中科院計(jì)算流體力學(xué)最新講義CFD2011-第7講-有限體積法1

1、計(jì)算流體力學(xué)講義計(jì)算流體力學(xué)講義2011 第七講第七講 有限體積法（有限體積法（1）李新亮李新亮 ；力學(xué)所主樓；力學(xué)所主樓219； 82543801 知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 1講義、課件上傳至講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)）流體中文網(wǎng)） - “流體論壇流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論 ”講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤 http:/cid- by Li Xinliang 有限體積法的基本概念有限體積法的基本概念 無粘通量及粘性通量的計(jì)算無粘通量及粘性通量的計(jì)算 多塊網(wǎng)格多塊網(wǎng)格Copyright by Li Xinliang2知識(shí)回顧：知識(shí)回顧： Roe 格式格式0)(xtU

2、fUUf(U)AUAU, 0)(xUt)()(1LRjjU,UfU,Uf經(jīng)常記為)U,(UALR平均斜率平均斜率線性化，以平均增長(zhǎng)率代替瞬時(shí)增長(zhǎng)率)(12/12/1jjjffxxf0 xtUAUj,j+1區(qū)間內(nèi))U)(UU,(UA)f(U)f(ULRLRLR連續(xù)，且連續(xù)，且可通過相似變換對(duì)角化可通過相似變換對(duì)角化)(UAU)(U,A)U,(UALR)U,(UALR 應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì)應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì))U,(UALR11/2jSSRLRL11ff(U )f(U )(UU )22常系數(shù)方程的Riemann解RULU()/ 2()/ 2()/ 2LRLLRRLLRRuuuHHH Copyright by

3、Li Xinliang3知識(shí)回顧知識(shí)回顧2： LU-SGS0yxt(U)f(U)fU21011yxtnn)(Uf)(UfUU21n1nn1nnUUQ)()(21212111yxtyxtnnnnnnffffffQnRHSBQAQQntyxtnn1,11,1ijijijijiji jijijiji jijabcdeQQQQQRULDLUD1)()(1UDDLDRHSQQAQQAQtBytxtBytxtytxtjijijijijijijijiBAij1 1,1, 1, 11,1, 1, 1*Step 1: 求解1,1ijijijijiji jijadeQQQR1,1()/ijijijijiji ji

4、jdeaQRQQ111111/ aQRStep 2: 求解1,1ijijijijiji jijijabcaQQQQ1,1()/ijijijijijiji jijabcaQQQQ/mnmnmnaQRCopyright by Li Xinliang4 7.1 結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法有限體積法主要優(yōu)勢(shì)：有限體積法主要優(yōu)勢(shì)： 處理復(fù)雜網(wǎng)格處理復(fù)雜網(wǎng)格差分法處理復(fù)雜外形差分法處理復(fù)雜外形 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐標(biāo)變換函數(shù)坐標(biāo)變換函數(shù)必須足夠光滑必須足夠光滑 否則損失精度否則損失精度實(shí)際

5、問題：實(shí)際問題： 外形復(fù)雜，外形復(fù)雜， 光滑的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成困難光滑的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成困難差分法差分法有限體積法有限體積法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、易簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、易于提高精度于提高精度本身包含幾何信息，本身包含幾何信息，易處理復(fù)雜網(wǎng)格易處理復(fù)雜網(wǎng)格不足不足差分離散與幾何解耦，差分離散與幾何解耦，難以處理復(fù)雜網(wǎng)格難以處理復(fù)雜網(wǎng)格復(fù)雜、不易提高精度復(fù)雜、不易提高精度Copyright by Li Xinliang51. 基本概念基本概念1） 控制體控制體節(jié)點(diǎn)（中心）型控制體與網(wǎng)格型控制體節(jié)點(diǎn)（中心）型控制體與網(wǎng)格型控制體Copyright by Li Xinliang62） 積分型控制方程積分型控制方

