勾股定理證明方法及論文

1、 勾股定理論文 初一（5）班 龐博睿一、勾股定理的概述 勾股定理是數(shù)學(xué)中極其重要的一個(gè)定理，是幾何學(xué)中的明珠，充滿了魅力，它揭示了直角三角形中三條邊之間的關(guān)系，而且應(yīng)用十分廣泛。 勾股定理是我國(guó)最早證明的幾何定理之一，也是每年中考必考的重要知識(shí)點(diǎn)之一。古今中外有不少數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，甚至有畫(huà)家、政治家等都在尋求它的證明方法. 傳說(shuō)古希臘的畢達(dá)哥拉斯在找到一種證明方法后，欣喜若狂，便殺了100頭牛來(lái)祭神，表示慶祝，所以勾股定理也被稱為“百牛定理”.。勾股定理是幾何證明方法最多的一個(gè)定理，現(xiàn)在已經(jīng)找到400多種證明方法，其中我們聰明睿智的祖先找到的就有200多種。 因此，勾股定理被說(shuō)成是中國(guó)幾何學(xué)

2、的根源. 中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源都與勾股定理有密切的關(guān)系。 我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚將勾股定理稱為茫茫宇宙星際交流的“語(yǔ)言”，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一切有智慧生物的共同語(yǔ)言，所以我們有更多的理由要學(xué)好它。 學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，應(yīng)抓住三大關(guān)鍵：一是勾股定理及其逆定理的證明方法；二是勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；三是怎樣尋找勾股數(shù)。 對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，又應(yīng)抓住四個(gè)方面：一是勾股定理在幾何計(jì)算中的應(yīng)用；二是勾股定理在幾何證明中的應(yīng)用；三是勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用；四是勾股定理在代數(shù)證題中的應(yīng)用。勾股定理是我國(guó)最早證明的幾何定理之一，是中華數(shù)學(xué)的精髓。 幾千年以來(lái)，有無(wú)數(shù)古

3、今中外的學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了證明. 其中包括漢代的趙爽、魏晉時(shí)期的劉徽、美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德、著名畫(huà)家達(dá)芬奇在初中數(shù)學(xué)中常常提到的數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、整體思想. 在勾股定理的應(yīng)用中，滲透了上述四種數(shù)學(xué)思想！中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。 二勾股定理的證明方法【證法1】         做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再

4、做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形。從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等, 即，整理得 【證法2】以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 。把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一 條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上。 RtHAE RtEBF, AHE = BEF AEH + AHE = 90º AEH + BEF = 90º HEF = 180º90º= 90º 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形

5、. 它的面積等于c2 RtGDH RtHAE HGD = EHA HGD + GHD = 90º EHA + GHD = 90º又 GHE = 90º DHA = 90º+ 90º= 180º ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于 【證法3】以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀。 RtDAH RtABE, HDA = EAB HAD + HAD = 90º EAB + HAD = 90º ABCD是一

6、個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2 EF = FG =GH =HE = ba HEF = 90º EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于 【證法4】以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上。 RtEAD RtCBE, ADE = BEC AED + ADE = 90º AED + BEC = 90º DEC = 180º90º= 90º DEC是一個(gè)等腰直角三角形,它的面積等于又 DAE = 90º, EBC

7、 = 90º ADB ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 【證法5】做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c。 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上。 過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P。 D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED EGF + GEF = 90° BED + GEF = 90° BEG =180º90º= 90º又 AB = BE = EG = GA = c ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. ABC + CBE = 90º RtA

8、BC RtEBD ABC = EBD EBD + CBE = 90º即CBD= 90º又 BDE = 90º，BCP = 90ºBC = BD = a BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則  【證法6】做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ，斜邊長(zhǎng)為c。 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上。過(guò)點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過(guò)點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過(guò)點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N。 BCA =

9、90º，QPBC MPC = 90º BMPQ BMP = 90º BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90º QBM + MBA = QBA = 90ºABC + MBA = MBC = 90º QBM = ABC又 BMP = 90º，BCA = 90º，BQ = BA = c RtBMQ RtBCA同理可證RtQNF RtAEF從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法4】?！咀C法7】做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B 三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過(guò)C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于

10、點(diǎn)L。 AF = AC，AB = ADFAB = GAD FAB GAD FAB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =同理可證，矩形MLEB的面積 = 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ，即 【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足是D。 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90ºCAD = BAC ADC ACBADAC = AC AB即.同理可證，CDB ACB，從而有 ，即 【證法9】做兩個(gè)全等的直

11、角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊長(zhǎng)為c。 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形。 過(guò)A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R。 過(guò)B作BPAF，垂足為P。 過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H。 BAD = 90º，PAC = 90º DAH = BAC又 DHA = 90º，BCA = 90ºAD = AB = c RtDHA RtBCA DH = BC = a，AH = AC = b由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP

12、= a，從而PH = ba RtDGT RtBCA RtDHA RtBCA RtDGT RtDHA DH = DG = a，GDT = HDA 又 DGT = 90º，DHF = 90ºGDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90 DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 把代入，得= =  【證法10】設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>

13、;a），斜邊的長(zhǎng)為c。 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）。 TBE = ABH = 90º TBH = ABE又 BTH = BEA = 90ºBT = BE = b RtHBT RtABE HT = AE = a GH = GTHT = ba又 GHF + BHT = 90ºDBC + BHT = TBH + BHT = 90º， GHF = DBC DB = EBED = baHGF = BDC = 90º RtHGF RtBDC. 即 .過(guò)Q作QMAG

14、，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90º，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM 。 又RtHBT RtABE。 所以RtHBT RtQAM 。 即 .由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE AQM + FQM = 90º，BAE + CAR = 90º，AQM = BAE FQM = CAR又 QMF = ARC = 90º，QM = AR = a RtQMF RtARC, 即. ，又 ， =即  【證法11】（利用切割線定理證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC =

15、a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90º，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得= 即  【證法12】（利用多列米定理證明）多列米定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過(guò)點(diǎn)A作ADCB，過(guò)點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有 AB = DC = c，AD = BC

16、= aAC = BD = b ，即 . 【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內(nèi)切圓O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE = = r + r = 2r,即 即 又 = .【證法14】（利用反證法證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足是D。 假設(shè)，即假設(shè) ，則由=可知 ，或者 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBCAB.在ADC和ACB中， A = A 若 AD：

17、ACAC：AB，則ADCACB在CDB和ACB中， B = B 若BD：BCBC：AB，則CDBACB又 ACB = 90º ADC90º，CDB90º這與作法CDAB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立。  【證法15】      設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊的長(zhǎng)為c。 作邊長(zhǎng)是a+b的正方形ABCD. 。 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 =。 , 。 【證法16】設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c。 做兩個(gè)邊長(zhǎng) 分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上。 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）。在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC， 則 AD = c EM = EH + HM = b + a , ED = a DM = EMED = a = b 又 CMD = 90º，CM = a AED = 90º， AE = b RtAED RtDMC EAD = MDC，DC = AD = c ADE + ADC+ MDC =180