現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)考試題A卷及答案

1、一 （本題滿(mǎn)分10分）如圖所示為一個(gè)擺桿系統(tǒng)，兩擺桿長(zhǎng)度均為，擺桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，擺桿末端兩個(gè)質(zhì)量塊（質(zhì)量均為）視為質(zhì)點(diǎn)，兩擺桿中點(diǎn)處連接一條彈簧，與分別為兩擺桿與豎直方向的夾角。當(dāng)時(shí)，彈簧沒(méi)有伸長(zhǎng)和壓縮。水平向右的外力作用在左桿中點(diǎn)處，假設(shè)擺桿與支點(diǎn)之間沒(méi)有摩擦與阻尼，而且位移足夠小，滿(mǎn)足近似式，。（1）寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。【解】（1）對(duì)左邊的質(zhì)量塊，有對(duì)右邊的質(zhì)量塊，有在位移足夠小的條件下，近似寫(xiě)成： 即（2）定義狀態(tài)變量，則或?qū)懗啥ū绢}滿(mǎn)分10分）設(shè)一個(gè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其中。若時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)為；時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)為。試求當(dāng)時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)?！窘獯稹肯到y(tǒng)的狀態(tài)

2、轉(zhuǎn)移矩陣為，根據(jù)題意有合并得求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為當(dāng)時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)為三（本題滿(mǎn)分10分）已知某系統(tǒng)的方塊圖如下，回答下列問(wèn)題：（1）按照上圖指定的狀態(tài)變量建立狀態(tài)空間表達(dá)式；（2）確定使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時(shí)，參數(shù)的取值范圍。【解答】（1）系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時(shí)，參數(shù)且。四（本題滿(mǎn)分10分）離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（1）是否存在一個(gè)有限控制序列，使得系統(tǒng)由已知的初始狀態(tài)，轉(zhuǎn)移到，？試給出判斷依據(jù)和判斷過(guò)程。（2）若存在，求的最小值及控制序列。【解答】（1）由題意，由系統(tǒng)能控性的定義可知：存在有限控制序列，使得在有限時(shí)間內(nèi)由狀態(tài)初值轉(zhuǎn)移到零。（2）由系統(tǒng)狀態(tài)完全能

3、控的性質(zhì)可知，此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，可用適當(dāng)?shù)?，使得，即的最小值?。 根據(jù)狀態(tài)方程進(jìn)行遞推如下：，由上面最后一步可得即即，。五（本題滿(mǎn)分10分）對(duì)下列系統(tǒng)試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，滿(mǎn)足以下要求：閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間等于3.14秒。【解答】假設(shè)狀態(tài)反饋控制律為，代入狀態(tài)方程得閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為根據(jù)題意的要求，期望特征多項(xiàng)式為根據(jù)多項(xiàng)式恒等的條件可得：解得狀態(tài)反饋控制律為。六（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為若該系統(tǒng)的狀態(tài)不可測(cè)量，試設(shè)計(jì)一個(gè)降維狀態(tài)觀測(cè)器，使降維觀測(cè)器的極點(diǎn)為，要求寫(xiě)出降維觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程，并寫(xiě)出狀態(tài)的估計(jì)方程。【解答】將狀態(tài)空間表達(dá)式寫(xiě)成：進(jìn)一步寫(xiě)成設(shè)降維觀測(cè)器方程為引入中間變量，兩邊求導(dǎo)數(shù)得根據(jù)題意，降維觀測(cè)器的極點(diǎn)為-10，即，解得。 最終得到降維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為狀態(tài)估計(jì)的表達(dá)式為。七. （本題滿(mǎn)分10分）證明對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)的線(xiàn)性變換，其傳遞函數(shù)（矩陣）保持不變。【證明】設(shè)原線(xiàn)性系統(tǒng)為其傳遞函數(shù)矩陣為 設(shè)線(xiàn)性變換為，變換后的線(xiàn)性系統(tǒng)為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為顯然，即其傳遞函數(shù)（矩陣）保持不變。 證畢八. （本題滿(mǎn)分10分）某2階非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，證明該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定?！咀C明】取李雅普諾夫函數(shù)，顯然是正定函數(shù)；此外，沿著狀態(tài)軌線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)