淺談數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合

1、淺談數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的結(jié)合 萬州橋亭中學(xué) 秦 毅內(nèi)容摘要：為了適應(yīng)現(xiàn)代教育的需要，在現(xiàn)今的教育與教學(xué)過程中穿插一些數(shù)學(xué)史的有關(guān)軼聞趣事，能夠激發(fā)學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容產(chǎn)生好奇心，活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，不僅是廣大學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的有力幫助，而且是也是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師提高自身素養(yǎng)、更好的搞好教學(xué)工作所必需的。我們廣大教師不僅要明白數(shù)學(xué)史的重要性，最根本的是要研究如何將數(shù)學(xué)史融合到教學(xué)當(dāng)中，努力探索出一條新型的教學(xué)模式，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和綜合素質(zhì)。 關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)史一、 引言數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫，逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程

2、。數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的學(xué)科，簡單地說就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此，數(shù)學(xué)史研究對象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門交叉性學(xué)科。數(shù)學(xué)史研究已具有很長的歷史，如何在數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的知識(shí)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值則是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育改革面臨的一個(gè)重要課題。1998年4月20日至26日，由國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)發(fā)起，在法國馬賽附近的Luminy鎮(zhèn)舉行了題為“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”國際研討會(huì)

3、。張奠宙教授在重視“科學(xué)史”在科學(xué)教育中的應(yīng)用一文中指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面。目前數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用已經(jīng)進(jìn)入系統(tǒng)的研究階段，并在一些國家和地區(qū)進(jìn)行實(shí)踐性的操作。我國的數(shù)學(xué)史研究，乃至科學(xué)史研究，已經(jīng)擁有相當(dāng)規(guī)模的隊(duì)伍。但是，我們的研究似乎還沒有注意到如何運(yùn)用于教學(xué)過程，發(fā)揮它的應(yīng)有效益。現(xiàn)階段，在一定程度上，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育在世界上也算是一流的，也正因?yàn)槿绱耍覈臄?shù)學(xué)才會(huì)取得舉世矚目的成就，涌現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、牢固掌握數(shù)學(xué)基本技能、提高學(xué)生運(yùn)算能力、思維能力和空間想象能

4、力等方面，我們都有非常成功的經(jīng)驗(yàn)，也取得了相當(dāng)多的成績。近年來，我國數(shù)學(xué)教育界在提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力方面也極其重視，并且以探索出了許多成功經(jīng)驗(yàn)。我國學(xué)生在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中連年取得佳績、在國際水平測試中名列前茅，這些都是我國數(shù)學(xué)教育水平高的有力證據(jù)，我國數(shù)學(xué)教育水平高的另一個(gè)證據(jù)是，在第三次國際數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的測試中，深受中國傳統(tǒng)文化影響的亞洲參加國的測試成績遙遙領(lǐng)先于其他國家。因此，中國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的高水平成績絕不是偶然的，是有厚重的歷史積淀的，是幾代、十幾代數(shù)學(xué)教育工作者辛勤勞動(dòng)、共同的結(jié)晶，是應(yīng)該充分肯定的。但是對于現(xiàn)行教育體制中存在的問題，我們也是應(yīng)該予以

5、正視的。就在我們的教育界為上述的成就感到歡欣鼓舞時(shí)，社會(huì)上也存在著另外一種不同的聲音“現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課程處于一種十分尷尬的局面。一方面，我們現(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容一些學(xué)生學(xué)不好，學(xué)不了，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的失敗者；另一方面，很多有價(jià)值的內(nèi)容我們的學(xué)生沒有機(jī)會(huì)接觸，特別表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思考方法、數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生來源、空間圖形和統(tǒng)計(jì)等方面，與國際相比差距非常大?！蔽覀儸F(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是使得其中5% 的人取得所謂的成功上大學(xué)，而9 5 % 的人成為失敗者?！艾F(xiàn)代數(shù)學(xué)課的本質(zhì)已經(jīng)發(fā)生了很大的變化，但我們的數(shù)學(xué)課程仍然停留在20世紀(jì)初期的數(shù)學(xué)觀念上，就是把數(shù)學(xué)等同于計(jì)算、推理、證明?！薄叭绨押唵螁栴}復(fù)雜化（如要求學(xué)生回

