高階譜理論中的若干問(wèn)題解析

1、高階譜理論中的若干問(wèn)題解析胡念青 作者介紹：胡念青，男，四川師范大學(xué)文理學(xué)院計(jì)科系系主任、副教授。 （四川師范大學(xué)文理學(xué)院，四川 成都 610110）摘要：本文詳細(xì)闡述了在信號(hào)處理中引入高階譜（PolySpectrum）理論的重要意義；給出了高階譜的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)定義及相關(guān)性質(zhì)，系統(tǒng)介紹了高階譜估計(jì)的經(jīng)典算法和現(xiàn)代算法；首次提出了現(xiàn)代算法中的模型階次判別理論；并分析討論了非線性系統(tǒng)X2（t）+aX(t)與線性系統(tǒng)h(t)在級(jí)聯(lián)與并聯(lián)情況下對(duì)線性部份的辨識(shí)問(wèn)題；分析討論了在非高斯假定下、最小相位條件不成立時(shí)，過(guò)程（模型）傳遞函數(shù)的相位譜估計(jì)問(wèn)題。關(guān)健詞：高階譜；信號(hào)處理；模型辨識(shí)一 引論譜分析在隨機(jī)過(guò)

2、程論、時(shí)間序列分析及信號(hào)處理中屬于一個(gè)非常重要的理論問(wèn)題，也是一個(gè)極為有用的處理工具。由維納創(chuàng)建的功率譜理論，已成為諧波分析、參數(shù)估算、信號(hào)模型識(shí)別、系統(tǒng)辨識(shí)及預(yù)測(cè)控制等多種問(wèn)題中不可缺少的應(yīng)用工具。然而，必須看到，與過(guò)程的二階矩相聯(lián)系的功率譜無(wú)論在理論上，還是在應(yīng)用中都存在著無(wú)法避免的局限性。特別是在非高斯及非線性問(wèn)題的處理中更是如此。因?yàn)楣β首V僅包含了過(guò)程與二階矩相當(dāng)?shù)男畔⒘浚手挥性诟咚骨闆r下，它才能給過(guò)程以完整的統(tǒng)計(jì)描述。相反在非高斯及非線性情況下，它對(duì)過(guò)程所能提供的信息描述，便顯得極為不夠了。由此，前蘇聯(lián)著名的工程數(shù)學(xué)家Kolmogorov提出了將高階(大于二階)矩作付里葉變換這一思

3、想，并進(jìn)一步發(fā)展由Shiryaev提出了高階譜的概念。之后，由Brillinger初步建立了高階譜理論，并逐步在海洋波、地震波分析、經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析、流體力學(xué)及無(wú)線電信號(hào)處理中找到了廣泛的應(yīng)用。那么到底引用高階譜理論對(duì)實(shí)際的工程問(wèn)題的分析處理有何價(jià)值和意義呢？我們?cè)噲D首先通過(guò)對(duì)無(wú)線電信號(hào)處理中的幾個(gè)問(wèn)題的分析來(lái)對(duì)此予以闡釋。1. 非線性信號(hào)模型分析我們知道，任何具有連續(xù)功率譜的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Xt均能找到一個(gè)一般的非線性模型表示：Xt=，其中為一個(gè)不相關(guān)的過(guò)程。如果Xt的功率譜密度函數(shù)PSD滿足這Poley-Winer條件，則上述表達(dá)式可以給出單邊形式：Xt=顯然，是一個(gè)不相關(guān)的過(guò)程( E

