六年級下冊奧數(shù)第十二講綜合應用題選講（二） 例題 習題 _通用版（例題含答案）

1、.第十二講 綜合題選講二一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長的歷史。楊士勛唐初學者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實就是先秦而后歷代對老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當然也指老師。這兒的“師資和“師長可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實的“老師，因為“老師必需要有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責。 解綜合題，除了要有結實的解基此題的根底之外，還要求解題者有創(chuàng)造性意識，有構造構思才能，有探究才能，要擅長把復雜的問題化歸為較簡單的問題.要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當眾說話

2、時顯得害怕：有的結巴重復，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊f話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關系。每當和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當眾說話的習慣。或在課堂教學中，改變過去老師講學生聽的傳統(tǒng)的教學形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當眾說話的時機，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強其說話的勇氣和

3、把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓練中不斷進步，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚，并要其他幼兒模擬。長期堅持，不斷訓練，幼兒說話膽量也在不斷進步。 例1 任意100個自然數(shù)，從中是否可找出假設干個數(shù)也可以是一個，也可以是多個，使得找出的這些數(shù)之和可以被100整除？說明理由.觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意

4、形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，

5、作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。 分析 100太大，先從小一些的數(shù)分析.假如是兩個自然數(shù)，當其中有偶數(shù)時，這個偶數(shù)可被2整除，這時結論成立；當其中沒有偶數(shù)時，這兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)，這兩

6、個數(shù)之和能被2整除，可見對于兩個自然數(shù)，結論成立.假如有3個自然數(shù)，當其中有3的倍數(shù)時，這個數(shù)就可被3整除，選這個數(shù)即可；當其中沒有3的倍數(shù)時，假如這3個數(shù)被3除的余數(shù)相等，那么這3個數(shù)之和可被3整除，這時可選出這3個數(shù)；假如這3個數(shù)被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一個數(shù)，這兩個數(shù)之和可被3整除.因此，對于3個整數(shù)的情形，結論成立.類似的分析可知，對于4個整數(shù)的情形，結論成立.不過分析的過程要更長些.按這種思路分析下去，雖然可以依次斷定對于5個，6個，7個，8個，整數(shù)時結論成立，但是還不能說“對于100個整數(shù)結論也成立.因為我們不可能在短時間內(nèi)一直驗證到100.看來要另外設計證題

7、的方法.雖然沒有證出原來的題目，但是從簡單情況可猜測原題的結論應當是肯定的.因為此題結論是與假設干個數(shù)之和有關的，由此可聯(lián)想構造“假設干個數(shù)之和形式的數(shù).再進一步考慮被100除后的余數(shù).設原來的 100個數(shù)是a1， a2， a100.考慮 b1， b2，b100，其中b1=a1，b2=a1a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+a100.很顯然每個bii=1，2，100，以及它們中的任意兩個之差例如b5-b2=a3+a4+a5，都是假設干個原來的數(shù)之和.考慮b1，b2， b100被 100除后各自的余數(shù).假如有一個數(shù)，例如b1，它能被 100整除，那么問題就解決了.假如任一個

8、數(shù)被100除之后的余數(shù)都不是0，那么100個數(shù)最多可能余1，余2，余99，所以致少有兩個數(shù)，它們被100除后的余數(shù)一樣.這時，它們的差可被100整除，也就是說在a1，a2，a100中存在假設干個數(shù)，它們的和可被100整除.說明：上面的論證方法利用了余數(shù)類，同余，抽屜原理，這些解數(shù)學競賽題中常用的方法.在考慮b1，b2，b100時，采用了構造法.應當指出，題目中的“100不是本質(zhì)的，改成200，300，甚至改成任一自然數(shù)n，結論也成立，證法一樣.例2 某班學生有以下特點：任何四個人中，都有一個人與另外三個人通過 .證明：全班之中的任意四個人中，可找到一個人，這個人與全班所有人都通過 .分析 這個

9、題目中“數(shù)很少，要論證的結論“任意四個人中可找到一個人，這個人與全班所有的人都通過 又比較強，為此，要充分利用“任何四個人中都有一個人與另外三個人通過 的條件.畫個示意圖，人用點表示，兩個人之間通過 就用這兩點的實連線表示，否那么就用虛線表示.假如這些學生之間的任何兩個人都有線相連，那么問題已解決；假如有四個人A、B、C、D有如以下圖所示的關系：那么D與A、B、C都通過 ，考慮除A、B、C、D外的任何一個人E.D、E之間一定通過 .否那么A、C、D、E四人與條件不符.由于E的任意性說明D與所有人通過 .假如有四個人A、B、C、D，它們間的關系如以下圖所示，與上圖的證法類似，可知D與所有人通過

10、.我們已討論了所有可能的情形，因此綜上所證知：任意四人中，總有一個人，這個人與所有人通過 .說明：我們采用的證明方法是用圖這種直觀方式表達關系和邏輯，把人和通 分別用點、邊表示，未通 用虛線表示.這樣便于對照圖形分析問題.這種方法是圖論的根本方法.在上述證明中，使用了分情況論證分情況討論的方法.這是推理論證的根本方法之一.例3 甲、乙兩所學校的學生中，有些學生互相認識.甲校的學生中任何一個人也認不全乙校的學生，乙校的任意兩名學生都有甲校中的一個公共朋友.問：能否在甲校中找出兩個學生A、B，從乙校中找出三個學生C、D、E，使得A認識C、D，不認識E，B認識D、E，不認識C？說明理由.認識是互相的

