £kL,2ku+-Z ),一 33 冗所以當(dāng)x=2k：t ,k = Z時，函數(shù)取得最小值，3此時一一，所以一 ,故答案是【名師點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值問題，在求解的過程中，需要明確相關(guān)的函數(shù)的求導(dǎo)公式，需要明白導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，確定出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)

18、的最小值點，從而求得相應(yīng)的三角函數(shù)值，代入求得函數(shù)的最小值15 .【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點 A處的切線經(jīng)過點（-e, -1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是.【答案】（e, 1）【解析】設(shè)出切點坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值，可得切點坐標(biāo)設(shè)點 A（%,yo ）,則 y0 =ln %.又y x則曲線y =ln1,、x在點A處的切線為yy0= 一 （x -xo）, x。一 . x .即 y -ln x0 = -1 , xo/，, e將點e,1 )代入，得-1 -ln xo =-1 ,x即 x0 In x0 =e ,考

19、察函數(shù)H (x ) = xln x ,當(dāng) xW(0,1 陽，H (x )<0,當(dāng) xW(1,y)時，H (x)>0,且 H '(x) = lnx+1,當(dāng)x>1時，H'(x)>0,H(x彈調(diào)遞增，注意到H (e )= e,故xo ln xo =e存在唯一的實數(shù)根 xo = e,此時yo =1,故點A的坐標(biāo)為（e,1）.【名師點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題:一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲

20、線可能有兩個或兩個以上的公共點.x_x16 .【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù) f (x) = e +ae (a為常數(shù)).若f (x)為奇函數(shù)，則a=； 若f (x)是R上的增函數(shù)，則 a的取值范圍是 .【答案】-1-二,01【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于a的恒等式，據(jù)此可得 a的值，然后利用f '(x)之0可得a的取值范圍.若函數(shù) f (x )=ex+ae，為奇函數(shù)，貝U f (x)= f (x )，即ej + aex = (ex+ae)，即(a+1 j(ex + e" ) = 0對任意的x恒成立，則 a +1 =0,得 a = 1.若函數(shù)f (x )=ex +ae是R

21、上的增函數(shù)，則f '(x) = ex ae/至0在R上恒成立，即a <e2x在R上恒成立，又 e2x >0,則 a W0,即實數(shù)a的取值范圍是(-g,0 1【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性？單調(diào)性？利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中，需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化成恒成立問題 .注重重點知識？基礎(chǔ)知識？基本運算能力的考查.17 .【2018年高考江蘇】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點， 則 在上的最大值與最小值的和為 .【答案】-32a【斛析】由f (x) = 6x 2ax =0得x = 0或x =,3因為函數(shù)f (x而(0,收)上有且僅有一個零點且 f (0)=1 ,所以a A0

22、, f陛=0,33因此 2 I -a1 +1 =0 解得 a = 3.33'從而函數(shù)f (x濟(jì)-1,0 上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x»ax= f (0),f、=min f(),fC)=f(D，則 f x max f Xmin = f 0 +f 一1 = 1 一 4 = -3.故答案為-3.【名師點睛】對于函數(shù)零點的個數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)的取值條件.從圖 象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向 趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.3x 118.【2017年高考江蘇】已知函數(shù)f(x)=x -2x

23、+e -,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a D+ef (2a2) <0 ,則實數(shù)a的取值范圍是.1【答案】_1,123 1 v-【解析】因為f(x) = x +2x+-e = f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)， e因為f'(x) =3x2 2+ex+e4+3x22+2jex e«之0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，又 f (a -1) + f (2a2)<0 ,即 f (2a2) < f (1-a),所以 2a2 <1 -a ,即 2a2 +a -1 <0,1斛得 一1 Ea E ,2，一，一，1故實數(shù)a的取值范圍為-1,金.【名師點睛】 解函數(shù)不等式時，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x) a