蝴蝶效應(yīng)之-- 臨界狀態(tài)

1、談到混沌理論 chaos，總是離不開(kāi)蝴蝶效應(yīng) butterfly effect。可惜一般人對(duì)蝴蝶效應(yīng)都有誤解，以為當(dāng)一隻蝴蝶在香港舞動(dòng)翅膀，可能導(dǎo)致美國(guó)在數(shù)週后下起大雷雨。事實(shí)上，蝴蝶舞動(dòng)翅膀并不是導(dǎo)致大雷雨的主因，它只是一個(gè)導(dǎo)火線。蝴蝶效應(yīng)真實(shí)版本是要說(shuō)明當(dāng)蝴蝶舞動(dòng)翅膀所產(chǎn)生的氣流，會(huì)迅速改變未來(lái)的細(xì)節(jié) (如空氣分子的位置或速度，從而變得跟蝴蝶沒(méi)有拍打翅膀時(shí)的情況不同，因此混沌并非解釋大雷雨形成(劇變的答案。哪麼是什麼原因?qū)е麓罄子赀@類的劇變發(fā)生？在上一篇有關(guān)小世界理論的文章中我所介紹的維吉尼亞大學(xué)的物理學(xué)家Mark Buchanan，在他另一著作Ubiguity : Why Catastr

2、ophes Happen？中揭示了延續(xù)混沌的新理論 - 臨界狀態(tài) critical state。所謂的臨界狀態(tài)就是指一個(gè)系統(tǒng)處于平衡與非平衡之間的狀態(tài)，就好像一個(gè)足球放在尖形屋頂?shù)捻敹?，足球隨時(shí)會(huì)滾向左邊，但也有相同機(jī)率滾向右邊，但在事前就是無(wú)法預(yù)測(cè)它會(huì)滾向哪一邊。臨界狀態(tài)實(shí)質(zhì)上是屬于非平衡物理學(xué)non-equilibrium physics，或說(shuō)是新興復(fù)雜理論complexity的第一個(gè)產(chǎn)物。在非平衡的狀態(tài)下，由事物所形成的交互作用系統(tǒng)經(jīng)常存有一種自然的數(shù)學(xué)模式 - 冪次定律power law。冪次定律是兩個(gè)變數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不是正比，亦非反比，而是一種指數(shù)次方的關(guān)系，例如：f = v -

3、2從以上公式可看到f與v兩個(gè)變數(shù)之間存有-2次方的冪次定律，而任何出現(xiàn)冪次定律的系統(tǒng)，都會(huì)存有臨界狀態(tài)。在稍后的篇幅將會(huì)看到這種冪次定律的數(shù)學(xué)模式經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在我們的日常生活當(dāng)中，無(wú)論是流動(dòng)沙堆、股票市場(chǎng)、森林大火、地震模式、人口分佈以及是歷史本身，都會(huì)找到冪次定律的蹤影。堆沙游戲1987年，三位物理學(xué)家Per Bak、Chao Tang 及Kurt Weisenfeld想知道如果有人每次把一粒沙撒在桌面上，最后形成出來(lái)的沙堆將會(huì)有何特性。他們利用電腦模擬來(lái)做研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)沙堆累積到足夠高的時(shí)候，沙堆的斜坡面將會(huì)處于臨界狀態(tài)，即使是一小粒的沙粒落在這個(gè)斜坡面上時(shí)，都會(huì)造成一次大規(guī)模的沙崩，而使沙堆

4、的高度再次變小。不過(guò)，當(dāng)不斷再添加更多沙粒時(shí)，沙堆又再次變高，而斜坡面亦再次趨向臨界狀態(tài)，形成一種沙堆變大變小的交替模式。而沙堆自動(dòng)趨向臨界狀態(tài)的特性被稱為自組臨界狀態(tài)。但最驚人之處卻是這三位物理學(xué)家在堆沙游戲中竟然發(fā)現(xiàn)冪次定律，就是每當(dāng)在沙崩中被牽動(dòng)的沙粒數(shù)目增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類沙崩的次數(shù)將會(huì)降為1 / 2.14，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = N 1.1f 為出現(xiàn)沙崩的次數(shù)N 為沙崩中被牽動(dòng)的沙粒數(shù)目這種沙堆的冪次定律告訴我們，任何規(guī)模的沙崩都有可能發(fā)生，只是小規(guī)模比大規(guī)模的發(fā)生較多，而且任何規(guī)模的沙崩都是由同一個(gè)原因引發(fā) - 一粒小沙。因此并不是有什麼特別因素導(dǎo)致大規(guī)模沙崩，無(wú)論是大規(guī)模還是小規(guī)模

