二次函數中考經典題

1、 二次函數 評卷人 得 分 一解答題（共50小題）1如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使PBC為等腰三角形？若存在請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，MNB面積最大，試求出最大面積2已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于

2、點B，拋物線y=x2+bx+c經過點A和點B，點C在第三象象限，且ACAB，tanACB=（1）當t=1時，求拋物線的表達式；（2）試用含t的代數式表示點C的坐標；（3）如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值3如圖，RtOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，OAB=90°，OA=4，AB=2，把RtOAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點，問：四邊形PEFM的

3、周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由4如圖，已知拋物線經過A（2，0），B（3，3）與原點O，頂點為C（1）求拋物線的函數解析式（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標（3）P是拋物線上的第一象限的動點，過點P作PMx軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由5如圖，在平面直角坐標系

4、中，拋物線y=ax23ax4a的圖象經過點C（0，2），交x軸于點A、B（A點在B點左側），頂點為D（1）求拋物線的解析式與點A、B的坐標；（2）將ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A，試求A的坐標；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使BPC=BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由6已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當AMB為直角三角形時，就稱AMB為該拋物線的“完美三角形”（1）如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”

5、的斜邊長的數量關系是；（2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n5的最大值為1，求m，n的值7如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x4）（k為常數，且k0）與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經過點B的直線y=x+b與拋物線的另一個交點為D（1）若點D的橫坐標為x=4，求這個一次函數與拋物線的解析式；（2）在（1）問的條件下，若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？（3）

6、問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得APBABC？若存在，請直接寫出這時k的值；若不存在，請說明理由8如圖，拋物線y=ax2+bx3a經過A（1，0）、C（0，3）兩點，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，m1）在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使PCB=CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由9如圖，A，B兩點在x軸的正半軸上運動，四邊形ABCD是矩形，C，D兩點在拋物線y=x2+8x上（1）若OA=1，求矩形ABCD的周長；（2）設OA=m（0m4），求出四

7、邊形ABCD的周長L關于m的函數表達式；（3）在（2）的條件下求L的最大值10如圖，已知拋物線經過原點O和點A，點B（2，3）是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BCx軸交拋物線于點C，連接BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形（1）直接寫出A、C兩點的坐標；求這條拋物線的函數關系式；（2）設該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得PBM是以BM為底邊的等腰三角形，并求出此時點P的坐標；（3）經過點M的直線把OACB的面積分為1：3兩部分，求這條直線的函數關系式11如圖，拋物線y=x4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點（端點除外），過P作PDAC，交BC于點D，連接

8、CP（1）直接寫出A、B、C的坐標；（2）求拋物線y=x4的對稱軸和頂點坐標；（3）求PCD面積的最大值，并判斷當PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形12如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4經過A（3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，D（44，0）動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動（1）求該拋物線的解析式；（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；（3）在第一象限的拋物線上取一點G，使得SGCB=SGCA，再在拋物線上找點E（不與點A、B、

9、C重合），使得GBE=45°，求E點的坐標13如圖，拋物線y=x2+bx+c經過A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式與頂點坐標；（2）若將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；（3）過點P（m，0）作x軸的垂線（1m2），分別交平移前后的拋物線于點E，F，交直線OC于點G，求證：PF=EG14如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此拋物線的解析式（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），

10、過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PDAB于點D動點P在什么位置時，PDE的周長最大，求出此時P點的坐標15如圖，在直角坐標系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx2的圖象經過C點（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l當l移動到何處時，恰好將ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由16如圖所示，二次函數y=2x2+4x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于

11、點C（1）求m的值與點B的坐標；（2）求ABC的面積；（3）該二次函數圖象上有一點D（x，y），使SABD=SABC，請求出D點的坐標17在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx2（m+n）x+n（m0）的圖象與y軸正半軸交于A點（1）求證：該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；（2）設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B，若ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，設M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，當3p0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值圍18如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a

