對稱變換含解答

1、九年級數(shù)學競賽專題 第六講 對稱變換1如圖，ABC中，AE平分BAC的外角，D為AE上一點，若AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，則m+n與b+c的大小關(guān)系是（ ）Am + n > b + c ; Bm + n = b + c Cm + n < b + c ; Dm + n > b + c 或m + n < b + c 2如圖，ABC中，A=2B，C72°，C砰分ACB，P為AB中點，則下列各式中正確的是（ ）AAD=BC-CD; BAD=BC-AC; CAD=BC-AP; DAD=BC-BD二、解答題1在定直線XY異側(cè)有兩點A、B，在直線XY上求作一點P

2、，使PA與PB之差最大。2如圖，已知線段AB的同側(cè)有兩點C、D滿足ACB=ADB=60°，ABD=90°-DBC。求證：AC=AD.3如圖，已知ABC中，AB=AC，A=100°，BD平分ABC,求證：BC=BD+AD.4如圖，已知P是ABC邊BC上一點，且PC=2PB，若ABC=45°，APC=60°，求證：ACB的大小。5如圖，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外一點且ABD=60°，ADB=90°-BDC。求證：AC=BD+CD.6ABC中，已知BAC=15°，AD平分BAC，過A作DA的垂線交直線BC于M

3、，若BM=AC+BA。求證：ABC、ACB的度數(shù)。7已知：等邊凸六邊形ABCDEF中，頂角A、C、E與B、D、F的和相等，即A+C+E=B+D+F。求證：A=D，B=E，C=F。8已知，如圖，設(shè)MON=20°，A為OM上一點，OA=4，D為ON上一點，OD=8，C為A由任一點，B是OD上任意一點。求：折線ABCD的長度的最小值。答案一、1A2B略解：1在AM上截取AC=AC，連結(jié)DC，如圖，易證ADCAD C所以DC=D C因為BA + A C< BD+D C所以AB + AC < BD + DC即m + n > b + c，故選A.2因為A=2B所以A >

4、B所以BC > AC在BC上截取CA=CA，連結(jié)D A（如圖），易證ACDACD所以AD= AD，且1=A=2B又1=B+2所以B=2所以AB= AD=AD所以BC= AC+ AB = AC + AD所以AD = BC AC符合（B）注意到：若AD=BC-CD，則CD=BC-AD= AC=AC此時CD A=CDA=A=2B所以AD A=4B又AD A+2=4B + B = 180°所以B = 36°所以C = 72°與已知矛盾，故A排除，易證BD > B A= AD，所以PB < BD，PA > AD所以AD < BC AP，排除C，

5、AD > BC BD，排除D二、1作法：作點B關(guān)于直線XY的對稱點B，作直線A B交XY于P點，則點P為所求點（如圖）若BAXY（即B、A到直線XY的距離相等），則點P不存在。證明：連結(jié)BP，在XY上任意取點P，連結(jié)PA、PB，則PB=PB，PB= PB因為| PB - PA | = | PB-PA| < AB= | PB - PA| = |PB - PA|，所以，此時點P使 |PA - PB|最大2略證：以AB為軸作ABC的對稱ABC，則AC=A C，C=C=60°，ABC=ABC如圖因為ABD=90°-DBC所以2ABD+DBC=180°所以ABD

6、+DBC+ABD=180°即ABC+ABD=180°所以ABC+ABD=180°所以D、B、C共線又因為D=60°所以DAC=180°-C-D=60°=D=C所以AD C是等邊三角形，所以AD=A C=AC3法1：在BC上截取BE=BA，BF=BD，連結(jié)DE、DF（如圖）易證ABDEBD所以DE=DA，且DEB=A=100°所以1=80°因為AB=AC，A=100°所以ABC=C=40°又BD平分ABC，所以4=3=20°由BD=BF得：2=BDF=80°所以1=2，所以DE