4、3;=0 )。這一點(diǎn)僅僅包含了過(guò)程的二階信息。只有在高斯情況下，才能得到Xt的完整統(tǒng)計(jì)描述。相反，則可以看到這一信號(hào)模型之缺陷。例如在預(yù)測(cè)問(wèn)題中，僅依賴這一線性模型，預(yù)測(cè)精度將得不到保證。于是便相應(yīng)產(chǎn)生了非線性信號(hào)模型。這里我們考慮維納模型：Volterra級(jí)數(shù)形式，Ut為輸入，Xt為輸出：Xt=+引入所謂的廣義傳遞函數(shù)： 假定平穩(wěn)輸入過(guò)程：Ut=則 Xt=+其中，表示了Ut中w1、w2處的頻率分量對(duì)Xt中w1+w2處的頻率分量之貢獻(xiàn)，余類推。當(dāng)假定Ut=時(shí)， 則：Xt=+由此可以看到非線性因素的作用。輸出中不再僅僅包含單一的頻率分量w0了，而是出現(xiàn)了所謂頻率增值現(xiàn)象。因此，我們已不可能僅僅利

5、用二階特性來(lái)確定上述各級(jí)傳遞函數(shù)了。為此，必須引進(jìn)高階譜。假定Xt中的K階中心自矩為：C(s1，s2，sk-1)=EXt·Xt+s1Xt+sk-1EXt·EXt+s1EXt+sk-1則可以定義K階譜：hk(s1，s2，sk-1)= 以同樣的方式還可引進(jìn)兩個(gè)過(guò)程Xt和Yt之間的高階互譜。下面考慮特殊情況，即Xt的Volterra級(jí)數(shù)中只包含一個(gè)單一項(xiàng)：Xt=且Ut為高斯，則：Xt= Xt與Ut這三階互矩為：EXt·Ut+s1·Ut+s2 = ·E由于是高斯的(Ut為高斯過(guò)程)，則積分號(hào)的那四項(xiàng)積之均值可以分解為三項(xiàng)兩兩相乘之均值的和。即：E

6、83;E+ E·E+ E·E而E=0 w1+w20； E=hu(w1)dw1 w1+w2=0；其中hu(w)為過(guò)程Ut之功率譜密度函數(shù)。EXt·Ut+s1·Ut+s2 =· + 上式中之第一項(xiàng)恰為EXt·EUt+s1·Ut+s2所以將積分變量w3、w4換為w1、w2，有：Cuux(s1，s2) EXt·Ut+s1·Ut+s2= EXt·EUt+s1·Ut+s2+2由高斯互譜的定義(即它與高階互矩之關(guān)系)，有：huux(w1，w2)=2 于是：由此，我們可以看到引入高階譜可以估計(jì)出單一的

7、各級(jí)級(jí)數(shù)，當(dāng)Xt的Volterra級(jí)數(shù)展開(kāi)中包含多個(gè)項(xiàng)式時(shí)，可以用維納分析法將級(jí)數(shù)展開(kāi)式重寫為一系列正交項(xiàng)之和。其中引入Hermite多項(xiàng)式，這樣由新的參數(shù)構(gòu)成的傳遞函數(shù)便可應(yīng)用上面推導(dǎo)的表達(dá)式予以估計(jì)。1. 諧波分析中二次相位對(duì)的判別問(wèn)題在諧波分析中存在這樣的一種現(xiàn)象，即由于兩個(gè)諧波分量的相互作用，將可能在差頻或和頻處產(chǎn)生一個(gè)新的頻率分量。這種由于某種非線性因素的存在而引起的相位關(guān)系，稱為二次相位對(duì)，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子便是幅度調(diào)制。顯然，二次相位對(duì)僅可能出現(xiàn)在諧波相關(guān)的地方(即三個(gè)頻率分量處，一個(gè)是另外兩個(gè)之和或之差)。在某些實(shí)際應(yīng)用中，需要判斷功率譜中諧波相關(guān)處的峰值能量到底是否由二次相位對(duì)所