5、都是尋常的事。大規(guī)模沙崩只是小規(guī)模沙崩的放大版本罷了，因此冪次定律正暗示著一種自我相似性self-similarity，也就是數(shù)學(xué)裡的碎形fractal。在堆沙游戲中我們?cè)俅慰吹絻绱味膳c臨界狀態(tài)的親密關(guān)系。堆沙游戲最諷刺的地方是真實(shí)的沙堆并不符合冪次定律，因?yàn)槟侨晃锢韺W(xué)家在設(shè)定電腦程式時(shí)，高估了沙粒的黏性，因此出來(lái)的結(jié)果并不適用于沙粒，反而適用于黏性較高的米粒。蕃薯實(shí)驗(yàn)1993年三位來(lái)自南丹麥大學(xué)的物理學(xué)家以真實(shí)的實(shí)驗(yàn)來(lái)重復(fù)堆沙游戲，但今次用的不是沙粒，而是蕃薯。他們把冰凍了的蕃薯用力丟向墻壁，凍蕃薯應(yīng)聲碎裂成很多的碎塊，有大有小。他們細(xì)心檢視這些碎塊，按重量把碎塊分成數(shù)堆。最后他們也發(fā)現(xiàn)

6、當(dāng)中的冪次定律，就是每當(dāng)碎塊重量增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類碎塊的數(shù)目將會(huì)降為1 / 6，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = w 2.58f 為碎塊的數(shù)目w 為碎塊的重量你可能會(huì)懷疑這些出現(xiàn)冪次定律的情況是否一種巧合，那就讓我們看更多日常生活中的例子吧。地震當(dāng)?shù)卣鹚尫诺哪芰吭鰹?倍時(shí)，出現(xiàn)這類規(guī)模的地震數(shù)目將會(huì)降為1 / 4，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = E 2f 為地震的數(shù)目E 為地震所釋放的能量森林大火當(dāng)火災(zāi)面積增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類規(guī)模的火災(zāi)數(shù)目將會(huì)降為1 / 2.48，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = A 1.31f 為火災(zāi)的數(shù)目A 為火災(zāi)面積城市人口當(dāng)城市人口增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類規(guī)模的城市數(shù)目將會(huì)降為1 / 4，數(shù)學(xué)表達(dá)即是

7、：f = M 2f 為城市的數(shù)目M 為城市人口股市當(dāng)股市變動(dòng)幅度增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類幅度的股市變動(dòng)次數(shù)將會(huì)降為1 / 16，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = h 4f 為股市變動(dòng)的次數(shù)h 為股市變動(dòng)幅度個(gè)人財(cái)富當(dāng)個(gè)人財(cái)富增為2倍時(shí)，擁有這些財(cái)富的人數(shù)將會(huì)降為1 / 4，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = c 2f 為人數(shù)c 為個(gè)人財(cái)富物種滅絕當(dāng)物種滅絕的規(guī)模增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類規(guī)模的滅絕次數(shù)將會(huì)降為1 / 4，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = P 2f 為滅絕的次數(shù)P 為物種滅絕的規(guī)模戰(zhàn)爭(zhēng)當(dāng)戰(zhàn)爭(zhēng)中的死亡人數(shù)比率增為2倍時(shí)，出現(xiàn)這類規(guī)模的戰(zhàn)爭(zhēng)數(shù)目將會(huì)降為1 / 2.62，數(shù)學(xué)表達(dá)即是：f = d 2f 為戰(zhàn)爭(zhēng)的數(shù)目d 為戰(zhàn)爭(zhēng)中的死亡