12、x2+bx+3與x軸交于點A（3，0）、C（1，0），與y軸交于點B（1）求此拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PDAB于點D過點P在什么位置時，PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標19如圖，拋物線y=x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PCD是以CD為腰的等腰三角形

13、？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積與此時E點的坐標20如圖1，已知拋物線y=x2+x+與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作DHx軸于點H，過點A作AEAC交DH的延長線于點E（1）求線段DE的長度；（2）如圖2，試在線段AE上找一點F，在線段DE上找一點P，且點M為直線PF上方拋物線上的一點，求當CPF的周長最小時，MPF面積的最大值是多少；（3）在

14、（2）問的條件下，將得到的CFP沿直線AE平移得到CFP，將CFP沿CP翻折得到CPF，記在平移過稱中，直線FP與x軸交于點K，則是否存在這樣的點K，使得FFK為等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，說明理由21在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x2+（m1）x+4m的圖象與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）（1）求m的值與點A的坐標；（2）如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連結AB、BE當點E落在該二次函數的圖象上時，求AA的長；設AA=n，其中0n2，試用含n的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值時點E的坐標；當AB+BE取得

15、最小值時，求點E的坐標22已知二次函數y=ax2+4amx（m0）的對稱軸與x軸交于點B，與直線l：y=交于點C，點A是該二次函數圖象與直線l在第二象限的交點，點D是拋物線的頂點，已知AC：CO=1：2，DOB=45°，ACD的面積為2（1）求拋物線的函數關系式；（2）若點P為拋物線對稱軸上的一個點，且POC=45°，求點P坐標23如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x+1與拋物線y=ax2+bx+c（a0）相交于點A（1，0）和點D（4，5），并與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x=1，且拋物線與x軸交于另一點B（1）求該拋物線的函數表達式；（2）若點E是直線下方拋物線

16、上的一個動點，求出ACE面積的最大值；（3）如圖2，若點M是直線x=1的一點，點N在拋物線上，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點M的坐標；若不能，請說明理由24如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側，A為（1，0），拋物線與y軸交于點C（0，4），對稱軸為x=1，連接BC（1）計算a、b、c的值；（2）若點G為直線BC上方的拋物線上的一動點，試計算以A、B、G、C為頂點的四邊形的面積的最大值；（3）若點H為對稱軸上的一個動點，點P為拋物線上的一個動點，當以H、P、B、C四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求出點H的

17、坐標25如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點A（1，0），點C（0，2）（1）求拋物線的函數解析式；（2）若D是拋物線位于第一象限上的動點，求BCD面積的最大值與此時點D的坐標26如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若已知B點的坐標為B（8，0）（1）求拋物線的解析式與其對稱軸（2）連接AC、BC，試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由（3）M為拋物線上BC之間的一點，N為線段BC上的一點，若MNy軸，求MN的最大值；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存

18、在，請說明理由27如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線AB交于A（4，4），B（0，4）兩點，直線AC：y=x6交y軸于點C點E是直線AB上的動點，過點E作EFx軸交AC于點F，交拋物線于點G（1）求拋物線y=x2+bx+c的表達式；（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；（3）在（2）的前提下，y軸上是否存在一點H，使AHF=AEF？如果存在，求出此時點H的坐標，如果不存在，請說明理由28如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點A（6，0），B（1，0），與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為該拋物線上一個動點；動點P作y軸的垂線交直線AC于點D

19、，點P的坐標是多少時，以O為圓心，OD的長為半徑的O與AC相切？是否存在點P，使ACP為直角三角形？若存在，有幾個？寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由29拋物線y1=ax2+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P在拋物線上，過P（1，3），B（4，0）兩點作直線y2=kx+b（1）求a、c的值；（2）根據圖象直接寫出y1y2時，x的取值圍；（3）在拋物線上是否存在點M，使得SABP=5SABM，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由30如圖，拋物線y=ax2+x+c過A（1，0），B（0，2）兩點（1）求拋物線的解析式（2）M為拋物線對稱軸與x軸的交點，N為x軸上對稱