6、程vvtxyxy1212F (U)F (U)F (U)F (U)U在控制體上積分110IJvIJIJdsdsUF nF nt1IJIJUUdV 物理含義：物理含義： 控制體內(nèi)總質(zhì)量控制體內(nèi)總質(zhì)量/動(dòng)量動(dòng)量/能量的增加能量的增加 = 穿過控制體邊界流入穿過控制體邊界流入的凈質(zhì)量的凈質(zhì)量/動(dòng)量動(dòng)量/能量能量無粘通量粘性通量Copyright by Li Xinliang7n2122()()()xyxxnnxnynuuvuupFnF nnnuvvpEp uEp vuuupnvupnEp uF nnF n物理含義：物理含義： 單位時(shí)間內(nèi)，無粘流動(dòng)流過單位時(shí)間內(nèi)，無粘流動(dòng)流過垂直于垂直于n方向的單位面積

7、的質(zhì)量、動(dòng)量和方向的單位面積的質(zhì)量、動(dòng)量和能量能量nxyuunvn法向速度Copyright by Li Xinliang83）有限體積法中物理量的含義）有限體積法中物理量的含義1IJIJUUdV 4） 殘差殘差11RIJIJvIJIJdsds UF nF nt殘差殘差=凈通量?jī)敉?右端項(xiàng)右端項(xiàng)含義：含義： 控制體內(nèi)的平均量控制體內(nèi)的平均量（平均質(zhì)量密度、平均動(dòng)量密度、（平均質(zhì)量密度、平均動(dòng)量密度、平均能量密度）平均能量密度）控制體控制體幾何中心處幾何中心處的當(dāng)?shù)孛芏?、的?dāng)?shù)孛芏取?dòng)量密度、能量密度動(dòng)量密度、能量密度二階精度二階精度近似近似Copyright by Li Xinliang92

8、. 無粘通量的計(jì)算無粘通量的計(jì)算dsF n常用方法常用方法 （流過（流過AB邊的通量）：邊的通量）： a. 利用周圍點(diǎn)的值，計(jì)算出利用周圍點(diǎn)的值，計(jì)算出(I+1/2,J) 點(diǎn)處的物理量；點(diǎn)處的物理量； b. 利用該處的物理量，計(jì)算出流過利用該處的物理量，計(jì)算出流過AB邊的流通量邊的流通量方法方法1： 中心型有限體積法中心型有限體積法1/2,1,12IJI JIJUUU人工粘性項(xiàng)人工粘性項(xiàng)1/2,1/2,()IJIJvisFF UCopyright by Li Xinliang10方法方法2： 迎風(fēng)型有限體積法迎風(fēng)型有限體積法Step 1: 利用（偏）左側(cè)點(diǎn)及（偏）右側(cè)點(diǎn)利用（偏）左側(cè)點(diǎn)及（偏）

9、右側(cè)點(diǎn)的值，計(jì)算出的值，計(jì)算出I+1/2,J點(diǎn)的值點(diǎn)的值1/2,1,1,(,)LLIJIJI JIJUgUUU1/2,1,2,(,)RRIJI JIJIJUgUUU計(jì)算方法：計(jì)算方法： 與差分法完全相同與差分法完全相同各種差分格式，均可直接使用各種差分格式，均可直接使用也稱為也稱為“差分格式差分格式”0uuatx1/21/21iiiuuuxx1/21/20:.0:.iiauau該過程稱為該過程稱為“重構(gòu)重構(gòu)”（很多文獻(xiàn)中稱為（很多文獻(xiàn)中稱為“插值插值”）有限體積與有限差有限體積與有限差分共通之處分共通之處, 可直可直接使用差分格式接使用差分格式Copyright by Li Xinliang1

10、1常見的差分格式：常見的差分格式：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUU UUUUUU UU2階NND格式minmod(a,b) : a,b符號(hào)相反時(shí)取0， 符號(hào)相同時(shí)取絕對(duì)值小的1/2111/212(52)/6(25)/6LIIIIRIIIIUUUUUUUU 3階迎風(fēng)1/211111/4 (1/3)()(1/3)()LIIIIIIUUssUUsUU3階MUSCL格式111221 112()()()()IIIIIIIUUUUsUUUU1/21222121/4 (1/3)()(1/3)()RIIIIIIUUssUUsUU121

