2018版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量及其運(yùn)算3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案新人教A版

1、3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解空間向量坐標(biāo)的概念， 會確定一些簡單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo) .2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，并會判斷兩個(gè)向量是否共線或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式，并能運(yùn)用這些知識解決一些相關(guān)問題ET問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考 設(shè) m= (xi, yi) , n=(x2, y2),那么 m n, m- n,入 m m- n 如何運(yùn)算？答案n = (xi + x2, yi + y2), m- n=(X1-X2, yi-y2),入 m=(入 xi,入 yi), m- n = xiX2 +yiy2.梳理 空間向量a, b,其坐標(biāo)形

2、式為 a=(ai, a2, a3), b=(bi, E, b).向量運(yùn)算向里表小坐標(biāo)表小加法a+ b(ai+bi, a2+b2, a3+b3)減法a b(aibi, a2b2, a3b3)數(shù)乘入a(入 ai,入 a2,入 a?)數(shù)量積a baibi+ a2b2+a3b3知識點(diǎn)二 空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè) a=(ai, a2, a3), b=(bi, b2, b3),則21題型探究名稱滿足條件向里表小形式坐標(biāo)表小形式a / ba=入 b(入 R)ai =入 bi, a2 =入 b2, a3 =入 b3(入 e R)a±ba , b= 0aibi+ a2b2 +a3b3 = 0模

3、|a| =7a_a.i 2 .2 ,"2| a| =ai + a2+ a3夾角a - bai bi + a2b2 + a3 b3cos a b)一|a| b|cos a,b/J 222 1.2 .2 .2V ai + a2+ aR bi + b2+ b3類型一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 i 已知 a=(i , -2, i) , a-b=(-i, 2, - i),則 b 等于(A.(2 , -4, 2)B.( 2, 4, 2)C.( -2, 0, 2)D.(2 ,1,-3)答案 A解析 依題意，得 b= a ( 1, 2, - 1) = a+ (1 , 2, 1) = 2(1 , 2, 1)

4、=(2, 4, 2).反思與感悟關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問題(1)直接計(jì)算問題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練1 若向量a= (1 , 1,x),b= (1 ,2,1) ,c=(1 , 1, 1),且滿足條件(ca) (2b)=一2,貝U x=.答案 2解析據(jù)題意，有 c-a=(0 , 0, 1x), 2b= (2, 4, 2),故(ca) - 2 b= 2(1 x) = 2,解得 x = 2.類型二 空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示例 2 已知空間三點(diǎn) N2, 0

5、, 2) , B( 1, 1, 2) , Q 3, 0, 4),設(shè) a = A目 b=XC若| c| =3, c/的求c;(2)若ka + b與ka2b互相垂直，求 k.解(1)因?yàn)?B> ( -2, - 1, 2),且 c/ BC所以設(shè)c=入BC= (2入，一入，2入)，得 | c| = y(-2 入 2+(-入 2+(2 入 2 = 3| X | =3,解得 入=±1.即 c=(-2, 1, 2)或 c = (2, 1, -2).(2)因?yàn)?a=AB= (1 ,1,0), b = XC= ( -1, 0, 2),所以 ka+b = (k1, k, 2) , ka 2b=(k

6、+2, k, - 4).又因?yàn)?ka+b) ±( ka 2b),所以(ka+b) ( ka2b) = 0.即(k1, k, 2) ( k+2, k, -4) =2k2 + k-10=0.解得k=2或k=-5.引申探究若將本例(2)中改為“若ka b與ka+2b互相垂直”，求 k的值.解 由題意知 ka-b = (k+1, k, 2), ka+2b=(k-2, k, 4),.(ka-b)±(ka+2b),(ka-b) (ka+ 2b) = 0,一25即(k+1)( k2) + k 8=0,解得 k= 2或 k=2,一， ，,5故所求k的值為2或/.反思與感悟(1)平行與垂直的

7、判斷應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a, b平行，可設(shè)a=Xb),建立關(guān)于參數(shù)的方程.選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練2 在正方體 AC中，已知E、F、G H分別是CC、BC CDB AC的中點(diǎn).證明：(1) AB/ GE ABLEH(2) AG，平面 EFD證明 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體棱長為1,則A(0, 0, 0), R1 , 0, 0), Q1 , 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0

8、, 0, 1), B1(1 , 0, 1), G(1 , 1, 1), D(0, 1, 1),由 中點(diǎn)性質(zhì)得 e1, 1, 1 I； FH, 2, 0 ；, G, 1, 0 I； H2, 2, 1j AB=(1 , 0, 1), Ge= g 0, 2EH= 1 2, 2, 1 i1 . AB=2GE AB - EH= 1X I-1 ,!+0+1x 1=0, ,222 .AB/ GE ABIEH. IP AB/ GE ABXEH(2) Afe= ¥，1, - 1 I； Df=2, 0 I-DE=0, 2 ；,- AG- Df= 2 1+0=0, AG- DE= 2 + 0-2=0,.