8、引起。由于功率譜完全忽略了相位關(guān)系，因此，它不可能對(duì)此問(wèn)題給出解答。于是我們引入Bispectrum理論。例：過(guò)程X(n)= 其中1>2>0、4>5>0、3=1+2、6=4+5，1、2、3、4、5為獨(dú)立的0，2上均勻分布之隨機(jī)變量，6=4+5。顯然(1、2、3)、 (4、5、6 )均為諧波相關(guān)。但只有6處的能譜分量是由二次相位對(duì)導(dǎo)致的。即4、5的能譜分量因某種非線性因素的存在而在6=4+5處產(chǎn)生了一個(gè)新的能譜分量。而3處的能譜分量卻是獨(dú)立的。該過(guò)程的功率譜中包含了6個(gè)脈沖分量，從功率譜的譜象中，是無(wú)法檢驗(yàn)出二次相位對(duì)是否存在。考查Xn的三階自矩R(k,l) EX(n)X

9、(n+k)X(n+l)R(k,l)=1/4cos(4l+5k)+ cos(4l+6k)+ cos(4k+5l)+ cos(6k-5l)+ cos(4k-6l)+ cos(5k-6l)非常重要的，我們發(fā)現(xiàn)：三階自矩中僅僅包含了二次相位對(duì)所對(duì)應(yīng)的頻率分量。利用其付氏變換，得到Bispectrum在其譜象中，頻率(4、5)處將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)峰值，它直接標(biāo)明了二次相位對(duì)出現(xiàn)的地方，而在(1、2)處都不存在這樣一個(gè)峰值。因此，這個(gè)事實(shí)給我們提供了一個(gè)極為有用的方法，即以Bispectrum作為工具，來(lái)判別在諧波相關(guān)處是否存在二次相位對(duì)。綜上所述，從我們對(duì)無(wú)線電信號(hào)處理中幾個(gè)問(wèn)題的分析中，我們看到了高階譜理論

10、中對(duì)于功率譜理論所無(wú)法解決的問(wèn)題。諸如非高斯、非線性情況下一些信號(hào)處理問(wèn)題，提供了一個(gè)極有價(jià)值、極富意義的手段。二 高階譜的定義及性質(zhì)定義：假定(k)為一由一類離散或連續(xù)K重隨機(jī)過(guò)程X1(t)Xk(t)構(gòu)成的一個(gè)集合，它滿足下列三個(gè)條件：A. 對(duì)于1jk和1h1,hkk， 存在。這里表示K階互乘矩：EB. 對(duì)于1jk，=U為常數(shù)，連續(xù)情況下- <u< ，離散情況U=0，1，2， 該條件實(shí)為一聯(lián)合平穩(wěn)假定。C. 對(duì)于1jk，在勒貝格測(cè)度中，平面w1+w2+wj=0上存在絕對(duì)連續(xù)的增量(w1+w2+wj) dw1dw2dwj其中(w)為狄拉克delta函數(shù)，并滿足=·(w1+

11、w2+wj) dw1dw2dwj其中為j階中心矩。如果一個(gè)K重隨機(jī)過(guò)程X1(t)Xk(t)屬于上述定義的集合(k)，則 被定義為該過(guò)程的K-1階高階譜(polyspectrum)。上面給出了高階譜的一般定義。它實(shí)質(zhì)上為一種互譜，因它涉及了K個(gè)過(guò)程X1(t)Xk(t)。下面我們將上述定義局限于一個(gè)單一的隨機(jī)過(guò)程X(t)，即假定 X(t)X(t)(K個(gè)X(t)，屬于集合(k)，則有：=·(w1+w2+wk) dw1dw2dwk于是簡(jiǎn)稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的K-1階譜。上述積分，其積分限為-：離散情況；-：連續(xù)情況如果假定一個(gè)過(guò)程 X(t)X(t)(K個(gè)X(t)屬于(k)，且滿足條件：dt1

