南昌大學數學物理方法期末考試試卷2009B卷答案

1、南昌大學 20082009學年第二學期期末考試試卷 參考答案及評分標準 試卷編號：6031 (B)卷課程編號：H55020190 課程名稱： 數學物理方法 考試形式： 閉卷 適用班級：物理系07各專業(yè) 姓名： 學號： 班級： 學院： 專業(yè)： 考試日期： 題號一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分454015 100得分考生注意事項：1、本試卷共6頁，請查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。 2、考試結束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。一、填空題(每小題 3 分，共 45 分) 得分評閱人 說明：有兩個空的小題，第一個空2分，第二個空1分。1.復數_ 1i , 。2

2、.復變函數可導的充分必要條件為 u(x,y)，v(x,y)偏導數存在且連續(xù)并滿足柯西黎曼條件 。3.若復變函數在區(qū)域B上解析，其實部為，則其虛部為 B （備選答案：A. ；B. ；C. ；D. ）。4. 0 。5.根據柯西公式，積分；。6.函數有_1_個極點，為_1_階極點，在極點處的留數為_2_。7.閉區(qū)域E的內點為 某一鄰域及其本身均屬于E的點 ；境界點為任一鄰域及其本身均部分屬于，部分不屬于點集E的點 。8.雙邊冪級數為 包含負冪項的冪級數 ，其主要部分為 負冪部分 ，解析部分為 正冪部分 。9.在原點的鄰域上，可展開為，可展開為。10. 函數 的傅里葉變換為。11.的拉普拉斯變換為。1

3、2.數學物理方程定解問題的適定性是指解的_存在性_，_唯一性_，_穩(wěn)定性_。13.一根兩端(左端為坐標原點而右端）固定的弦，用手在離弦左端長為處把弦朝橫向撥開距離，然后放手任其振動。橫向位移的初始條件為 。14.偏微分方程的類型為 A (備選答案：A.雙曲型B.拋物型 C. 橢圓型 D. 混合型)；為了得到標準形，可以采用的自變量函數變換為。15.判斷下面的說法是否正確，正確的在題后的“（）”中打，錯誤的打×。（1）若函數在點解析，則函數在點可導，反之亦然。 （×）（2）復通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路 積分也可以不為零。 （）（3）設為復數，則。 （

4、×）二、求解題(每小題 10 分，共 40 分)得分評閱人 說明：要求給出必要的文字說明和演算過程。1. 用留數定理計算復積分。解：被積函數有兩個極點對積分有貢獻：單極點，兩階極點。 -(2分)留數分別為 -(6分)根據留數定理得 -(2分)2. 用留數定理計算實積分。解：根據留數定理有：在上半平面所有奇點留數之和-(2分)所以-(3分)-(3分) -(2分)3. 解常微分方程初值問題已知，。(可使用拉普拉斯變換或其它任何方法)。解：對方程拉普拉斯變換并化簡得-(5分)解之得-(2分)由拉普拉斯逆變換得 -(3分)4. 設滿足方程和邊界條件，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程

5、，并根據邊界條件確定本征值和本征函數。 解：可分為三種情況討論：1) ，解為，由邊界條件只能得到平庸解，顯然沒有意義。 -(3分) 2) ，解為，代入邊界條件得，于是為任意常數。 -(2分) 3) ，解為,代入邊界條件得a) 當 的取值使得 時，必有 ，這和上兩種情況一樣沒有意義。b) 當 的取值使得 時， 不必為零，這種是有意義的情況。此時由 得到本征值: 綜合2）和3）兩種情況得本征值 此時，本征解為 -(5分)三、數學物理定解問題 (共15 分)1.（8分）考查半無限長弦定解問題：，初始條件為，端點處邊界條件為。 （1）尋找泛定方程的一個特解再作變換 使得的邊界條件滿足； （2）利用的邊界條件滿足將該問題延拓為達朗貝爾公式定解問題； （3）給出達朗貝爾公式，并求解該問題。 解：（1） -(2分) （2）作變換后，的定解問題為，。根據邊界條件，做奇延拓，即假定時，。 -(2分) （3）若方程的初始條件為，則其解為，此即達朗貝爾公式。-(2分) 根據此公式，容易求得，當 時，當， -(2分) 2. 矩形區(qū)域上的定解問題是否可直接利用分離變數法求解？為什么？然后將之變換為可利用分離變數法求解的問題。（提示：尋找滿足泛定方程和邊界條件的一個特解再作變換 使得的泛定方程以及在方向上的兩個邊界