分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中比的應(yīng)用

1、 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中比的應(yīng)用 一、抓不變量 【例1】有一些球，其中紅球占1/3，當(dāng)再放入8個紅球后，紅球占總球數(shù)的5/14，問現(xiàn)在共有多少球？解：其他球的數(shù)量沒有改變。增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是5（145）59。在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是1（31）124.59。因此8個紅球是54.50.5（份）?，F(xiàn)在總球數(shù)是本題的特點(diǎn)是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變。把12寫成4.59，就是充分利用這一特點(diǎn)。本題也可以列出如下方程求解：（x8）2x59?！纠?】甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是54，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是57。甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)

2、之和沒有變化。原來要分成549份，變化后要分成5712份。如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵。9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算，54（5×4）（4×4）2016.57（5×3）（7×3）1521。甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20155份。因此原來甲得22.5÷5×2090（分），乙得 22.5÷5×1672（分）。我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程。解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。根據(jù)得分變化，可列出比例式。（5x22.5）（4

3、x22.5）57 即 5（4x22.5）7（5x22.5），15x12×22.5，x18。甲原先得分18×590（分），乙得18×472（分）?！纠?】 張家與李家的收入錢數(shù)之比是85，開支的錢數(shù)之比是83，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元。問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解。如果他們開支的錢數(shù)之比也是85，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是85。張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元。240x85，x150（元）。實(shí)際上李家結(jié)余270元，比150元多120元。這就是85中5份與83中3份的差，每份是120÷（53）60。（元）。因此可求出解二：設(shè)

4、張家收入是8份，李家收入是5份。張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多。我們畫出一個示意圖：張家開支的3倍是（8份240）×3。 李家開支的8倍是（5份270）×8。從圖上可以看出 5×88×316份，相當(dāng)于270×8240×31440（元）。因此每份是1440÷1690（元）。張家收入是90×8720（元），李家收入是90×5450（元）。本題也可以列出比例式：（8x240）（5x270）83。然后求出x。事實(shí)上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些。

5、【例4】 A和B兩個數(shù)的比是85，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù)。解：減少相同的數(shù)34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點(diǎn)。 85，就是8份與5份，兩者相差3份。減去34后，A是B的2倍，就是21，兩者相差1。將前項與后項都乘以3，即2163，使兩者也相差3份?，F(xiàn)在就知道34是862（份）或532（份）。因此，每份是34217。 A數(shù)是17×8136，B數(shù)是17×585。本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的21，改寫成84?！纠?】 小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是43，小明又買來15張。小強(qiáng)用掉了8張，現(xiàn)有

6、的圖畫紙之比是52。問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性。437，527，1587。原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，新的1份原來1份1原來4份，新的5份，541，因此，新的1份有151×411（張）。小明原有圖畫紙11×51540（張），小強(qiáng)原有圖畫紙11×2830（張）。解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法。先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)（實(shí)際上就是通分）432015，52208。假設(shè)小強(qiáng)也買來15×3/445/4（張），那么變化后的比仍應(yīng)是20:15，但現(xiàn)在是20:8，因此這個比的每一份是（4

7、5/88）÷（158）11/4。小明現(xiàn)有20×11/455（張），原有551540（張）；小強(qiáng)現(xiàn)有8×11/422（張），原有22830（張）。當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法。解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強(qiáng)有3“份”圖畫紙。把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個結(jié)果相等。我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，3×54×27（份）相當(dāng)于圖畫紙15×28×570（張）。因此每份是10張，原來小明有40張，小強(qiáng)有30張。備注：例1至5這五個例題是同一類型的問題。用比例式的方程求解沒有

8、多大差別。用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路。另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握。例3的解一，也是一種通用的方法?！凹僭O(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用。從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性。因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維。【例6】 粗蠟燭和細(xì)蠟燭長短一樣。粗蠟燭可以點(diǎn)5小時，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時。同時點(diǎn)燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時間后，粗蠟燭長是細(xì)蠟燭長的2倍。問這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時間？解：設(shè)粗、細(xì)蠟燭長度是1，每小時粗蠟燭點(diǎn)去1/5

9、，細(xì)蠟燭點(diǎn)去1/4，我們把問題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長度是2，每小時點(diǎn)去2/4，問過多長時間兩支蠟燭長度相等。現(xiàn)在兩者相關(guān)是（21），每小時能縮小差距（2/41/5），因此兩者相等需要時間是（21）÷（2/41/5）10/3（小時）。把細(xì)蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了。解這類問題這是常用的技巧。再請看一個稍復(fù)雜的例子?！纠?】 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只。每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因?yàn)榧t球是白球的3倍多2只