11、2221212()()()()IIIIIIIIUUUUsUUUUTVD, WENO, GVC, 保單調(diào)格式保單調(diào)格式610Copyright by Li Xinliang12重構(gòu)方式：重構(gòu)方式： 原始變量、守恒變量及特征變量原始變量、守恒變量及特征變量以NND格式為例：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUU UUUUUU UU守恒變量重構(gòu)uUvE1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIqqqq qqqqqq qq原始變量重構(gòu)uqvp1/2111/211211/ 2m

12、inmod(,)1/ 2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIVVVV VVVVVV VV特征變量重構(gòu)1/2(1,0,1,2)I kII kVSUk 先算出先算出UI+1/2 (可用可用UI和和UI+1的算術(shù)平均或的算術(shù)平均或Roe平均），再平均），再利用該值算出利用該值算出SI+1/211/21/21/211/21/21/2LLIIIRRIIIUSVUSV （稱為數(shù)值流通量）（稱為數(shù)值流通量） 的含義的含義Copyright by Li Xinliang13重要概念澄清：重構(gòu)與插值0)(xuftuA. 有限差分法：有限差分法：xffxfjjj2/12/1j+1/2切線切線j-1/2j

13、j-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 注意：注意： 與與 f 在在xj+1/2點(diǎn)的值含義不同！點(diǎn)的值含義不同！2/1jf用周圍幾個(gè)點(diǎn)的值用周圍幾個(gè)點(diǎn)的值 計(jì)算計(jì)算 的過程稱為的過程稱為“重構(gòu)重構(gòu)”，不能理，不能理解為用解為用 來來插值插值2/1jf jf jf)(2/1jxf記號(hào)記號(hào) 確實(shí)容易混淆，讓人容易聯(lián)想起確實(shí)容易混淆，讓人容易聯(lián)想起 。記為。記為 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否則，最高只能否則，最高只能達(dá)到達(dá)到2階精度了！階精度了！ 是控制體內(nèi)的平均值是控制體內(nèi)的平均值 （稱為數(shù)值流通量）（稱為數(shù)值流通量） 的含義的含義Copyright by Li

14、 Xinliang14重要概念澄清：重構(gòu)與插值0)(xuftuB. 有限體積法：有限體積法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1)(2/12/1jxxjjfxuff確實(shí)為確實(shí)為f在在xj+1/2點(diǎn)的值點(diǎn)的值 ！ 通常做法：通常做法： 1） 用用 計(jì)算出計(jì)算出 2） ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxuuu在xj+1/2點(diǎn)的值！關(guān)鍵：關(guān)鍵： 是用是用 計(jì)算計(jì)算 （稱為（稱為重構(gòu)重構(gòu)） ，而不是用，而不是用 計(jì)算計(jì)算 （是標(biāo)準(zhǔn)的（是標(biāo)準(zhǔn)的插值插值）；否則最高也只能達(dá)到）；否則最高也只能達(dá)到2階精度。階精度。 ju2

15、/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1juCopyright by Li Xinliang15Step 2: 利用利用 ， 計(jì)算出通量計(jì)算出通量 n1/2,LIJU1/2,LIJU 方法方法1：流通矢量分裂：流通矢量分裂 （FVS）1/21/21/2()()LRIIIUUfff方法方法2：通量差分分裂：通量差分分裂 (FDS)通過通過Riemann解，獲得通量解，獲得通量可利用近似可利用近似Riemann階（階（Roe, HLL, HLLC)11/2RLRLISS11ff(U )f(U )(UU )22Roe格式：格式：1111,pvu2222,pvu

16、xyxy方法方法3： AUSM方法方法壓力項(xiàng)單獨(dú)處理，其余項(xiàng)類似壓力項(xiàng)單獨(dú)處理，其余項(xiàng)類似Van Leer 分裂分裂Copyright by Li Xinliangn小技巧：小技巧： 利用局部坐標(biāo)系，計(jì)算通量時(shí)簡(jiǎn)化利用局部坐標(biāo)系，計(jì)算通量時(shí)簡(jiǎn)化為為1維問題維問題ABx yxy1111,pvu2222,pvuyxyuvpuvp x y1111,u v p2222,u vp“擴(kuò)展的”一維問題xx,y坐標(biāo)系下的Riemann問題（二維）x,y 坐標(biāo)系下的Riemann問題（一維）x, y 坐標(biāo)系下，切向速度坐標(biāo)系下，切向速度v表現(xiàn)相當(dāng)于表現(xiàn)相當(dāng)于被動(dòng)標(biāo)量被動(dòng)標(biāo)量Copyright by Li Xin