8、人數(shù)比率從以上資料分析，冪次定律隨處可見(jiàn)，無(wú)論是自然界還是人類社會(huì)都確實(shí)存有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模式。冪次定律背后正反映臨界狀態(tài)的存在，而任何達(dá)到臨界狀態(tài)的系統(tǒng)，其細(xì)節(jié)并不重要，重要的是所有臨界狀態(tài)的系統(tǒng)都會(huì)有相同的運(yùn)作方式，也就是冪次定律本身。處于臨界狀態(tài)的系統(tǒng)，只要系統(tǒng)裡某成員在正確的時(shí)機(jī)落在正確的位置上，就足以導(dǎo)致一次大規(guī)模的劇變，而這種劇變是不可預(yù)測(cè)的。在事前，你只能透過(guò)冪次定律知道發(fā)生某規(guī)模的劇變的機(jī)率，但總不能預(yù)知下次發(fā)生劇變的時(shí)間、地點(diǎn)及規(guī)模。因此，無(wú)論是地震、森林大火、股市價(jià)格、人口分佈、物種滅絕及戰(zhàn)爭(zhēng)本身等都是無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的。戰(zhàn)爭(zhēng)就是人類歷史中劇變的事例，而戰(zhàn)爭(zhēng)裡卻存有冪次定律，亦即是

9、人類歷史這系統(tǒng)也存有臨界狀態(tài)。其實(shí)要導(dǎo)致一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的爆發(fā)，絕非一朝一夕的事，而是經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)原因的長(zhǎng)時(shí)間累積的結(jié)果。這些因素可以是政治的變革、國(guó)與國(guó)的矛盾、市民的壓抑、民族的紛爭(zhēng)等等，當(dāng)這些因素在日積月累的壓力下而又沒(méi)有適當(dāng)?shù)臏p壓措施，就會(huì)把社會(huì)或國(guó)家逐漸推向臨界狀態(tài)，只要這時(shí)候出現(xiàn)小小的導(dǎo)火線的話，戰(zhàn)爭(zhēng)將隨時(shí)爆發(fā)，更可能一發(fā)不可收拾。事實(shí)上，第一次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，就是因一名轎車司機(jī)轉(zhuǎn)錯(cuò)了彎而駛?cè)胍粭l死巷，當(dāng)時(shí)轎車上的乘客正時(shí)奧匈帝國(guó)的政治人物斐迪南大公，處身于死巷裡的斐迪南大公卻成為塞爾維亞恐怖組織的獵殺目標(biāo)，這次暗殺行動(dòng)卻引致歐洲政治結(jié)構(gòu)的瓦解，也就是第一次世界大戰(zhàn)的導(dǎo)火線。當(dāng)然，我們不能把第一次世界大戰(zhàn)的起因全都賴在這名轎車司機(jī)身上，首先歐洲政治體制本身因其他復(fù)雜的因素 (歷史學(xué)家到目前為止仍沒(méi)有共識(shí) 而一早處于臨界狀態(tài)的邊緣，而轉(zhuǎn)錯(cuò)彎只是一個(gè)引爆點(diǎn)，真正引發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的幕后黑手卻是臨界狀態(tài)的不平衡結(jié)構(gòu)。至于社會(huì)在何時(shí)會(huì)達(dá)至臨界狀態(tài)，這是沒(méi)有客觀的標(biāo)準(zhǔn)，因此戰(zhàn)爭(zhēng)的爆發(fā)是無(wú)法預(yù)測(cè)的。不少的歷史學(xué)家開(kāi)始發(fā)現(xiàn)物理學(xué)家這種的臨界思考很多時(shí)候都有助于他們分析歷史，因此出現(xiàn)了一門新興的學(xué)派稱為歷史物理學(xué)historical physics，就是把非平衡物理學(xué)的思考模式套用在歷史研究上。而這種歷史物理學(xué)更可應(yīng)用在股市的分析、生態(tài)的平衡、人口的分佈以及地震的成因等?，F(xiàn)在