10、，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只。因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×321只，最后應(yīng)剩 3×3 9只。因此，共取了（51 3×3）÷（7×315） 7（次）。紅球有 15×7 53 158（只）。白球有 7×7352（只）原來紅球比白球多 15852106（只）。經(jīng)典練習(xí)一1、甲、乙兩堆火柴，從甲取50根火柴到乙堆，甲、乙兩堆火柴一樣多；從乙取40根火柴到甲堆，甲、乙兩堆火柴根數(shù)之比是41。兩堆火柴各有多少根？2、A，B兩種商品的價格之比是73。如果

11、它們的價格分別上漲70元后，價格之比是74。這兩種商品原來的價格各是多少元？3、甲有50張畫片，甲拿出乙有的畫片數(shù)的8倍給乙，現(xiàn)在乙有的畫片數(shù)是甲的2倍。問乙原來有多少張畫片？4、兄、弟兩人，每月收入的比是43，支出錢數(shù)的比1813。全年他們兩人都結(jié)余3600元，問每人每月收入各多少元？5、一把小刀售價3元。如果小明買了這把小刀，小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是25；如果小強(qiáng)買了這把小刀，兩人錢數(shù)之比是813。問（1）買刀前小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比；（2）小明原有多少錢？6、哥哥要做384道口算題，弟弟要做180道口算題。每分鐘，哥哥能做18道，弟弟能做15道。幾分鐘后，哥哥剩下題數(shù)是弟弟剩下題數(shù)的4倍？7

12、、某學(xué)校入學(xué)考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是43。結(jié)果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是85。未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是34。問報考的共有多少人？8、 甲、乙兩個口袋分別裝有紅球和黃球，紅球個數(shù)的4倍與黃球的 3倍一樣多。從甲口袋中拿走 10個紅球，從乙口袋中拿走30個黃球后，紅球的5倍比黃球的4倍還多40個。甲、乙兩個口袋原來各有多少個球？【例1】學(xué)校男生人數(shù)占45，會游泳的學(xué)生占54。男生中會游泳的占72，問在全體學(xué)生中不會游泳的女生占百分之幾？【解1】在全體學(xué)生中，不會游泳的女生占33.4.在全體學(xué)生中，會游泳的男生占45×7232.4.在會游泳的學(xué)生中，男生占3

13、2.4÷54×100 60在全體學(xué)生中，不會游泳的女生占（100-45）-54×（1-60）33.4.【解2】畫一個圖非常清楚。【例2】、有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中白子都占28%。小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子?，F(xiàn)在，在所有余下的棋子中，白子將占32%。那么，共有棋子多少堆？ 方法一：思 路：拿走的全部是黑子，那么白子的數(shù)量沒有變，可以作為拿出前后的基準(zhǔn)。 解： 拿出前：因?yàn)槊慷哑遄訑?shù)一樣多且白子都占28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7； 拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：18-（7+18）/

14、2=14：11，即拿出黑子數(shù)是這對白子數(shù)的18/7-11/14=25/14； 在總數(shù)中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的17/8； 黑子對白子總數(shù)相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子數(shù)是白子總數(shù)的25/56； 所以，堆數(shù)=（25/14）/（25/56）=4堆。 答：共有棋子4堆。方法二：思 路：把比例問題處理成濃度問題解：將每一堆白子占28%的棋子看成是濃度28%的溶液，那么本題相當(dāng)于濃度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克濃度28%的溶液，才能使?jié)舛茸優(yōu)?2%。原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6&

15、#215;50=300克，所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。答：共有棋子4堆。方法三：思 路：有若干堆棋子，每堆一樣多，且白子都占28%。則白子占總數(shù)的28%。從某一堆中拿走一半，且拿走的都是黑子，則白子數(shù)沒有變。拿走黑子后，在所有棋子中，白子將占32%。說明剩下的棋子總數(shù)與原來棋子總數(shù)的比是28%：32%=7：8?，F(xiàn)有棋子為7份，原有棋子為8份。比原來少1份。這1份是原來一堆的一半。則原來一堆是2份。則原有8份是8/2=4堆。解：28%：32%=7：8， 8-7=11/（1/2）=2，8/2=4。答：共有棋子4堆?！纠?】、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16塊水果糖后，

