六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)第十二講綜合應(yīng)用題選講（二） 例題 習(xí)題 _通用版（例題含答案）

1、.第十二講 綜合題選講二一般說(shuō)來(lái)，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說(shuō)不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。 解綜合題，除了要有結(jié)實(shí)的解基此題的根底之外，還要求解題者有創(chuàng)造性意識(shí)，有構(gòu)造構(gòu)思才能，有探究才能，要擅長(zhǎng)把復(fù)雜的問(wèn)題化歸為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話

2、時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊?，說(shuō)話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛(ài)說(shuō)話敢說(shuō)話的興趣，對(duì)一些說(shuō)話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽(tīng)，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話的勇氣和

3、把話說(shuō)好的信心。三是要提明確的說(shuō)話要求，在說(shuō)話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒模擬。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話膽量也在不斷進(jìn)步。 例1 任意100個(gè)自然數(shù)，從中是否可找出假設(shè)干個(gè)數(shù)也可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)，使得找出的這些數(shù)之和可以被100整除？說(shuō)明理由.觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲(chóng)等，孩子一邊觀察，一邊提問(wèn)，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意

4、形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽(tīng)到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問(wèn)：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，

5、作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥(niǎo)兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來(lái)，在開(kāi)展想象力中開(kāi)展語(yǔ)言。如啄木鳥(niǎo)的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹(shù)開(kāi)刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。 分析 100太大，先從小一些的數(shù)分析.假如是兩個(gè)自然數(shù)，當(dāng)其中有偶數(shù)時(shí)，這個(gè)偶數(shù)可被2整除，這時(shí)結(jié)論成立；當(dāng)其中沒(méi)有偶數(shù)時(shí)，這兩個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)，這兩

6、個(gè)數(shù)之和能被2整除，可見(jiàn)對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)，結(jié)論成立.假如有3個(gè)自然數(shù)，當(dāng)其中有3的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)就可被3整除，選這個(gè)數(shù)即可；當(dāng)其中沒(méi)有3的倍數(shù)時(shí)，假如這3個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相等，那么這3個(gè)數(shù)之和可被3整除，這時(shí)可選出這3個(gè)數(shù)；假如這3個(gè)數(shù)被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)之和可被3整除.因此，對(duì)于3個(gè)整數(shù)的情形，結(jié)論成立.類似的分析可知，對(duì)于4個(gè)整數(shù)的情形，結(jié)論成立.不過(guò)分析的過(guò)程要更長(zhǎng)些.按這種思路分析下去，雖然可以依次斷定對(duì)于5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)，8個(gè)，整數(shù)時(shí)結(jié)論成立，但是還不能說(shuō)“對(duì)于100個(gè)整數(shù)結(jié)論也成立.因?yàn)槲覀儾豢赡茉诙虝r(shí)間內(nèi)一直驗(yàn)證到100.看來(lái)要另外設(shè)計(jì)證題

7、的方法.雖然沒(méi)有證出原來(lái)的題目，但是從簡(jiǎn)單情況可猜測(cè)原題的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是肯定的.因?yàn)榇祟}結(jié)論是與假設(shè)干個(gè)數(shù)之和有關(guān)的，由此可聯(lián)想構(gòu)造“假設(shè)干個(gè)數(shù)之和形式的數(shù).再進(jìn)一步考慮被100除后的余數(shù).設(shè)原來(lái)的 100個(gè)數(shù)是a1， a2， a100.考慮 b1， b2，b100，其中b1=a1，b2=a1a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+a100.很顯然每個(gè)bii=1，2，100，以及它們中的任意兩個(gè)之差例如b5-b2=a3+a4+a5，都是假設(shè)干個(gè)原來(lái)的數(shù)之和.考慮b1，b2， b100被 100除后各自的余數(shù).假如有一個(gè)數(shù)，例如b1，它能被 100整除，那么問(wèn)題就解決了.假如任一個(gè)

8、數(shù)被100除之后的余數(shù)都不是0，那么100個(gè)數(shù)最多可能余1，余2，余99，所以致少有兩個(gè)數(shù)，它們被100除后的余數(shù)一樣.這時(shí)，它們的差可被100整除，也就是說(shuō)在a1，a2，a100中存在假設(shè)干個(gè)數(shù)，它們的和可被100整除.說(shuō)明：上面的論證方法利用了余數(shù)類，同余，抽屜原理，這些解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中常用的方法.在考慮b1，b2，b100時(shí)，采用了構(gòu)造法.應(yīng)當(dāng)指出，題目中的“100不是本質(zhì)的，改成200，300，甚至改成任一自然數(shù)n，結(jié)論也成立，證法一樣.例2 某班學(xué)生有以下特點(diǎn)：任何四個(gè)人中，都有一個(gè)人與另外三個(gè)人通過(guò) .證明：全班之中的任意四個(gè)人中，可找到一個(gè)人，這個(gè)人與全班所有人都通過(guò) .分析 這個(gè)