6、答為什么5+3=8），用數(shù)學(xué)家的思維來要求孩子；人為制造難度（如要求學(xué)生回答掌握乘數(shù)和被乘數(shù)概念）；解題方法機(jī)械僵化，不允許孩子有自己的方法等等，這些弊端給孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來很大困難，并且也影響兒童的思維、情感、態(tài)度和價(jià)值觀。”有人還認(rèn)為，我國數(shù)學(xué)教育是“七分不足三分成績”。對我國數(shù)學(xué)教育的歷史和現(xiàn)狀持基本否定態(tài)度。不同的聲音是不容忽視的。我們究竟教給學(xué)生什么？是活的數(shù)學(xué)，還是死的數(shù)學(xué)？用陳省身教授的觀點(diǎn)來看，是好的數(shù)學(xué)，還是不好的數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)的成果是該拿考試的成績來衡量，還是該拿學(xué)生用數(shù)學(xué)思想來解決生活中問題的能力來衡量？這些都是擺在我們教育者面前嚴(yán)峻的問題。數(shù)學(xué)是發(fā)展的，而不是靜止不變的；數(shù)

7、學(xué)是人類思想的產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人的思想而自然存在的；數(shù)學(xué)是社會(huì)歷史的產(chǎn)物，而不是純理論性的抽象。所以，我們應(yīng)該教給學(xué)生活的、有用的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們勇于、樂于探索科學(xué)高峰的習(xí)慣。二、 數(shù)學(xué)史的作用如何才能突破傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)中機(jī)械式的計(jì)算、推理、證明的教學(xué)方法與學(xué)習(xí)方法？在這里，數(shù)學(xué)史就扮演了十分重要的角色。我們教書的目的是為了學(xué)，為了學(xué)生能夠?qū)W好、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。可若是機(jī)械的學(xué)習(xí)一些枯燥無味的東西，相信任何人都會(huì)乏味，何況對于思想還沒有成熟的中學(xué)生。數(shù)學(xué)史是豐富的、有趣的、同時(shí)又是充滿科學(xué)價(jià)值的，它們可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實(shí)過程，啟迪學(xué)生的創(chuàng)造靈感，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的熱

8、情。 正如萊布尼茲所說：“了解重大發(fā)現(xiàn)，特別是那些決非偶然的，經(jīng)過深思熟慮而得到的重大發(fā)現(xiàn)的真正起源，是極為有益的。 這不僅在于歷史可以給每一個(gè)發(fā)明者以應(yīng)有的評價(jià)，從而鼓舞其他人去爭取同樣的榮譽(yù)，而且還在于通過一些光輝的范例可以促進(jìn)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)，揭示發(fā)現(xiàn)的方法?！蔽覀兛偨Y(jié)一下，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)史有以下幾點(diǎn)：1、 激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣教師常常教育學(xué)生要明確學(xué)習(xí)目的，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，努力刻苦學(xué)習(xí)等，這很必要，但忽視了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樂趣的引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)單純地把學(xué)習(xí)變成任務(wù)來完成，因而壓力很大，使得學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭煩情緒，甚至是逆反心理一般地，學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是比較枯燥單調(diào)的，不像物理、化學(xué)那樣直觀，又不像

9、歷史、地理那樣生動(dòng)有趣。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)卮┎鍞?shù)學(xué)史的知識(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是行之有效的手段。數(shù)學(xué)家韋爾斯(A. wiles)十年磨一劍攻克費(fèi)爾馬大定理，就是因?yàn)橛辛伺d趣，從小就迷上了這個(gè)世界難題。在教學(xué)過程中根據(jù)課題內(nèi)容，適當(dāng)插人一些簡短的歷史知識(shí)就可能引起學(xué)生的注意一堂課，一個(gè)定理，乃至一句話都可能使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生終生的愛，激起他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚起他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。2、 提高思考能力 笛卡爾(descartes)解析幾何的最初閃念就是他在一次晨思時(shí)，通過蒼蠅在天花板上爬行而產(chǎn)生;還有牛頓的蘋果落地與萬有引力的發(fā)現(xiàn);等等。愛因斯坦說過“Imagination is

10、 more important than knowledge”（想象力比知識(shí)更重要）。學(xué)生們年輕更富有想象力。要讓他們發(fā)揮這一特長，就得讓學(xué)生敢于提問題，善于提問題，勤于提問題。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的知識(shí)能夠啟發(fā)學(xué)生勤于動(dòng)腦，提高他們的思考能力。3、 培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí) 數(shù)學(xué)的許多概念都是以定義的形式出現(xiàn)的，領(lǐng)會(huì)這些定義是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。但在深度不同的教材中，對同一概念會(huì)有不同的定義方式，若學(xué)生只知其然不知其所以然，他們在應(yīng)用這些定義時(shí)就不能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的程度。在教學(xué)過程中，教師講一些概念的發(fā)展過程和適用范圍是十分必要的。如讓學(xué)生從歷史的角度去了解函數(shù)的變化過程，能夠啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