16、奶糖就只占25%。那么，這堆糖果中有奶糖多少塊？方法一：思 路：總量數(shù)量是變化的，不能作為單位“1”但奶糖的數(shù)量沒有變化，因此我們可以以奶糖的數(shù)量作為基準(zhǔn)。解：奶糖占45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原來水果糖是奶糖的11/9；放入16塊水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后來水果糖是奶糖的3倍；3-11/9=16/9，即放入的16塊水果糖占奶糖的16/9，所以，奶糖數(shù)=16/(16/9)=9塊。答：這堆糖果中有奶糖9塊。方法二：思 路：放入水果糖后，奶糖的數(shù)量是不變的，我們要抓住這個不變量來當(dāng)做處理的中心，原來奶糖為45%，就是占9/

17、20，后來為25%，占總數(shù)的1/4，因?yàn)槟烫鞘遣蛔兊模园涯烫撬嫉姆肿犹幚沓?，即1/4=9/36，這樣總數(shù)就由原來的20份變成36份。增加了16份=16塊糖，所以原來奶糖9份=9塊解：45%=9/20，25%=1/4=9/36，36-20=16，16÷16=1，1×9=9（塊）答：這堆糖果中有奶糖9塊?？?結(jié)：這個題中，我們要抓住的就是關(guān)鍵的總量是不變的，然后牢牢抓住其他變量的變化跟這個量什么關(guān)系，這種處理方法在比例問題中要學(xué)會熟練處理。 方法三：原來奶糖占45%，放入16塊水果糖后，奶糖占25%。奶糖數(shù)沒有變。則原來糖的總數(shù)與放入水果糖后糖的總數(shù)比是25%：45%=

18、5：9。原來糖的總數(shù)是5份，現(xiàn)在糖的總數(shù)是9份。比原來多9-5=4份，即16塊。則每份是16/4=4塊。原來糖的總數(shù)是4×5=20塊。奶糖是20×45%=9塊。解：25%：45%=5：9，9-5=4，16/4=4，4×5=20，20×45%=9。答：這堆糖果中有奶糖9塊。二、典型的相遇問題【例1】甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加2米秒，乙比原來速度減少2米秒，結(jié)果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。（環(huán)形跑道的相遇問題)【解】：因?yàn)橄嘤銮昂蠹祝业乃俣群蜎]有改變，如果相遇后兩人和跑一

19、圈用24秒，則相遇前兩人和跑一圈也用24秒，方法有二。法一：以甲為研究對象，甲以原速跑了24秒的路程與以（+2 ）跑了24秒的路程之和等于400米，24+24（+2 ）=400 易得=米/秒法二：由跑同樣一段路程時間一樣，得到（+2）= 二者速度差為2；二者速度和（+）=，典型和差問題。由公式得：（2）÷2= ， =米/秒【變式練習(xí)1】小紅和小強(qiáng)同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52米，小強(qiáng)每分走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強(qiáng)每分走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)兩人的家相距多少米？【解】：因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇的地點(diǎn)不變，所以小紅兩次從出

20、發(fā)到相遇行走的時間不變，也就是說，小強(qiáng)第二次走的時間比第一次少4分鐘。（70×4）÷（90-70）=14分鐘 可知小強(qiáng)第二次走了14分鐘，他第一次走了144=18分鐘； 兩人家的距離：（52+70）×18=2196（米）【變式練習(xí)2】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，6小時后相遇在C點(diǎn)。如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米，如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米。甲車原來每小時向多少千米？ 【解】：設(shè)乙增加速度后，兩車在D處相

21、遇，所用時間為T小時。甲增加速度后，兩車在E處相遇。由于這兩種情況，兩車的速度和相同，所以所用時間也相同。于是，甲、乙不增加速度時，經(jīng)T小時分別到達(dá)D、E。DE121628（千米）。由于甲或乙增加速度每小時5千米，兩車在D或E相遇，所以用每小時5千米的速度，T小時走過28千米，從而T28÷5小時,甲用6（小時），走過12千米，所以甲原來每小時行12÷30（千米） 【例2】在400米的環(huán)行跑道上，A，B兩點(diǎn)相距100米。甲、乙兩人分別從A，B兩點(diǎn)同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？（典型的追及

22、問題）【解】：甲實(shí)際跑100/（5-4）=100（秒）時追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲實(shí)際跑100秒時，已經(jīng)休息4次，剛跑完第5次，共用140秒；這時乙實(shí)際跑了100秒，第4次休息結(jié)束。正好追上。答：甲追上乙需要時間是140秒?！就卣?】一個圓的圓周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)沿圓周相向爬行。這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，在運(yùn)動過程中它們不斷地調(diào)頭。如果把出發(fā)算作第零次調(diào)頭，那么相鄰兩次調(diào)頭的時間間隔順次是1秒、3秒、5秒、，即是一個由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列。問它們相遇時，已爬行的時間是多少秒？ 方法