9、題目中“數(shù)很少，要論證的結(jié)論“任意四個(gè)人中可找到一個(gè)人，這個(gè)人與全班所有的人都通過(guò) 又比較強(qiáng)，為此，要充分利用“任何四個(gè)人中都有一個(gè)人與另外三個(gè)人通過(guò) 的條件.畫(huà)個(gè)示意圖，人用點(diǎn)表示，兩個(gè)人之間通過(guò) 就用這兩點(diǎn)的實(shí)連線表示，否那么就用虛線表示.假如這些學(xué)生之間的任何兩個(gè)人都有線相連，那么問(wèn)題已解決；假如有四個(gè)人A、B、C、D有如以下圖所示的關(guān)系：那么D與A、B、C都通過(guò) ，考慮除A、B、C、D外的任何一個(gè)人E.D、E之間一定通過(guò) .否那么A、C、D、E四人與條件不符.由于E的任意性說(shuō)明D與所有人通過(guò) .假如有四個(gè)人A、B、C、D，它們間的關(guān)系如以下圖所示，與上圖的證法類似，可知D與所有人通過(guò)

10、.我們已討論了所有可能的情形，因此綜上所證知：任意四人中，總有一個(gè)人，這個(gè)人與所有人通過(guò) .說(shuō)明：我們采用的證明方法是用圖這種直觀方式表達(dá)關(guān)系和邏輯，把人和通 分別用點(diǎn)、邊表示，未通 用虛線表示.這樣便于對(duì)照?qǐng)D形分析問(wèn)題.這種方法是圖論的根本方法.在上述證明中，使用了分情況論證分情況討論的方法.這是推理論證的根本方法之一.例3 甲、乙兩所學(xué)校的學(xué)生中，有些學(xué)生互相認(rèn)識(shí).甲校的學(xué)生中任何一個(gè)人也認(rèn)不全乙校的學(xué)生，乙校的任意兩名學(xué)生都有甲校中的一個(gè)公共朋友.問(wèn)：能否在甲校中找出兩個(gè)學(xué)生A、B，從乙校中找出三個(gè)學(xué)生C、D、E，使得A認(rèn)識(shí)C、D，不認(rèn)識(shí)E，B認(rèn)識(shí)D、E，不認(rèn)識(shí)C？說(shuō)明理由.認(rèn)識(shí)是互相的

11、，即甲認(rèn)識(shí)乙時(shí)，乙也認(rèn)識(shí)甲.分析 假如選乙校學(xué)生中任意兩個(gè)人為C、D，那么甲校中有認(rèn)識(shí)C、D的人，設(shè)它為A.因?yàn)锳認(rèn)不全乙校學(xué)生，所以在乙校中有學(xué)生E，A不認(rèn)識(shí)E.這時(shí)A認(rèn)識(shí)C、D，不認(rèn)識(shí)E.按這個(gè)思路，再考慮選B時(shí)有些費(fèi)事.雖然對(duì)于乙校的D、E，可知甲校中有學(xué)生認(rèn)識(shí)D、E，假如把甲校的這個(gè)認(rèn)識(shí)D、E的人選為B.這個(gè)B可能認(rèn)識(shí)C，這樣就達(dá)不到題目要求了.之所以陷入上述困境，原因在于C、D在乙校中太“任意了，在乙校中任選C、D，就可能使得最后甲校中的B選不出來(lái)，看來(lái)要選特殊一點(diǎn)的人.因?yàn)榧仔W(xué)生都認(rèn)不全乙校的學(xué)生，所以存在甲校的認(rèn)識(shí)乙校學(xué)生數(shù)目最多的人或認(rèn)識(shí)乙校學(xué)生數(shù)目最多的人之一.選他為A.因