11、，即甲認識乙時，乙也認識甲.分析 假如選乙校學生中任意兩個人為C、D，那么甲校中有認識C、D的人，設它為A.因為A認不全乙校學生，所以在乙校中有學生E，A不認識E.這時A認識C、D，不認識E.按這個思路，再考慮選B時有些費事.雖然對于乙校的D、E，可知甲校中有學生認識D、E，假如把甲校的這個認識D、E的人選為B.這個B可能認識C，這樣就達不到題目要求了.之所以陷入上述困境，原因在于C、D在乙校中太“任意了，在乙校中任選C、D，就可能使得最后甲校中的B選不出來，看來要選特殊一點的人.因為甲校學生都認不全乙校的學生，所以存在甲校的認識乙校學生數(shù)目最多的人或認識乙校學生數(shù)目最多的人之一.選他為A.因

12、為A認不全乙校學生，取A不認識的乙校的一名學生為E，設A認識的乙校的一名學生為D.對于D、E，在甲校中有一個人，設它為B，B認識D、E.因為B認識E，A不認識E，所以A、B不是同一個人.在A認識的乙校學生中，一定有B不認識的人，假設不然，當A認識的乙校的任何一名學生都認識B時，B至少要比A多認識一個人E，這與“甲校學生中認識乙校人數(shù)最多的人之一是A的假定矛盾.設在乙校中，學生C認識A而不認識B，這樣就有：A認識C、D，不認識E，B認識D、E，不認識C.說明：為論證的需要，選擇特殊元素如最多、最少、最早、最晚、等，是行之有效的方法，這個特殊元素的性質(zhì)作為論證的一個重要條件.例4 假設干個自然數(shù)之

13、和是1993，這些自然數(shù)之積的最大值是多少？分析 這個問題中有以下難點：“假設干個是幾個？這些自然數(shù)都是什么？如何找出這些自然數(shù)之積的最大值？雖然把有限數(shù)1993拆成各種不同的自然數(shù)之和的方法也是有限的，但是一一分拆再求出它們的乘積，最后再從乘積中選出最大的是不現(xiàn)實的，那樣計算量過大.首先可以看出，1993拆開的各加數(shù)中不應當有1.因為1作為因數(shù)對乘積無作用，當把1合并到另一個加數(shù)中去后，會使乘積增大，因此不拆出1為加數(shù).另一方面，拆成的加數(shù)也不應當太大，例如當拆成的加數(shù)中有5時，只要把5再拆為2+3，由于2×35，可見把5去掉，換成2+3會使乘積增大.同樣，假如加數(shù)中有6，換成 3

14、+3，由于 3×36，可見換成 3+3會使乘積增大.一般地，因為當a4時，2×a-2a，所以我們總可以把5或5以上的加數(shù)a換成2a-2，這樣使乘積增大，也就是說，所拆成的加數(shù)中至多是4.進一步考慮，假如有加數(shù)4，把4用2+2換一下，乘積不變.因此，為使考慮問題簡單起見，可以認為所拆成的加數(shù)中不含4，即加數(shù)中只有2和3兩種數(shù).假如加數(shù)中有3個或3個以上的“ 2，當把3個“ 2用2個“ 3代替時，和不變，但因為 2×2×2 3×3，可見乘積增大.由此可以設想1993拆成的各加數(shù)中僅有2、3，而且2的數(shù)目不多于兩個.因為1993不是3的倍數(shù)，所以致少

15、要拆出一個“2，但1993-2=1991也不是3的倍數(shù)，可見1993要拆出兩個“2.容易看出：這時獲得最大乘積 22×3663.說明：上面采取了層層化簡的分析方法，把1993的分析問題歸結為“只含有2、3，且2的數(shù)目不多于兩個，以到達乘積最大.這是在不斷比較、調(diào)整的過程中對各加數(shù)的性質(zhì)逐漸認識得到的.在朝著使乘積逐漸增加的方向，我們排除了加數(shù)中的1，排除了加數(shù)中大于4的數(shù)，進而去掉4，限制了加數(shù)中“2的數(shù)目，經(jīng)過這樣一系列的比較、簡化才比較方便地找出了乘積的最大值，我們應當學習這種層層化簡的轉化策略. 習題十二1.某個四位數(shù)有如下特點：這個數(shù)加 1之后是 15的倍數(shù)；這個數(shù)減去3是38的倍數(shù)；把這個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)左右倒過來所得的數(shù)與原數(shù)之和能被10整除，求這個四位數(shù).2.某學校的假設干學生在一次數(shù)學考試中所得分數(shù)之和是8250分.第一、二、三名的成績是88、85、80分，得分最低的是30分，得同樣分的學生不超過3人，每個學生的分數(shù)都是自然數(shù).問：至少有幾個學生的得分不低于60分？3.一個自然