20、軸上任意一點，若tanANM=，求M到AN的距離（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由31已知，如圖，二次函數y=ax2+bx6的圖象分別與x軸與y軸相交于點A（6，0）、點B，點C（6，6）也在函數圖象上（1）求該二次函數的解析式（2）動點P從點B出發(fā)，沿著y軸的正方向運動，是否存在某一位置使得OAP+OAC=45°？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）點Q為直線AC下方拋物線上一點，當以點A、B、C、Q為頂點的四邊形的面積最大時，求出點Q的坐標32如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+

21、bx5與x軸交于A（1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C（1）求拋物線的函數表達式；（2）如圖2，CEx軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標；（3）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標33如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角

22、坐標系（1）求點E坐標與經過O，D，C三點的拋物線的解析式；（2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2 個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動設運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ；（3）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由34如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，且A（6，0），D（2，8）（1）求拋物線的解析式；（2

23、）點P是直線AC下方的拋物線上一動點，不與點A、C重合，求過點P作x軸的垂線交于AC于點E，求線段PE的最大值與P點坐標；（3）在拋物線的對稱軸上足否存在點M，使得ACM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由35求二次函數y=2x24x+1的頂點坐標，并在下列坐標系畫出函數的大致圖象說出此函數的三條性質36拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上求一點P，使SPAB=SABC，寫出P點的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QBC的周長最??？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理

24、由37如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側，直線y=x1與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標為2（1）求二次函數的解析式；（2）P是線段AC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值38已知二次函數y=x2+bx3（b是常數）（1）若拋物線經過點A（1，0），求該拋物線的解析式和頂點坐標；（2）P（m，n）為拋物線上的一個動點，P關于原點的對稱點為P，當點P落在該拋物線上時，求m的值；（3）在1x2圍，二次函數有最小值是6，求b的值39在平面直角坐標系xOy中，點C是二次函數y=mx2+4mx+4m+1的圖象的頂點，一次函數y

25、=x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B（1）請你求出點A、B、C的坐標；（2）若二次函數y=mx2+4mx+4m+1與線段AB恰有一個公共點，求m的取值圍40如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（5，0）兩點，點P為拋物線的頂點（1）求該拋物線的解析式；（2）求PAB的正弦值；（3）如圖2，四邊形MCDN為矩形，頂點C、D在x軸上，M、N在x軸上方的拋物線上，若MC=8，求線段MN的長度41如圖，經過原點的拋物線y=x2+2mx（m0）與x軸的另一個交點為A，過點P（1，m）作直線PAx軸于點M，交拋物線于點B記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B、C不重合），

26、連接CB、CP（I）當m=3時，求點A的坐標與BC的長；（II）當m1時，連接CA，若CACP，求m的值；（III）過點P作PEPC，且PE=PC，當點E落在坐標軸上時，求m的值，并確定相對應的點E的坐標42如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（3，0），點C為拋物線與y軸的交點（1）求拋物線的解析式；（2）若點E為直線BC上方拋物線上的一點，請求出BCE面積的最大值（3）在（2）條件下，是否存在這樣的點D（0，m），使得BDE為等腰三角形？如果有，請直接寫出點D的坐標；如果沒有，請說明理由43在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c（b，c都是常數）的圖象經過點

27、（1，0）和（0，2）（1）當2x2時，求y的取值圍（2）已知點P（m，n）在該函數的圖象上，且m+n=1，求點P的坐標44如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過原點O和B（4，4），且對稱軸為直線x=（1）求拋物線的函數表達式；（2）D是直線OB下方拋物線上的一動點，連接OD，BD，在點D運動過程中，當OBD面積最大時，求點D的坐標和OBD的最大面積；（3）如圖2，若點P為平面一點，點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，直接寫出滿足PODNOB的點P坐標45如圖，拋物線y=ax2x2（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）