23、一：找路程規(guī)律思 路：通過處理，找出每次爬行縮小的距離關(guān)系規(guī)律?！窘狻浚簝芍晃浵佅嗑?.26÷2=0.63米=63厘米，相向爬行1秒距離縮小5.5+3.5=9（厘米），如果不調(diào)頭需要63÷9=7（秒）相遇。 第1輪爬行1秒，假設(shè)向上半圓方向爬，距離縮小9×1厘米； 第2輪爬行3秒，調(diào)頭向下半圓方向爬，距離縮小9×（3-1）=9×2厘米； 第3輪爬行5秒，調(diào)頭向上半圓方向爬，距離縮小9×（5-2）=9×3厘米； 每爬行1輪距離縮小9×1厘米，所以爬行7輪相遇，時間是7×7=49（秒） 答：它們相遇時，已爬行

24、的時間是49秒。方法二：思 路：對于這種不斷改變前進(jìn)方向的問題，我們先看簡單的情況： 在一條直線上，如上面圖形，一只螞蟻先從0點(diǎn)出發(fā)向右走，然后按照經(jīng)過1秒、3秒改變方向.由于它的速度沒有變化，可以認(rèn)為螞蟻每秒鐘走一格. 第一次改變方向時，它到A，走1格，OA=1格； 第二次改變方向時，它到A，走3格，OA=2格； 第三次改變方向時，它到A，走5格，OA=3格； 第四次改變方向時，它到A，走7格，OA=4格； 第五次改變方向時，它到A，走9格，OA=5格.我們不難發(fā)現(xiàn)，小螞蟻的活動范圍在不斷擴(kuò)大，每次離0點(diǎn)都遠(yuǎn)了一格.當(dāng)兩只螞蟻活動范圍重合時，也就是它們相遇的時候. 另外我們從上面的分析可知，

25、每一次改變方向時，兩只螞蟻都在出發(fā)點(diǎn)的同一側(cè).這樣，通過相遇問題，我們可以求出它們改變方向的次數(shù)，進(jìn)而求出總時間.【解】：由前面分析知，每一次改變方向時，兩只螞蟻之間的距離都縮短：5.5+3.5=9厘米. 所以，到相遇時，它們已改變方向： 1.26×100÷2÷9=7次. 也就是在第7次要改變方向時，兩只螞蟻相遇，用時： 1+3+5+7+9+11+13=49秒.【例3】甲、乙兩車的速度分別為 52千米時和 40千米時，它們同時從甲地出發(fā)到乙地去，出發(fā)后6時，甲車遇到一輛迎面開來的卡車，1時后乙車也遇到了這輛卡車。求這輛卡車的速度。 （上山下山的行程問題、相遇與追及

26、的綜合題型）【解】：方法1：甲乙兩車最初的過程類似追及，速度差×追及時間路程差；路程差為72千米；72千米就是1小時的甲車和卡車的路程和，速度和×相遇時間路程和，得到速度和為72千米時，所以卡車速度為72-40=32千米時。方法2: 52×6-40×7=32千米時【拓展】:甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米時和48千米時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后 6時、7時、8時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。39千米/小時。 提示:先利用甲，乙兩車的速度及與迎面開來的卡車相遇的時間，求出卡車速度為24千米/小時

27、【拓展1】:快、中、慢三輛車同時同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、10分、12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為24千米時和19千米時，求中速車的速度。3【例4】甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時？ （多次折返的行程問題）【解1】：甲如果用下山速度上山，乙到達(dá)山頂時，甲走過的路程應(yīng)該是一個單程的1*1.5+1/2=2倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的2倍。兩人相遇時走了1小時

28、，這時甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了1小時，所以甲下山要用1/2小時。甲一共走了1+1/2=1.5（小時）【解2】：相遇時甲已經(jīng)下山600米，走這600米的時間，如果甲用上山速度只能走600/1.5=400米，所以上山速度一小時甲比乙多走600+400=1000米。乙到山頂時甲下到半山腰，甲走1/2下山路的時間，如果用來上山，只能走1/2/1.5=1/3的上山路，所以乙走完上山路的時間里，甲可以走上山路的1+1/3=4/3倍，說明上山速度甲是乙的4/3倍。甲上山速度是1000/（4/3-1）=4000（米），下山速度是4000*1.5=6000（米），上山路程是4000-400=36

