數(shù)學(xué)思想方法在集合教學(xué)中的滲透

1、數(shù)學(xué)思想方法在集合教學(xué)中的滲透秭歸二中 宋英集合單元是高中教材非常重要的內(nèi)容，蘊(yùn)涵著豐富 的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)過程中，教師若能注意認(rèn)真地挖掘與提煉，適時(shí)而有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，對于開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的思維，具有十分重要的意義。下面結(jié)合在教學(xué)中的實(shí)踐，談?wù)勛约?的體會。1 滲透數(shù)性結(jié)合的思想方法數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的兩大支柱。他們既有聯(lián)系又各有特點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合就是充分利用“形”的直觀性和“數(shù)”的精確性，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化使問題簡捷求解的一種數(shù)學(xué)方法。教學(xué)過程中，涉及集合的交，并，補(bǔ)集等運(yùn)算，要充分結(jié)合集合的數(shù)軸表示和韋恩圖表示，以數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合。

2、例 已知集合U=x|x是不大于10 的自然數(shù)，集合A ,B是U 的兩個(gè)子集，且滿足A B=4，5，（CuB ）A=1，2，3，（CuA ）（CuB ）=6，7，8，求集合A 和B 。解析 本題采用數(shù)形結(jié)合的方法求解，即用韋恩圖將已知條件在圖中標(biāo)出，從中找出結(jié)果。既直觀，又簡捷。解答 如圖所示A B=4，5，將4，5寫在A B 中。 （CuB ）A=1，2，3，將1，2，3寫在A 中。（CuA ）（CuB ）=6，7，8 將6，7，8寫在U 中A ，B 之外。（CuB ）A 和（CuA ）（CuB ）中均無9，109，10在B 中。故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9，10。2 滲透分類討論

3、的思想方法分類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把研究的對象分成幾部分或幾種情況。采取“化整為零，各個(gè)擊破”的手段。通過它可以達(dá)到把幾個(gè)復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)相對簡單的問題，獲得完整解答的目的。分類討論的思想在每年高考試題中幾乎必考。具體應(yīng)用分類討論思想解題時(shí)，必須弄清“引起討論的因素是什么”，“分類討論的步驟是什么”以及“如何簡化討論”等問題。例 已知集合A=x|x+ x6=0，B=x|mx +1=0，若A B=B，求由實(shí)數(shù)m 所構(gòu)成的集合M 。解析：由A B=B，可知BA ，而A=-3，2，從而順利地求出實(shí)數(shù)的取值集合M 。要注意空集是任何非空集合的真子集，所以按B 中元素的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論。解答：A B

4、=B BA ，又A=-3，2，B 中至多有一個(gè)元素，B= 或B=-3或B=2當(dāng)B= 時(shí)，m=0；當(dāng)B=-3時(shí)，m=；當(dāng)B=2時(shí)m=-故M=-，0，3 滲透化歸轉(zhuǎn)換的思想方法化歸思想是指在處理，解決數(shù)學(xué)問題是，把那些需要解決的問題通過某些轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，運(yùn)用化歸思想的基本原則是化難為易，化生疏為熟悉，化繁為簡，化未知為已知，化正為反。例 已知集合A=x|x4mx+2m+6=0,xR . 若A R-, 求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.解析 集合A 是方程x 4mx+2m+6=0的實(shí)數(shù)解組成的集合，A R-意味著方程的根有以下3種情況：兩負(fù)根；一負(fù)根一零根；一負(fù)根一正根。分別求

5、解相當(dāng)麻煩。而上述3種情況可以概括為方程的較小的根為負(fù)根，即0 , 但這個(gè)不等式也不易求解，如何尋求捷徑解決這個(gè)問題呢？如果考慮A R-的反面：A R-=，問題可轉(zhuǎn)化為先求方程的兩根都非負(fù)數(shù)時(shí)的m 的取值范圍，再應(yīng)用補(bǔ)集求解就非常容易。解答 設(shè)全集U=m|=16m- 8m- 240=m|m-1或m 若方程的兩根都是非負(fù)數(shù)，則有m U,4m 0,2m+60得m 故m| m關(guān)于U 的補(bǔ)集m| m-1即為所求的m 的取值范圍。點(diǎn)評 本題應(yīng)用化正為反的化歸思想順利求解。滲透歸納猜想的思想方法猜想是人們依據(jù)事實(shí)，憑借直覺所作出的一種大膽的假設(shè)，它是一種積極的創(chuàng)造活動。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納猜想，培養(yǎng)

6、他們的猜想能力是提高學(xué)生創(chuàng)造能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神的一條有效途徑。老師要做一個(gè)有心人，注意誘導(dǎo)啟迪學(xué)生，讓他們大膽猜想。教材中有這樣一道例題：寫出集合a,b 所有的子集和真子集。其解答較為簡單，集合a,b 的子集是，a , b , a,b , 真子集是, a , b . 教學(xué)到此，似乎例題已經(jīng)完成，但是我并未就此放過，進(jìn)一步提出問題讓學(xué)生思考；1 寫出集合a,b,c 的所有子集，它們有多少個(gè)？2 寫出集合a,b,c,d 的所有子集，它們有多少個(gè)？3 寫出集合a,b,c,d,e 的所有子集，它們有多少個(gè)？ 根據(jù)上述4題的結(jié)果，請你觀察并思考：集合中元素的個(gè)數(shù)和它的子集個(gè)數(shù)有何規(guī)律？如果集合中含有n

7、 個(gè)元素，它的子集個(gè)數(shù)是多少？學(xué)生經(jīng)過充分思考，討論，得到下列猜想：若集合中含有n 個(gè)元素，那么它的子集個(gè)數(shù)是2個(gè)，進(jìn)一步得到，它的非空子集的個(gè)數(shù)是2-1個(gè)，它的真子集的個(gè)數(shù)是2-1個(gè)，它的非空真子集的個(gè)數(shù)是2-2個(gè)。到此，教師對學(xué)生的猜想要作充分肯定，并大力鼓勵(lì)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識。滲透數(shù)學(xué)建摸的思想方法例 向50名學(xué)生調(diào)查對A ，B 兩事件的態(tài)度有如下結(jié)果：贊成A 的人數(shù)是全體人數(shù)的，其余的不贊成；贊成B 的人數(shù)比贊成A 的多3 人，其余的不贊成，另外對A ，B 都不贊成的學(xué)生人數(shù)比都贊成的學(xué)生人數(shù)多1人，問A ，B 都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生個(gè)多少人？解析 因?yàn)橘澇葾 和贊成B 的

8、人數(shù)都是可以確定的。都不贊成的人數(shù)與都贊成的人數(shù)關(guān)系明確，故只要設(shè)出其中都贊成的人數(shù)，其余的都可以表示出來，從而建立集合模型，利用韋恩圖示，順利求解。解答 贊成的人數(shù)為，贊成的人數(shù)為。如圖，記50名學(xué)生組成的集合為，贊成事件的學(xué)生全體為集合，贊成事件的學(xué)生全體為集合。設(shè)對事件都贊成的學(xué)生人數(shù)為，則對都不贊成的學(xué)生數(shù)為，贊成而不贊成的人數(shù)為，贊成而不贊成的人數(shù)為.由題意可得方程，解得.所以，對都贊成的學(xué)生有21人，對都不贊成的學(xué)生有8人.總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。數(shù)學(xué)思想方法的滲透是一個(gè)潛移默化的過程，是在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)經(jīng)過多次理解和反復(fù)應(yīng)用逐步形成。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)