28、（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標46在平面直角坐標系xOy中，已知點B（8，0）和點C（9，3）拋物線y=ax28ax+c（a，c是常數，a0）經過點B、C，且與x軸的另一交點為A對稱軸上有一點M，滿足MA=MC（1）求這條拋物線的表達式；（2）求四邊形ABCM的面積；（3）如果坐標系有一點D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，且ADBC，求點D的坐標47如圖，直線y=kx3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，經過A，B兩點的拋物線y軸交于點B，經過A，B兩點的拋物

29、線y=（x1）2+m與x軸負半軸交于點C（1）求m和k的值；（2）過點B作BDx軸交該拋物線于點D，連接CD交y軸于點E，連結CB求BCD+OBC的度數；在x軸上有一動點F，直線BF交拋物線于P點，若ABP=BCD時，求此時點P的坐標48如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為二次函數的頂點，已知點（1，0），點C（0，3），直線DE為二次函數的對稱軸，交BC于點E，交x軸于點F（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；（2）直線DE上是否存在點M，使點M到x軸的距離于到BD的距離相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3

30、）已知點Q是線段BD上的動點，點D關于EQ的對稱點是點D，是否存在點Q使得EQD與EQB的重疊部分圖象為直角三角形？若存在，請求出DQ的長；若不存在，請說明理由49如圖，二次函數的圖象與x軸交于A（3，0）和B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D（1）求二次函數的解析式；（2）根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值圍；（3）若直線與y軸的交點為E，連結AD、AE，求ADE的面積50如圖，ABCD與拋物線y=x2+bx+c相交于點A，B，D，點C在拋物線的對稱軸上，已知點B（1，0），BC=4（1）求拋物線的解析式；

31、（2）求BD的函數表達式二次函數參考答案與試題解析一解答題（共50小題）1如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使PBC為等腰三角形？若存在請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，MNB面積最大，試求出最大面積分析（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程組即

32、可；（2）求出點B的坐標，再根據勾股定理得到BC，當PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：CP=CB；BP=BC；PB=PC；（3）設AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=×（2t）×2t=t2+2t，運用二次函數的頂點坐標解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處解答解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函數的表達式為：y=x24x+3；（2）令y=0，則x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，點P在y軸上，當PBC為等腰三角形

33、時分三種情況進行討論：如圖1，當CP=CB時，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；當BP=BC時，OP=OB=3，P3（0，3）；當PB=PC時，OC=OB=3此時P與O重合，P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）；（3）如圖2，設A運動時間為t，由AB=2，得BM=2t，則DN=2t，SMNB=×（2t）×2t=t2+2t=（t1）2+1，即當M（2，0）、N（2，2）或（2，2）時MNB面積最大，最大面積是1點評本題是二次函數的綜合題型，其中涉與到運用待定系數

34、法求二次函數，等腰三角形的性質，軸對稱的性質等知識，運用數形結合、分類討論與方程思想是解題的關鍵2已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點B，拋物線y=x2+bx+c經過點A和點B，點C在第三象象限，且ACAB，tanACB=（1）當t=1時，求拋物線的表達式；（2）試用含t的代數式表示點C的坐標；（3）如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值分析（1）把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，解方程組即可；（2）如圖：作CHx軸，垂足為點H，根據AOBCHA，得到=，根據tanACB=，得到=，根據OA=t，得到點C的坐標為（t4，2t）（3）根

35、據點C（t4，2t）在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上，得到t4=，即b=2t8，把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得t2+bt+2=0，可知t2+（2t8）t+2=0，即t28t+2=0，據此即可求出t的值解答解：（1）t=1，y=kx+2，A（1，0），B（0，2），把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，得，解得，所求拋物線的表達式為y=x2x+2（2）如圖：作CHx軸，垂足為點H，得AHC=AOB=90°，ACAB，OAB+CAH=90°，又CAH+ACH=90°，OAB=ACH，AOBCHA，=，tanACB=，=，OA=

