分式方程的幾種特殊解法

1、分式方程的幾種特殊解法白云中學(xué)：孫權(quán)兵解分式方程的一般步驟：（1）去分母，化分式方程為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗(yàn)，判斷所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具體求解時(shí)卻不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程時(shí)，應(yīng)能根據(jù)方程的特點(diǎn)，采用靈活多變的解法，并施以適當(dāng)?shù)募记桑拍鼙芊本秃?jiǎn)，巧妙地將題目解出。下面舉例談?wù)劷夥质椒匠痰膸追N特殊技巧。1、 加減相消法。例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出該題的解，但并不是最佳解題方法。如果我們發(fā)現(xiàn)方程兩邊都加上分式，則可以通過在方程兩邊都加上分式，就將原方程化簡(jiǎn)成，從而輕松獲解。解：原方程兩邊都加上，則可得： 去分母，得： 解

2、得： 經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。2、 巧用合比性質(zhì)法。例2：解方程：。分析：若我們能發(fā)現(xiàn)方程兩邊的分式的分子比分母都多1的話，則可以利用合比性質(zhì)將分子化為1，從而可以輕易將方程的解求出。解：由合比性質(zhì)可得： 去分母并化簡(jiǎn)得：，即 解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。3、 巧用等比性質(zhì)法。例3、解方程：。分析：該方程兩邊的分式的分子之差和分母之差都是常數(shù)，故可考慮先用等比性質(zhì)將原方程化簡(jiǎn)后再求解。解：由等比性質(zhì)可得：。 化簡(jiǎn)得： 經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。4、 分組化簡(jiǎn)法。例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分將會(huì)出現(xiàn)高次方程，并且運(yùn)算過程十分復(fù)雜，做法不可取。此題可采用分組組合后各自通分的方法來

3、求解。解：原方程可化為： 分別通分并化簡(jiǎn)，得： 解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。5、 倒數(shù)法。例5、解方程：。分析：本題若按常規(guī)方法去做，需通分和去分母，然后再求解，過程較復(fù)雜。但如果采用倒數(shù)法，則可以簡(jiǎn)化解題過程。解：原方程兩邊取倒數(shù)，得： 移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得： 方程兩邊取倒數(shù)，得： 解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。6、 列項(xiàng)變形法。例6、解方程：。分析：將該方程直接去分母，方程兩邊的運(yùn)算十分繁雜。若注意到方程的分母特點(diǎn)是兩個(gè)連續(xù)因式的積，它們的差為1。凡是這樣的分式或分?jǐn)?shù)都能拆開成兩個(gè)分式或分?jǐn)?shù)的差，使得除首、末兩項(xiàng)之外的中間項(xiàng)可以相互抵消，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)。解：原方程可化為： 去分母化簡(jiǎn)得：

4、解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。7、 換元法。例7、解方程：。分析：注意到與互為倒數(shù)，因此可考慮換元法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。解：令，則，故原方程可化為： 去分母化簡(jiǎn)得：解得： 所以化簡(jiǎn)得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。8、 化為整式部分和分式部分之和的變形法。例8、解方程：。 分析：若一個(gè)方程的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，則可把這個(gè)分式化為化為整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。解：原方程可化為： 去分母得： 解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。9、 巧用特殊方程法。例9、解方程：。分析：對(duì)于方程，我們易知它的根為。而本題可化為的形式，所以利用上述結(jié)論可巧妙將方程解出。解：原

5、方程可化為： 或 解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。10、 設(shè)輔助元法。例10、解方程：。 分析：此方程若直接通分將會(huì)出現(xiàn)高次方程，并且運(yùn)算過程十分繁雜。如果我們觀察到原方程的特殊結(jié)構(gòu)，采用設(shè)輔助元，令，則可得，而原方程則可化為，進(jìn)一步可構(gòu)造和為根的一元二次方程，然后在求出和的基礎(chǔ)上獲得原方程的解。解：設(shè)，則可得 又原方程則可化為 所以由、可知：和可以看作一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。解之得：所以有：或進(jìn)一步解得：。經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。11、 函數(shù)圖象法。例11、解方程：。 分析：原方程可化為，我們可以將此方程的兩邊分別看作二次函數(shù)和反比例函數(shù)。然后在同一直角坐標(biāo)系分別作出它們的圖象，兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是原方程的解。解：原方程可化為：。將此方程的兩邊分別看作二次函數(shù)和反比例函數(shù)。在同一直角坐標(biāo)系分別作出它們的圖象（如下圖）： 觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）故原方程的解為。經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解。以上介紹了分式方程的十