北師大七年級下冊數(shù)學培優(yōu)壓軸題

1、北師大版七年級下冊數(shù)學培優(yōu)壓軸題一解答題（共8小題）1已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120°，MBN=60°，MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)當MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；當MBN繞B點旋轉到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明 2 （1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD求證：EF=BE+FD；（2）

2、 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD，（1）中的結論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明3如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是 ；設BDC

3、的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是 （2）猜想論證：當DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究：已知ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DEAB交BC于點E（如圖4）若在射線BA上存在點F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應的BF的長 4如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正APC和正PBD（1）當APC與PBD的面積之和取最小值時，AP=

4、 ；（直接寫結果）（2）連接AD、BC，相交于點Q，設AQC=，那么的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由；（3）如圖2，若點P固定，將PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明） 5如圖1，RtABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F試判斷DEF的形狀，并加以證明說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列

5、、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明1、畫出將BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉90°后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（ACKN，如圖2）附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷DEF的形狀，并說明理由 6如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，DMN也隨之整體移動）（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖2，當點M在BC上時

6、，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由 7已知：等邊三角形ABC；（1）如圖1，P為等邊ABC外一點，且BPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊ABC內一點，且APD=120°求證：PA+PD+PCBD 8認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式

7、，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式 ？并預測第三項的系數(shù)； （2）請你預測一下多項式（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和 （3）結合上述材料，推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S，（結果用含字母n的代數(shù)式表示）北師大版七年級下冊數(shù)學培優(yōu)壓軸

8、題參考答案與試題解析1、【解答】ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120°，MBN=60°，ABE=CBF=30°，AE=BE，CF=BF；MBN=60°，BE=BF，BEF為等邊三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，在BAE和BCK中，則BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60°，ABC=120°，F(xiàn)BC+ABE=60°，F(xiàn)BC+KBC=60

9、76;，KBF=FBE=60°，在KBF和EBF中，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關系是AECF=EF2【解答】（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG ABG=ABC=D=90°，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD；（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立（3）結論EF=BE+FD不成立，應當是EF=BEFD證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AGB+ADC=180°，ADF+

10、ADC=180°，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBG；EF=BEFD3【解答】（1）DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，AC=CD，BAC=90°B=90°30°=60°，ACD是等邊三角形，ACD=60°，又CDE=BAC=60°，ACD=CDE，DEAC；B=30°，C=90°，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質，ACD的邊AC、AD上的高相等，

11、BDC的面積和AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：DEAC；S1=S2；（2）如圖，DEC是由ABC繞點C旋轉得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90°，DCM+BCN=180°90°=90°，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面積和AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3） 如圖，過點D作DF1BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時SDCF1=SBDE；過點D作DF2BD，ABC=60

12、6;，F(xiàn)1DBE，F(xiàn)2F1D=ABC=60°，BF1=DF1，F(xiàn)1BD=ABC=30°，F(xiàn)2DB=90°，F(xiàn)1DF2=ABC=60°，DF1F2是等邊三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60°，點D是角平分線上一點，DBC=DCB=×60°=30°，CDF1=180°BCD=180°30°=150°，CDF2=360°150°60°=150°，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），點F2也是所求

13、的點，ABC=60°，點D是角平分線上一點，DEAB，DBC=BDE=ABD=×60°=30°，又BD=4，BE=×4÷cos30°=2÷=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長為或4【解答】（1）設AP的長是x，則BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，當x=a時APC與PBD的面積之和取最小值，故答案為：a；（2）的大小不會隨點P的移動而變化，理由：APC是等邊三角形，PA=PC，APC=60°，BDP是等邊三角形，PB=PD，BPD=60

14、6;，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120°，QCP+QAC+ACP=120°，AQC=180°120°=60°；（3）此時的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°理由：APC是等邊三角形，PA=PC，APC=60°，BDP是等邊三角形，PB=PD，BPD=60°，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120°，QCP+QAC+ACP=120°，AQC=180°120°=60&#

15、176;5【解答】DEF是等腰三角形；證明：如圖，過點C作CPAC，交AN延長線于點PRtABC中AB=AC；BAC=90°，ACB=45°PCN=ACB，BAD=ACP；AMBD；ABD+BAM=BAM+CAP=90°；ABD=CAP；BADACP；AD=CP，ADB=P；AD=CE；CE=CP；CN=CN；CPNCEN；P=CEN；CEN=ADB；FDE=FED；DEF是等腰三角形附加題：DEF為等腰三角形；證明：過點C作CPAC，交AM的延長線于點PRtABC中AB=AC；BAC=90°，ACB=45°；PCN=ACB=ECN；AMBD；

16、ABD+BAM=BAM+CAP=90°；ABD=CAP；BADACP；AD=CP，D=P；AD=EC，CE=CP；又CN=CN；CPNCEN；P=E；D=E；DEF為等腰三角形6【解答】（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上，（2）成立連接DF，NF，證明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等邊三角形，AB=AC=BC又D，E，F(xiàn)是三邊的中點，EF=DF=BFBDM+MDF=60°，F(xiàn)DN+MDF=60°，BDM=FDN，在DBM和DFN中，DBMDFN，BM=FN，DFN=FDB=60°，NFBD，E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點

17、，EF是ABC的中位線，EFBD，F(xiàn)在直線NE上，BF=EF，MF=EN（3）如圖，MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）連接DF、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，在DNE和DMF中，； DNEDMF，MF=NE 7【解答】AP=BP+PC，（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，連接CE，BPC=120°，CPE=60°，又PE=PC，CPE為等邊三角形，CP=PE=CE，PCE=60°，ABC為等邊三角形，AC=BC，BCA=60°，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（S

18、AS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）證明：在AD外側作等邊ABD，則點P在三角形ADB外，連接PB'，B'C，APD=120°由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等邊三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60°，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD 8 【解答】解：（1）當n=1時，多項式（a+b）1的展開式是一次二項式，此時第三項的系數(shù)為：0=，當n=2時，多項式（a+b）2的展開式是二次三項式，此時第三項的系數(shù)為：1=，當n=3時，多項式（a+b）3的展開式是三次四項式，此時第三項的系數(shù)為：3=，當