36、t，OB=2，CH=2t，AH=4，點C的坐標為（t4，2t）（3）點C（t4，2t）在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上，t4=，即b=2t8，把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得t2+bt+2=0，t2+（2t8）t+2=0，即t28t+2=0，解得t=4±，點C（t4，2t）在第三象限，t=4+不符合題意，舍去，t=4點評本題考查了二次函數綜合題，涉與三角函數、待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的性質等知識，難度較大3如圖，RtOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，OAB=90°，OA=4，AB=2，把RtOAB繞點O逆時針旋

37、轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由分析（1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出

38、a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=42a，PE=MF=a2+4a，則矩形PEFM的周長L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，利用函數的性質即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點坐標，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有x2+4x=4，解方程即可求出交點坐標解答解：（1）因為O

39、A=4，AB=2，把AOB繞點O逆時針旋轉90°，可以確定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為（4，0），又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=x2+4x；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a，a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，EF=PM=42a，PE=MF=a2+4a，則矩形PEFM的周長L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以

40、OC為一邊的平行四邊形，理由如下：y=x2+4x=（x2）2+4可知頂點坐標（2，4），知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有x2+4x=4 解得x1=2+，x2=2N點坐標為N1（2+，4），N2（2，4）點評本題考查了旋轉的性質、利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的最大值問題和函數圖象的交點問題，題目的綜合性很強，對學生的綜合解題能力要求很高4如圖，已知拋物線經過A（2，0），B（3，3）與原點O，頂點為C（1）求拋物線的函數解析式（2）設點D

41、在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標（3）P是拋物線上的第一象限的動點，過點P作PMx軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由分析（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），把點A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐標可求出OA的長，再根據四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=1右側，進而可求出D橫坐標為：1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；（3）分PMACOB和PMABOC表示出PM和AM，從而表示

42、出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標解答解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），將點A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，所以函數解析式為：y=x2+2x；（2）AO為平行四邊形的一邊，DEAO，DE=AO，A（2，0），DE=AO=2，四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=1右側，D橫坐標為：1+2=1，代入拋物線解析式得y=3，D的坐標為（1，3）；（3）假設存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與BOC相似，設P（x，y），由題意知x0，y0，且y=x2+2x，由題意，BOC為直角三角形，COB=90&

43、#176;，且OC：OB=1：3，若PMACOB，則=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=2（舍去）若PMABOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）當x=3時，y=15，即P（3，15）故符合條件的點P有兩個，分別（，）或（3，15）點評本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，同時也考查了學生分類討論，數形結合的數學思想方法5如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax23ax4a的圖象經過點C（0，2），交x軸于點A、B（A點在B點左側），頂點為D（1）求拋物線的解析式與點A、B的坐標；（2）

44、將ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A，試求A的坐標；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使BPC=BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由分析（1）將（0，2）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點A、B的坐標；（2）如圖2，作A'Hx軸于H，可證明AOCCOB，得出ACO=CBO，由A'HOC，即可得出AH的長，即可求得A的坐標；（3）分兩種情況：如圖3，以AB為直徑作M，M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點P坐標；如圖4，類比第（2）小題的背景將ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'

45、;，以A'B為直徑作M'，M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），作M'EA'H于E，交對稱軸于F，求得M'F，在RtM'P'F中，由勾股定理得出P'F得的長，從而得出點P的坐標即可解答解：（1）把C（0，2）代入y=ax23ax4a得4a=2，解得所以拋物線的解析式為令，可得：x1=1，x2=4所以A（1，0），B（4，0）（2）如圖2，作A'Hx軸于H，因為，且AOC=COB=90°，所以AOCCOB，所以ACO=CBO，可得ACB=OBC+BCO=90°，由A'HOC，A

46、C=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；所以A'（1，4）；（3）分兩種情況：如圖3，以AB為直徑作M，M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得CPB=CAB，易得：MP=AB所以P（，）如圖4，類比第（2）小題的背景將ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作M'，M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），則CP2B=CA'B=CAB作M'EA'H于E，交對稱軸于F則M'E=BH=，EF=所以M'F=1在RtM'P'F中，P'F=