17、liang173. 粘性通量的計(jì)算粘性通量的計(jì)算110IJvIJIJdsdsUF nF nt1111211120( )PrRevpUCTuvx F1222212220( )PrRevpUCTuvyFjidivVxujixuxuiiijjiij),322(),(關(guān)鍵問題：關(guān)鍵問題： 計(jì)算計(jì)算yx , ,u v T 對(duì)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)同樣計(jì)算的導(dǎo)數(shù)同樣計(jì)算Copyright by Li Xinliang18方法方法1. 利用利用Jacobian變換變換yx ,1/2,1/2,xxIJIJx1,1/2,IJI JIJ1/2,11/2,11/2,11,1,11,11214IJIJIJI JIJI JIJxy

18、xyJyJxJyJxJx yy x , x y, 1/2,1/2,yyIJIJy方法方法2. 利用利用Green積分公式計(jì)算積分公式計(jì)算1/2,1/2,IJIJdsdn1/2,1/2,1IJIJdsn最終公式與方法最終公式與方法1相同相同Copyright by Li Xinliang19 7.2 邊界條件及網(wǎng)格分塊邊界條件及網(wǎng)格分塊1. 邊界條件的處理方法邊界條件的處理方法常用方法：常用方法： 虛網(wǎng)格虛網(wǎng)格設(shè)置設(shè)置1或或2層虛網(wǎng)格（如果采用高層虛網(wǎng)格（如果采用高精度格式，需設(shè)置更多重虛網(wǎng)格）精度格式，需設(shè)置更多重虛網(wǎng)格）虛網(wǎng)格點(diǎn)上的值根據(jù)邊界條件給定虛網(wǎng)格點(diǎn)上的值根據(jù)邊界條件給定 絕熱固壁邊

19、界條件絕熱固壁邊界條件11111111ppuuvv 超聲速入口邊界條件超聲速入口邊界條件1111uuvvpp超聲速出口邊界條件超聲速出口邊界條件11111111ppuuvv 0111()2qqq( , , , )Tqu v pCopyright by Li Xinliang20亞聲速入口邊界條件亞聲速入口邊界條件外部計(jì)算域內(nèi)部(,)Tquvp1q0q1q0111()2qqq( , , , )Tqu v p邊界特征分析： 內(nèi)點(diǎn)提供一個(gè)邊界條件，外部提供其余邊界條件n0111()2pppcVVn調(diào)節(jié)作用， 內(nèi)點(diǎn)速度降低時(shí)，增加入口壓力； 內(nèi)點(diǎn)速度增加時(shí)，降低入口壓力；2000000()/()/()

20、/xyppcuunppcvvnppcCopyright by Li Xinliang21亞聲速出口邊界條件亞聲速出口邊界條件外部計(jì)算域內(nèi)部1q0q1q0111()2qqq( , , , )Tqu v p邊界特征分析：特征分析： 外部提供一個(gè)邊界條件；外部提供一個(gè)邊界條件； 通常情況下，指定背壓通常情況下，指定背壓n0pp如果邊界處壓力比內(nèi)點(diǎn)高，則邊界如果邊界處壓力比內(nèi)點(diǎn)高，則邊界處密度增加，速度降低；處密度增加，速度降低； 如果邊界壓力比內(nèi)點(diǎn)低，則邊界處如果邊界壓力比內(nèi)點(diǎn)低，則邊界處密度降低，速度升高；密度降低，速度升高；2010101100110()/()/()/xyppcuunppcvvnppcpCopyright by Li Xinliang222. 多塊網(wǎng)格多塊網(wǎng)格復(fù)雜外形情況下，單塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格很難實(shí)現(xiàn)，需要由多塊網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)復(fù)雜外形情況下，單塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格很難實(shí)現(xiàn)，需要由多塊網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)Copyright by Li Xinli