9、AG! DF, AG! DE又 DFA DE= D, AG,平面 EFD類型三空間向量的夾角與長度的計(jì)算例3 棱長為1的正方體 ABCDABGD中，E, F, G分別是DD, BD BB的中點(diǎn).求證：EF± CF;(2)求EFWCG刑或角的余弦值；求CE的長.Dxyz,則 口0 , 0, 0) , E0, 0, 2Q0 , 1, 0),(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系所以EF= g，2, -2j CF= g，0> CG= ，0，2j，CE=(0， 1, 2j 因?yàn)?EF. CF= 2*2 + 2* 2 ,2 !：x 0=0，所以揖樂 即 EF所以 cos <EF,

10、CG =生應(yīng)=1=里.|EF|CG 亞x亞 15 CF“i d a 11111(2)解 因?yàn)?EF- C&-X1 + 2X0+ ( -2) ><2=4,求四棱錐P ABCD勺體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線 DE與PA所成角的余弦值 解(1)二.四邊形ABCD1邊長為2的菱形，且/ DAB= 60。， .OA= OG= & BO= OD= 1, S菱形abca；X2X2#=2*.在 RtAPOB, / PBO= 60 ,1Vp1 ABCD= S 菱形 ABCD3 -P0= OB- tan 60= J3.1 一 一一PO=-X 2 3j3X 43= 2. 3(

11、2)如圖，以0為原點(diǎn),OB OC OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1, 0, 0),Q0,小,0),D(-1, 0, 0),A(0,一m,0),P(0, 0,73).,度 0, 1")'0, - 73,一呵.D0,* j PA=(- De- PA= 0+ 0+ 乎x ( V3) 1麗=嫄，1南=m.3> >一二廠二3DE- PA 2 山 cos DE PQ =-(=t= 一 .ideipA v3xV64異面直線所成的角為銳角或直角，異面直線DE與PA所成角的余弦值為；當(dāng)堂訓(xùn)練1 .已知向量 a=(3 , 2, 1) , b=( 2, 4, 0)

12、,則 4a+2b 等于()A.(16 , 0, 4)B.(8 , 16, 4)C.(8 , 16, 4)D.(8 , 0, 4)答案 D解析4a+2b=4(3, 2, 1)+2(2, 4, 0) = (12, 8, 4) + ( 4, 8, 0)=(8, 0, 4).2 .若 a=(2, 3, 1), b=(2, 0, 3), c=(0, 2, 2),則 a(b+c)的值為()A.4 B.15 C.3 D.7答案 C解析 . b+c=(2, 2, 5) , a ( b+c) =4-6+ 5= 3.3 .已知a=(2, 3, 1),則下列向量中與 a平行的是()A.(1 ,1,1)B.( -4,

13、 6, 2)C.(2 , - 3, 5)D.( -2, - 3, 5)答案 B解析 若 b = ( 4, 6, 2),則 b=- 2(2 , 3, 1) = 2a,所以 a/ b.4 .已知向量a=(1 , 1, 0) , b=( 1, 0, 2),且ka+ b與2a-b互相垂直，貝U k的值是(A.1 B.-C.-D.答案 D解析依題意得(ka+b) (2 a-b) =0,所以 2k| a|2- ka b+ 2a b- | b| 2= 0,而| a| 2= 2, | b| 2= 5, a - b= - 1,所以 4k+k25=0,解得 k=7.5 .已知 A(2 , 5, 1), B(2 ,

14、 2, 4), C(1 , 4, 1),則向量 AEBfAC勺夾角為 解析-.AE (0, 3, 3), AC> ( 1, 1, 0),.|麗=3隹|麗=隹ABB- AC= 0X( 1) +3X1+ 3X0= 3,.cos < AEB Ab12'AB Ac I ABI AC又 Ah Ab e 0 ,兀,陌 Xb =學(xué)L規(guī)律與方法-1 .在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(xi, yi, zi) , B(X2, y2, Z2),則曲=(X2xi,乎一“ zzi). 一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去 它的起點(diǎn)坐標(biāo).2 .兩點(diǎn)間的距離公式：若A(

15、xi, yi, zi) , B(X2, y2, Z2),則 | AB = | AB| = /XB= d(X2 Xi(y2 yi 2+ 仔2 zi 2.3 .空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應(yīng)向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應(yīng)向量的夾角的取值范圍1)40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1 .已知a=(2, 4, 5), b=(3, X, y)分別是直線li,匕的方向向量.若li/以 則()i5A.X=6, y= i5B.X=3, y=i5C.X=3, y= i5D.X=6, y=答案 D解析