11、的思路，使他們少一些盲從，多一點(diǎn)探索，這樣可從中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，以達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的。4、 培養(yǎng)探索精神世界著名教育家蘇霍姆林斯基說：“你在物理、化學(xué)、生物、數(shù)學(xué)等科目的課堂上講授教材時(shí)不要只毫無感情地說明真理，而是要引導(dǎo)青少年沿著科學(xué)的艱難道路作一次富有探索精神的、充滿為真理而斗爭的崇高動(dòng)機(jī)的旅行。人們的求知精神，追求真理與知識(shí)的火熱激清是無法抑制的，不可熄滅的，要讓這精神貫穿著全部課堂教學(xué)?！睌?shù)學(xué)教學(xué)不能局限于演示現(xiàn)成的結(jié)果，必須給學(xué)生指出創(chuàng)造性探索的困難和克服科學(xué)中這些困難的途徑。因此，要營造崇尚真知、追求真理的氛圍。要讓學(xué)生感受、理解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)

12、學(xué)史，能夠培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和探索精神學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力、獨(dú)立思考的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析問題和解決問題的能力，都可在數(shù)學(xué)史課中獲得。5、 增強(qiáng)自信心 數(shù)學(xué)之所以使一些人望而生畏，止步不前，自稱自己腦子天生的不聰明，這是由于過于強(qiáng)調(diào)理論性，從定義到定義、定理到定理的高度抽象性所致。如果把數(shù)學(xué)家實(shí)驗(yàn)時(shí)碰到過的困難、煩瑣的計(jì)算過程告訴學(xué)生，讓他們知到公布出來的是經(jīng)過幾千年精心演繹的最終結(jié)果，數(shù)學(xué)家有成功也有失敗。讓學(xué)生知到結(jié)論，更應(yīng)該讓他們知到知識(shí)發(fā)展的來龍去脈，能更加激發(fā)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣。讓學(xué)生知到世界著名的數(shù)學(xué)家也不是非常完美的，例如費(fèi)馬關(guān)于費(fèi)馬數(shù)的結(jié)論是大錯(cuò)特錯(cuò)的;希爾伯特的23

13、個(gè)著名問題中的證明某類完全函數(shù)系的有限性，1958年被永田雅否定解決，具有給定單值群的微分方程的存在性，最終被否定解決。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，鼓勵(lì)學(xué)生，使學(xué)生增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的決心和探索數(shù)學(xué)奧密的自信心。6、 提高文化素養(yǎng)數(shù)學(xué)史從數(shù)學(xué)的角度或者從自然科學(xué)的角度講，它可以促進(jìn)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展和壯大。同時(shí)，數(shù)學(xué)史作為一種歷史，它又是社會(huì)科學(xué)的范疇。以史為鏡，可以知興衰，以人為鏡，可以明得失。通過學(xué)習(xí)歷史事件可知事物的發(fā)展規(guī)律、發(fā)展趨勢、成長方式；通過了解歷史人物的思想、行為、言語可以完善自身。而相對于世界觀、人生觀、價(jià)值觀尚未形成的中學(xué)生來說，無疑能夠提高其文化素養(yǎng)，完善人格。三、 中學(xué)教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的提高近

14、幾年，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一直在大力推行教學(xué)改革。相應(yīng)的數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)課程也不斷出新?，F(xiàn)行的新課程強(qiáng)調(diào)“作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源，教科書也應(yīng)當(dāng)承擔(dān)向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)文化的重要職責(zé)。為此，教科書中應(yīng)包含一些介紹數(shù)學(xué)背景知識(shí)的輔助材料，如數(shù)學(xué)史料、一些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景材料、進(jìn)一步研究的問題、數(shù)學(xué)家介紹、數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的廣泛應(yīng)用等?！倍聦?shí)上新教材對數(shù)學(xué)史的介紹也不可能面面俱到。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握更多的數(shù)學(xué)史料，有效地將其穿插于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，豐富教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，更好地完成現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教育任務(wù)。因此，提高初中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)有著非常重要的作用。1、 數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是教師數(shù)學(xué)修養(yǎng)的

15、重要組成部分從初中數(shù)學(xué)教師自身的知識(shí)素質(zhì)來講，除了掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)以及較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系以外，還應(yīng)該了解一些必要的數(shù)學(xué)史知識(shí)，以達(dá)到知識(shí)上的完整。事實(shí)上有相當(dāng)一部分教師在這方面尚很欠缺，他們不大清楚本學(xué)科知識(shí)體系的形成、發(fā)展及目前的發(fā)展?fàn)顩r，甚至連最基本的運(yùn)算符號(hào)的產(chǎn)生也不甚了解。另外，為了更好地適應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育研究，教師不僅要具有較高的教學(xué)水平，還要具備相當(dāng)?shù)目蒲心芰Γ@是教師自身素質(zhì)的一個(gè)方面。通過掌握數(shù)學(xué)史知識(shí)來培養(yǎng)教師啟迪、創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的才能，以此預(yù)見未來，這正如數(shù)學(xué)家龐加萊所認(rèn)為的：“如果我們希望預(yù)知數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。”通過對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思