12、為A認(rèn)不全乙校學(xué)生，取A不認(rèn)識(shí)的乙校的一名學(xué)生為E，設(shè)A認(rèn)識(shí)的乙校的一名學(xué)生為D.對(duì)于D、E，在甲校中有一個(gè)人，設(shè)它為B，B認(rèn)識(shí)D、E.因?yàn)锽認(rèn)識(shí)E，A不認(rèn)識(shí)E，所以A、B不是同一個(gè)人.在A認(rèn)識(shí)的乙校學(xué)生中，一定有B不認(rèn)識(shí)的人，假設(shè)不然，當(dāng)A認(rèn)識(shí)的乙校的任何一名學(xué)生都認(rèn)識(shí)B時(shí)，B至少要比A多認(rèn)識(shí)一個(gè)人E，這與“甲校學(xué)生中認(rèn)識(shí)乙校人數(shù)最多的人之一是A的假定矛盾.設(shè)在乙校中，學(xué)生C認(rèn)識(shí)A而不認(rèn)識(shí)B，這樣就有：A認(rèn)識(shí)C、D，不認(rèn)識(shí)E，B認(rèn)識(shí)D、E，不認(rèn)識(shí)C.說(shuō)明：為論證的需要，選擇特殊元素如最多、最少、最早、最晚、等，是行之有效的方法，這個(gè)特殊元素的性質(zhì)作為論證的一個(gè)重要條件.例4 假設(shè)干個(gè)自然數(shù)之

13、和是1993，這些自然數(shù)之積的最大值是多少？分析 這個(gè)問(wèn)題中有以下難點(diǎn)：“假設(shè)干個(gè)是幾個(gè)？這些自然數(shù)都是什么？如何找出這些自然數(shù)之積的最大值？雖然把有限數(shù)1993拆成各種不同的自然數(shù)之和的方法也是有限的，但是一一分拆再求出它們的乘積，最后再?gòu)某朔e中選出最大的是不現(xiàn)實(shí)的，那樣計(jì)算量過(guò)大.首先可以看出，1993拆開(kāi)的各加數(shù)中不應(yīng)當(dāng)有1.因?yàn)?作為因數(shù)對(duì)乘積無(wú)作用，當(dāng)把1合并到另一個(gè)加數(shù)中去后，會(huì)使乘積增大，因此不拆出1為加數(shù).另一方面，拆成的加數(shù)也不應(yīng)當(dāng)太大，例如當(dāng)拆成的加數(shù)中有5時(shí)，只要把5再拆為2+3，由于2×35，可見(jiàn)把5去掉，換成2+3會(huì)使乘積增大.同樣，假如加數(shù)中有6，換成 3

14、+3，由于 3×36，可見(jiàn)換成 3+3會(huì)使乘積增大.一般地，因?yàn)楫?dāng)a4時(shí)，2×a-2a，所以我們總可以把5或5以上的加數(shù)a換成2a-2，這樣使乘積增大，也就是說(shuō)，所拆成的加數(shù)中至多是4.進(jìn)一步考慮，假如有加數(shù)4，把4用2+2換一下，乘積不變.因此，為使考慮問(wèn)題簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以認(rèn)為所拆成的加數(shù)中不含4，即加數(shù)中只有2和3兩種數(shù).假如加數(shù)中有3個(gè)或3個(gè)以上的“ 2，當(dāng)把3個(gè)“ 2用2個(gè)“ 3代替時(shí)，和不變，但因?yàn)?2×2×2 3×3，可見(jiàn)乘積增大.由此可以設(shè)想1993拆成的各加數(shù)中僅有2、3，而且2的數(shù)目不多于兩個(gè).因?yàn)?993不是3的倍數(shù)，所以致少

15、要拆出一個(gè)“2，但1993-2=1991也不是3的倍數(shù)，可見(jiàn)1993要拆出兩個(gè)“2.容易看出：這時(shí)獲得最大乘積 22×3663.說(shuō)明：上面采取了層層化簡(jiǎn)的分析方法，把1993的分析問(wèn)題歸結(jié)為“只含有2、3，且2的數(shù)目不多于兩個(gè)，以到達(dá)乘積最大.這是在不斷比較、調(diào)整的過(guò)程中對(duì)各加數(shù)的性質(zhì)逐漸認(rèn)識(shí)得到的.在朝著使乘積逐漸增加的方向，我們排除了加數(shù)中的1，排除了加數(shù)中大于4的數(shù)，進(jìn)而去掉4，限制了加數(shù)中“2的數(shù)目，經(jīng)過(guò)這樣一系列的比較、簡(jiǎn)化才比較方便地找出了乘積的最大值，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)這種層層化簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化策略. 習(xí)題十二1.某個(gè)四位數(shù)有如下特點(diǎn)：這個(gè)數(shù)加 1之后是 15的倍數(shù)；這個(gè)數(shù)減去3是38的倍數(shù)；把這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)左右倒過(guò)來(lái)所得的數(shù)與原數(shù)之和能被10整除，求這個(gè)四位數(shù).2.某學(xué)校的假設(shè)干學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中所得分?jǐn)?shù)之和是8250分.第一、二、三名的成績(jī)是88、85、80分，得分最低的是30分，得同樣分的學(xué)生不超過(guò)3人，每個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)都是自然數(shù).問(wèn)：至少有幾個(gè)學(xué)生的得分不低于60分？3.一個(gè)自然