16、由 l i/12,= _ = 解得 X=6, y=.3 X y22 .已知直線i的方向向量為a,平面“內(nèi)兩共點(diǎn)向量OA Ob下列關(guān)系中能表示l / “的 是()A.a=OAB.a=kOBC.a= pOA入OBD.以上均不能答案 D3 .已知 a=(i , 5, 2), b=(m 2,2),若 a±b,則 m的值為()A.0 B.6 C. -6 D. ±6答案 B解析 a±b,，ix5X22( m2)=0,解得 m= 6.4 .已知 a=(i, 0, i), b=(-2, - i, i), c=(3, i, 0),則 |ab+2c| 等于()A.3 10 B.210

17、 C. 10 D.5答案 A解析 ab +2c=(9, 3, 0) , |a-b+2c| = 3/10 .則 ABC的5 .若 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(1 , 2, 1), B(4, 2, 3), C(6 , 1, 4), 形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形答案 A解析 AB= (3, 4, 2), AC= (5, 1, 3),鼠(2, 3, 1).由AB-ac>0,得a為銳角；由CA-Cb>0,得C為銳角；由BA-bc>0,得b為銳角.所以ABC銳角三角形.6.已知向量a=(2x, 1,A.x= 1, y= 13) , b = (1

18、, 2y, 9),若a與b為共線向量，則(r11B.x = 2, y=- 2y=八 1C.x=6, V=答案 C解析 . a=(2x, 1, 3)與 b=(1, 2y, 9)共線,2x 13 r= _z-=不(y w 0),1 2y 9 ,13- x=6，y=-2.二、填空題7.若 A(1, n- 1, 3), B(2 m n,m-2n) , C( m 3, n- 3, 9)三點(diǎn)共線，則答案 0解析因?yàn)?A B= (mi- 1, 1, mi- 2n- 3) , AC= (2 , -2, 6),由題意得AB/ AC所以m- 121m- 2n- 3«=7-26所以 m= 0, n=0,所

19、以n= 0.8.已知空間三點(diǎn) A(1 , 1, 1), B( -1, 0, 4), Q2, 2, 3),則ABfCAl勺夾角0的大小是12'解析ABB= ( 2, 1, 3), CAA= ( -1, 3, 2), Xb5- CAa= -7, | 麗=小，|斗=產(chǎn),.八一7 cos 0 = =又。e 0 , % ,0 = - % .39 .已知點(diǎn) A(1 , 0, 0) , B(0 , 1, 0), Q0, 0, 2),則滿足 DB/ AC DC/ AB的點(diǎn) D的坐標(biāo)為答案(一1, 1, 2)解析設(shè)點(diǎn)D(x, y, z),一 ，一則 DBB= (x, 1 -y, - z) , AC= (

20、 - 1, 0, 2),DG= (-x, -y, 2-z), AB= (-1, 1, 0), 因?yàn)?DB/ AC DC/ AB 所以 DB/ AC DC/ Ahx z'x= 1,1-y=0,則解得Sy=1,-x -y丁 丁”，'2-z=0,所以口 一1, 1, 2).一，一.210 .已知向量a=(5, 3, 1), b=(2, t, 5),若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù) t的取值范圍為66 52答案10°, 5)u15,旬252解析 由已知得 a - b = 5X( - 2) + 3t +1 x -3t ,55因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以 a - b<0,525

21、2即 3t一 3<°，所以 t<-若a與b的夾角為180° ,則存在 入<0,使a=入b(入<0),口.，c ，2即(5 , 3, 1)=入2, t , 5 ,5= 2 入所以2.1 = 5 入所以5,故t的取值范圍是三、解答題66 52515，15/11 .已知空間三點(diǎn) A(0, 2, 3), B(-2, 1, 6), C(1 , 1, 5),求以危 氏為鄰邊的平行四 邊形的面積S.解.XB- (-2, - 1, 3) , AC> (1 , - 3, 2),.cos < AB XbAB- AC-2+3+61| 俞 | AC *+ 1+9

22、 , M1+ 9 + 4 2，sin AB A。= 2, " S= | AB , I AC ' sin AB AC = 743,以AB AC為鄰邊的平行四邊形的面積為7,5.12.如圖，在棱長為1的正方體 ABCDABGD中，E, F分別為AB和BC的中點(diǎn)，試在棱 BB上找一點(diǎn)M使得DM1平面EFR解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，0, 1) , E'1, 1, 0 j 設(shè) M1 , 1, m).則 A(1 , 0, 0) , B(1 , 1, 1), Q0 , 1, 0), D(0,連接 AC 則AC= (-1, 1, 0).而E, F分別為AB BC的中點(diǎn), 一1.11. -1所以 EF= 2AO ( 2， 2， 0).又因?yàn)?BiE= |0, 2， 1 I,DM= (1 , 1, m- 1),而DML平面EFB,所以DM! EF,且 DM! BE,即DM- Ef= 0,且 DM- BE= 0.1 12+2 + W1 )X 0= 0,所以110-+ 1 - m= 0, 2_1 _解得m 2,即M為BB的中點(diǎn).13.在長方體