16、想的演變過程的學(xué)習(xí)，教師就可得到啟示，獲得新的發(fā)展。可見，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該提高自身的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，豐富自己的數(shù)學(xué)視野。教師不能由于教學(xué)工作繁忙而造成自己在數(shù)學(xué)史素養(yǎng)上的缺陷，從而影響自身素質(zhì)的提高。2、 較高的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是教師更好地從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)的需要隨著新課程改革的推進(jìn)，提高中學(xué)生的綜合素質(zhì)是當(dāng)今中學(xué)教育的總目標(biāo)。而在初中學(xué)校有著相當(dāng)一部分學(xué)生，因?yàn)榉N種原因?qū)?shù)學(xué)有厭學(xué)傾向。以往的應(yīng)試教育可以通過強(qiáng)化訓(xùn)練來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力；而在當(dāng)前的教學(xué)中，需要通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)來提高教學(xué)質(zhì)量。在教學(xué)中教師適當(dāng)?shù)卮┎褰榻B一些數(shù)學(xué)史知識(shí)會(huì)取得很好的教學(xué)效果。一方面增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

17、的趣味性，使原來比較枯燥的數(shù)字符號(hào)變得生動(dòng)、有趣，符合中學(xué)生的心理特征;另一方面，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，通過先人的創(chuàng)造發(fā)明，引發(fā)中學(xué)生本能地產(chǎn)生一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造的欲望，并把握這種激發(fā)學(xué)生向更高知識(shí)點(diǎn)深入學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和興趣。而在現(xiàn)今的中學(xué)教材里，數(shù)學(xué)史知識(shí)還是不足的，這需要教師能給予一定的補(bǔ)充。因此，足夠的、比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史知識(shí)是數(shù)學(xué)教師必須掌握的。3、 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史是教師掌握數(shù)學(xué)思想方法的一條有效途徑 在面向21世紀(jì)的素質(zhì)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法尤為重要。歷史上的牛頓、歐拉、高斯等人，既精通微觀的數(shù)學(xué)方法，也懂得宏觀的數(shù)學(xué)方法。因此，數(shù)學(xué)教師也要重點(diǎn)掌握數(shù)學(xué)方法。而了解數(shù)學(xué)史是了解

18、數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)方法的必由之路。有些初中數(shù)學(xué)教師不能認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對數(shù)學(xué)思想方法的掌握也是零亂的，因而遇到需要解決的實(shí)際問題時(shí)，常帶有極大的盲目性，而加強(qiáng)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)方法論的學(xué)習(xí)則是克服這一弊端的理想方法。因此，教師通過對數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，可以了解數(shù)學(xué)概念和教學(xué)理論的形成過程，特別是數(shù)學(xué)思想方法的形成。如無理數(shù)的概念，大約在公元前5世紀(jì)末，傳說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中有一個(gè)叫希帕蘇斯的門徒發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，這引起了數(shù)學(xué)史上所說的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，結(jié)果被認(rèn)為有罪而處死。由于不承認(rèn)無理數(shù)，古希臘人由此而限制了算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展，轉(zhuǎn)而強(qiáng)調(diào)幾何，因?yàn)閹缀嗡枷肟梢悦庥诿鞔_碰到無理數(shù)是否是數(shù)這個(gè)問題，這不僅迷惑了人們的視野，同時(shí)也阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展。雖然在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代已導(dǎo)出了第一個(gè)被認(rèn)識(shí)的無理數(shù)，但真正承認(rèn)無理數(shù)卻經(jīng)歷了約一千多年的歷程。在其過程中，對于無理數(shù)是否是數(shù)老是爭論不休。例如，17世紀(jì)的牛頓仍然認(rèn)為無理數(shù)只能作為幾何上的量來理解，無理數(shù)僅僅是記號(hào)，而笛卡爾在17世紀(jì)前期就承認(rèn)無理數(shù)是能代表連續(xù)變量的抽象的數(shù)。這僅僅是對無理數(shù)演變過程的極簡單的陳述，類似的實(shí)例在數(shù)學(xué)史中比比皆是。 綜觀數(shù)學(xué)史料，特別是一些數(shù)學(xué)概念、定理