7、=DF，又因為BDC=A+4=120°所以5=40°=C，所以CF=DF，所以CF=DE=DA所以BC=BF+FC=DB+AD法2：在BC上截取BE=BA，延長BD到F使BF=BC，連結(jié)DE、CF（如圖）易證ABDEBD所以DEB=A=100°，所以DEC=80°易求1=2=20°，3=40°因為BC=BF，2=20°，所以F=FCB=80°=DEC所以4=80°-3= 40°=3又DC=DC，所以DCEDCF（AAS）所以DF=DE=AD所以BC=BF=BD+DF=BD+AD法3：在BD上截取

8、BE=BA，在BC上截取BF=BD，連結(jié)EF、DF（如圖，相當于將ABD繞B點旋轉(zhuǎn)20°）易證ABDEBF（SAS）所以AD=EF，BEF=A=100°所以DEF=80°，易求2=20°，C=40°，BDC=120°因為BD=BF，所以BDF=80°=DEF，所以DF=EF且3=40°=C所以DF=FC所以BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD4作C關(guān)于AP的對稱點C，連結(jié)A C、B C、P C， 則有P C=PC=2PB，APC=APC=60°可證BCP為直角三角形（延長PB到D，使BD=

9、BP，則PD=PC，又CPB=60°，則CPD是等邊三角形，由三線合一性質(zhì)有CBBP）CBP=90°因為ABC=45°，所以CBA=45°=ABC所以BA平分CBC所以A到BC的距離=A到BC的距離又因為APC=APC，所以PA平分CPC所以A到P C距離=A到PC（即BC）的距離所以A到B C的距離=A到P C的距離所以A是角平分線上的點，即CA平分M CP所以A CP=M CP=75°=ACP5略證：以AD為軸作ABD的對稱ABD（如圖），則有BD=BD，AB=AB=AC，B=ABD=60°，AD B=ADB=90°-B

10、DC，所以ADB+ADB+BDC=180°-BDC+BDC=180°所以C、D、B在一條直線上所以ACB是等邊三角形所以CA=C B=CD+D B=CD+BD6分兩種情況討論計算（1）當過A作AD的垂線交BC延長于點M時，延長BA到C到C，使A C=AC，連結(jié)CM（如圖），則BM=AB+AC=AB+A C=B C所以C=CMB由AD平分BAC，AMAD，易證AM平分CA C所以ACMA CM所以A CM=ACM=CMB在BCM中，B+C+CMB=180°所以B+ACM+ACM=180°所以B+2（BAC+B）=180°，解得B=50°

11、所以ACB=180°-B-BAC=115°（2）當過A作AD的垂線交CB延長線于點M時，延長BA到C，使A C=AC，連結(jié)C C，CM（如圖）則BM=AB+AC=AB+A C=B C，所以M CA=MBA因為MAD=90°，所以MAC=90°+又CAC=180°-BAC=165°所以CAM=360°-CAC-MAC=97.5°=CAM又AM=AM，所以A CMACM（SAS）所以A CM=ACB在M CC中，CMB+MCC+MCC=180°所以MCA+MCA+AC C+M CA+ACC=180°

12、所以3ACM+CAB=180°所以ACB=（180°-15°）=55°所以ABC=180°-ACB-BAC=110°綜上，ABC=50°，ACB=115°或ABC=110°，ACB=55°7略證：以BF為軸將ABF翻折，以BD為軸將BCD翻折，以DF為軸將DEF翻折因為A+C+E=ABC+CDE+AFE=360°且AB=BC=CD=DE=EF=FA，所以翻折后A、C、E落于同一個點O所以O(shè)B=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB所以四邊形ABOF、BCDO、DEFO均為菱形所以O(shè)BCD，DEOF所以BOD+ODC=180°，F(xiàn)OD+ODE=180°所以CDE=360°-BOD-FOD=BOF=BAF同理可證，ABC=E，C=AFE8解：作A關(guān)于ON的對稱點A，連結(jié)AB，作D關(guān)于OM的對稱點D，連結(jié)CD，連