向量組的線性相關(guān)性

1、向量組的線性相關(guān)性（楊威 郭喬） 教學(xué)目的與要求 通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)概念，掌握判定向量組線性相關(guān)性的方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：線性相關(guān)，線性無關(guān)的概念教學(xué)難點(diǎn)：線性相關(guān)性的判定教學(xué)方法與建議 先從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，使學(xué)生看到在解線性方程組的時(shí)候，有的方程是多余的，從向量的角度來看，就是其中的一些向量是其余向量的線性組合。從而引出線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，并給出判別方法。 教學(xué)過程設(shè)計(jì)1. 問題的提出 方程組用向量的形式表示出來，不難看出，其中第3個(gè)方程是多余的，我們從向量的角度來討論這個(gè)問題。此方程組對(duì)應(yīng)著三個(gè)向量，所謂的第三個(gè)方程是多余方程反映到他們對(duì)應(yīng)的向量上

2、就是或，即可由和線性運(yùn)算得到，此時(shí)稱是的線性組合。2. 線性相關(guān)和線性無關(guān)定義4.1 對(duì)于向量如果有數(shù)使，則稱向量是向量的線性組合，或可由向量線性表示。定義4.2 設(shè)有維向量，如果存在不全為零的數(shù)使 則稱此向量線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)。注意：1.若向量組中含有零向量，則向量組一定是線性相關(guān)的。 2.若向量組中一個(gè)向量可由其他向量線性表示，則這組向量一定是線性相關(guān)的。定理 4.1 n維向量組線性相關(guān)的充分必要條件是，其中是由組成的（或）維矩陣。證明：設(shè)，為維列向量，下面證明有個(gè)不全為零的數(shù)使的充分必要條件是。 即有非零解的充分必要條件是。推論 對(duì)個(gè)維向量，若，則該向量組線性相關(guān)。證明：由這些

3、向量組成的矩陣記為，則是(或)維的，由于，所以 ，則該向量組線性相關(guān)。 定理4.4 若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。證：因線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)使，從而存在不全為零的個(gè)數(shù)使，因此線性相關(guān)。由于一個(gè)零向量是線性相關(guān)的，所以任何含有零向量的向量組都線性相關(guān)。推論 若線性無關(guān)，則由其中的部分向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)。定理4.3 設(shè)，若維向量組線性無關(guān)，則維向量組線性無關(guān)。證： 顯然，設(shè)有個(gè)數(shù)，使，即。因此有。由于線性無關(guān)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才成立。這就表明線性無關(guān)。推論：維向量組的每個(gè)向量加上個(gè)分量成為維向量。若維向量組線性無關(guān)，則維向量組線性無關(guān)。3. 舉例例4.1 討論向量組，的線性相關(guān)性。 解： 以所給向量為列組成矩陣 因，所以所給向量組線性相關(guān)。例4.2 討論維單位坐標(biāo)向量的線性相關(guān)性。解： 因?yàn)?，所以向量組線性無關(guān)。例4.3 設(shè)線性無關(guān)，試證，線性無關(guān)。 證： 不妨設(shè)均為列向量，則 因?yàn)榫仃嚳赡?，所以可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，即矩陣可認(rèn)為由矩陣經(jīng)有限次初等列變換得到，從而矩陣的秩等于矩陣的秩，而的秩為3，所以的秩為3，因此線性無關(guān)。例4.4 設(shè)線性無關(guān)，若線性相關(guān)，則可由線性表示。證： 因線性相關(guān)，故有不全為零的數(shù)使得。要證可由線性表示，只需證。用反證法，設(shè)，則不全為零且能使，這與線性無關(guān)矛盾，矛盾表明，即可由