29、00（米），出發(fā)1小時后，甲還有下山路3600-600=3000（米），要走6000/3000=0.5（小時）一共要走1+0.5=1.5（小時）【例5】一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16時；順流航行60千米，逆流航行120千米也用16時。求水流的速度（流水行船問題）?！窘狻浚簝纱魏叫卸加?6時，而第一次比第二次順流多行60千米，逆流少行40千米，這表明順流行60千米與逆流行40千米所用的時間相等，即順流速度是逆流速度的1.5倍。將第一次航行看成是16時順流航行了12080×1.5240（千米），由此得到順流速度為240÷1615（千米時），逆流速度為15&

30、#247;1.5=10（千米時），最后求出水流速度為（1510）÷22.5（千米時）。【拓展1】某河有相距45千米的上下兩港，每天定時有甲乙兩船速相同的客輪分別從兩港同時出發(fā)相向而行，這天甲船從上港出發(fā)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)拢?分鐘后與甲船相距1千米，預(yù)計乙船出發(fā)后幾小時可與此物相遇?！窘狻浚何矬w漂流的速度與水流速度相同，所以甲船與物體的速度差即為甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速為1÷=15千米/小時；乙船與物體是個相遇問題，速度和正好為乙本身的船速，所以相遇時間為：45÷15=3小時【拓展2】甲輪船和自漂水流測試儀同時從上游的A站順?biāo)蛳掠蔚腂站

31、駛?cè)ィc此同時乙輪船自B站出發(fā)逆水向A站駛來。7.2時后乙輪船與自漂水流測試儀相遇。已知甲輪船與自漂水流測試儀2.5時后相距31.25千米，甲、乙兩船航速相等，求A，B兩站的距離。 【解】：因?yàn)闇y試儀的漂流速度與水流速度相同，所以若水不流動，則7.2時后乙船到達(dá)A站，2.5時后甲船距 A站 31.25千米。由此求出甲、乙船的航速為31.25÷2.512.5（千米時）。 A，B兩站相距12.5×7.2=90（千米）?！就卣?】江上有甲、乙兩碼頭，相距15千米，甲碼頭在乙碼頭的上游，一艘貨船和一艘游船同時從甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛，5小時后貨船追上游船。又行駛了1小時，貨船

32、上有一物品落入江中（該物品可以浮在水面上），6分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了，便掉轉(zhuǎn)船頭去找，找到時恰好又和游船相遇。則游船在靜水中的速度為每小時多少千米？【解】：此題可以分為幾個階段來考慮。第一個階段是一個追及問題。在貨艙追上游船的過程中，兩者的追及距離是15千米，共用了5小時，故兩者的速度差是15÷5=3千米。由于兩者都是順?biāo)叫?，故在靜水中兩者的速度差也是3千米。在緊接著的1個小時中，貨船開始領(lǐng)先游船，兩者最后相距3*1=3千米。這時貨船上的東西落入水中，6分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。此時貨船離落在水中的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度*1/10千米，從此時算起，到貨船和落入水中的物體相遇，

33、又是一個相遇問題，兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度，所以這段時間是貨船的靜水速度*1/10÷貨船的靜水速度=1/10小時。按題意，此時也剛好遇上追上來的游船。貨船開始回追物體時，貨船和游船剛好相距3+3*1/10=33/10千米，兩者到相遇共用了1/10小時，幫兩者的速度和是每小時33/10÷1/10=33千米，這與它們兩在靜水中的速度和相等。（解釋一下）又已知在靜水中貨船比游船每小時快3千米，故游船的速度為每小時（33-3）÷2=15千米。【拓展4】一只小船從甲地到乙地往返一次共用2時，回來時順?biāo)?，比去時每時多行駛8千米，因此第2時比第1時多行駛6千米。求甲

34、、乙兩地的距離。【解1】：下圖中實(shí)線為第1時行的路程，虛線為第2時行的路程。由上圖看出，在順?biāo)旭傄粋€單程的時間，逆水比順?biāo)傩旭?千米。距【解2】：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因?yàn)槿r逆水，小船到達(dá)不了B地.我們在B之前設(shè)置一個C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時到達(dá)處.如下圖第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.考慮第二小時從B到A過程，D至B是5千米順?biāo)旭偅cC至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此順?biāo)俣饶嫠俣?53.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是 123=15（千米）.答：A至B兩地距離是15千米.3、 濃