47、，所以P'M=2+所以P'（，2+）綜上所述，P的坐標為（，）或（，2+）點評本題考查了二次函數的相關性質、一次函數的相關性質、一元二次方程的解法以與二次根式的運算、勾股定理等本題解題技巧要求高，而且運算復雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求6已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當AMB為直角三角形時，就稱AMB為該拋物線的“完美三角形”（1）如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是相等；（2）若拋物

48、線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n5的最大值為1，求m，n的值分析（1）過點B作BNx軸于N，根據AMB為等腰直角三角形，ABx軸，所以BMN=ABM=45°，所以BMN=MBN，得到MN=BN，設B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀一樣，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是相等；（2）根據拋物線y=ax2

49、與拋物線y=ax2+4的形狀一樣，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點坐標為（2，2）或（2，2），把點B代入y=ax2中，得到（3）根據y=mx2+2x+n5的最大值為1，得到，化簡得mn4m1=0，拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點坐標為，代入拋物線y=mx2，得，mn=2或n=0（不合題意舍去），所以，所以解答解：（1）過點B作BNx軸于N，如圖2，AMB為等腰直角三角

50、形，ABM=45°，ABx軸，BMN=ABM=45°，MBN=90°45°=45°，BMN=MBN，MN=BN，設B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，n=1，n=0（舍去），B（1，1）MN=BN=1，MB=，MA=MB=，在RtAMB中，AB=2，拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2拋物線y=x2+1與y=x2的形狀一樣，拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是相等；故答案為：相等（2）拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀一樣，拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等

51、，拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，B點坐標為（2，2）或（2，2），把點B代入y=ax2中，（3）y=mx2+2x+n5的最大值為1，mn4m1=0，拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，B點坐標為，代入拋物線y=mx2，得，mn=2或n=0（不合題意舍去），點評本題考查了二次函數，解決本題的關鍵是理解“完美三角形”的定義，利用勾股定理，求出點B的坐標7如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x4）（k為常數，且k0）與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經過點B的直線y=

52、x+b與拋物線的另一個交點為D（1）若點D的橫坐標為x=4，求這個一次函數與拋物線的解析式；（2）在（1）問的條件下，若直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少？（3）問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得APBABC？若存在，請直接寫出這時k的值；若不存在，請說明理由分析（1）先解方程k（x+2）（x4）=0可得A（2，0），B（4，0），再把B點坐標代入y=x+b中求出得b=2，則可得到一次函數解析式為y=x+2，接著利用一次函數解析式確定D點坐標，然后把D點坐標代入代入y=k（x+

53、2）（x4）中求出k的值即可得到得拋物線解析式；（2）利用二次函數和一次函數圖象上點的坐標特征，可設F（t，t2t2），則E（t，t+2），2t4，于是得到EF=t+2（t2t2）=t2+4，然后根據二次函數的性質求解；（3）作PHx軸于H，如圖，先表示出C點坐標為（0，8k），設Pn，k（n+2）（n4），根據相似三角形的判定方法，當PAB=CAB，AP：AB=AB：AC時，APBABC；再根據正切定義，在RtAPH中有tanPAH=，在RtOAC中有tanOAC=4k，則=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接著利用勾股定理計算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到102=62，解得k1=，k2=（舍去），于是可確定P點坐標解答解：（1）當y=0時，k（x+2）（x4）=0，解得x1=2，x2=4，則A（2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=x+b得2+b=0，解得b=2，所以一次函數解析式為y=x+2，當x=4時，y=x+2=4，則D點坐標為（4，4），把D（4，4）代入y=k（x+2）（x4）得k（2）（8）=4，解得k=，所以拋物線解析式為y=（x+2）（x4），即y=x2x2；（2）設F（t，t2t2），則E（t，t+2），2t4，所以EF=t+2（t2