習(xí)題81反常積分的概念和計算

1、第八章 反常積分習(xí) 題 8.1 反常積分的概念和計算 xq圖 物理學(xué)中稱電場力將單位正電荷從電場中某點移至無窮遠處所做的功為電場在該點處的電位。一個帶電量的點電荷產(chǎn)生的電場對距離處的單位正電荷的電場力為（為常數(shù)），求距電場中心處的電位。解 。 證明：若和收斂，為常數(shù)，則也收斂，且。證 設(shè)，則。 計算下列無窮區(qū)間的反常積分（發(fā)散也是一種計算結(jié)果）：;；。解（1），所以 。（2），所以 。（3）。（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，此結(jié)果等于在時的結(jié)果中以代入后的結(jié)果。（5）當(dāng)時積分發(fā)散；當(dāng)時，。（6）當(dāng)時積分發(fā)散；當(dāng)時，。（7）令，則。（8）令，則。（9）利用第六章第3節(jié)習(xí)題1(10)的結(jié)果，即可得到。（10）

2、, 對等式右端任一積分（例如第二個積分）作變量代換，則，所以。 計算下列無界函數(shù)的反常積分（發(fā)散也是一種計算結(jié)果）：;解（1）。（2）。（3）令，則。（4）令，則。（5） 。，由于極限不存在，所以積分發(fā)散；同理積分也發(fā)散。 （6）令，再利用上面習(xí)題3（9），得到。 求極限。解 , 所以。 計算下列反常積分：(1);(2)。(3);(4);(5)。解 (1) 令, 再利用例，得到。(2) 令, 由, 得到 。(3) 。(4) 令, 得到。(5) 。 求下列反常積分的Cauchy主值：;。解 (1) 。(2) 。(3) 。 說明一個無界函數(shù)的反常積分可以化為無窮區(qū)間的反常積分。證 設(shè)是一個無界函數(shù)

3、反常積分，是的唯一奇點（即在的左領(lǐng)域無界）。令，則，等式右端就是一個無窮區(qū)間的反常積分。 以為例，敘述并證明反常積分的保序性和區(qū)間可加性； 舉例說明，對于反常積分不再成立乘積可積性。解 （1）保序性：設(shè)與收斂，且在成立，則；證明：由定積分的保序性，可知，再令。區(qū)間可加性：設(shè)收斂，則對任意，收斂，且；證明：由定積分的區(qū)間可加性，可知，再令。（2）設(shè)，則與收斂，但不收斂。10. 證明當(dāng)時，只要下式兩邊的反常積分有意義，就有。證 ，對上式右端兩積分中任意一個（例如第二個）作變量代換，則當(dāng)時，；且，于是由，得到。11設(shè)收斂，且。證明。證 用反證法。不妨設(shè)，則對，：，從而。由，可知，與收斂發(fā)生矛盾。同理也可證明不可能有，所以。12