12、dt2dtj-1<, 1jk；和： dw1dw2dwj-1<, 1jk；(在離散情況下，上式變?yōu)橐粋€(gè)和式)則存在付里葉反變換：= dt1dtk或：從上述定義中可以直觀地看到，一個(gè)過(guò)程的高階譜可以認(rèn)為是其高階中心矩的付里葉變換，并在一定條件下，二者構(gòu)成一變換對(duì)。因此高階譜在許多方面具有付里葉變換譜之性質(zhì)。具體地說(shuō)，若Xt是一實(shí)過(guò)程則：=由Cramer定理知，隨機(jī)過(guò)程Xt(二階平穩(wěn))具有譜表達(dá)式：Xtx(t)= 其中心自矩：= E根據(jù)兩邊等式的變量情況，可以知道：w1+w2+wk+1=0由此可以得到高階譜的譜分解表達(dá)式： ·dw1dw2dwk=(w1+w2+wk+1) E由于

13、在目前的實(shí)際應(yīng)用中更多地是遇到二階譜，即Bispectrum，所以這里再給Bispectrum一個(gè)詳細(xì)的討論?？紤]一個(gè)離散過(guò)程X(k)，它是三階平穩(wěn)且均值為0。有三階自矩：R(m，n) EX(k) ·X(k+m)·X(k+n)其二維付里葉變換即為所謂的Bispectrum：( w1 、w2 )B(w1，w2)= 可以直接地推導(dǎo)出R(m,n)的對(duì)稱性：R(m,n)R(n,m)R(-n,m-n)R(n-m,-m)這一性質(zhì)將在我們后面提出的階次判別方法中得到應(yīng)用。即只要確定于R(m,n)在n=0、m=0及m,n0，所界定的無(wú)窮三角形區(qū)域內(nèi)的值，便可確定整個(gè)R(m,n)的全部值。由

14、R(m,n)的對(duì)稱性，亦可得到B(w1，w2)之對(duì)稱性： B(w1，w2)= B(w2，w1)= B*(-w2，-w1)= B(-w1-w2，w2)= B(w1，-w1-w2)B(w1，w2)于w1，w2是以2為周期變化的，由上述對(duì)稱性知，只要知道了三角形區(qū)域w1w2，w20則可以完全確定Bispectrum。下面就幾個(gè)特殊平穩(wěn)過(guò)程的分析，給出其相應(yīng)的Bispectrum譜表達(dá)式。1. 高斯過(guò)程：Xt= x(t)B(w1，w2)dw1dw2=E對(duì)于高斯過(guò)程，其不同的頻率分量是獨(dú)立的，所以其Bispectrum恒為零。依此類推，其各階( 2)高階譜均為零。這是一個(gè)非常重要的事實(shí)，從中我們可以將高

15、階譜視為判別一個(gè)過(guò)程是否為高斯過(guò)程之一準(zhǔn)則，亦可作為任一過(guò)程偏離高斯過(guò)程的一個(gè)量度。2. 假定Vt是一獨(dú)立隨機(jī)變量，EVt=0、EVt2=1、EVt3=又考慮一線性過(guò)程Xt=，其中h(t)為一線性裝置的沖激響應(yīng)，h(t)= ，過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為f(w)= 其Bispectrum為：B(w1,w2)= ·H(w1) ·H(w2) ·H*(w1+w2)3. 假定Vt為一高斯過(guò)程EVt=0、EVt2=1 ，且其功率譜密度函數(shù)為g(w)。又Xt=(Vt) , (t)為一非線性函數(shù)。如果為一奇函數(shù)(-t) =-(t)，則Xt的Bispectrum將恒為零?，F(xiàn)假定(t)中

16、包含了偶函數(shù)部份Xt=Vt+Vt2， (a為常數(shù))，則Xt的功率譜密度函數(shù)為： f(w)=g(w)+2a2,而其Bispectrum為：B(w1,w2)=2ag(w1)g(w2)+g(w1)g(w1+w2)+g(w2)g(w1+w2)+O(a2) 4. 假定過(guò)程Xt=其中h(t)= ，而 T-1、T0、T1為Poission過(guò)程隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)刻ETk+1Tk=。其功率譜f(w)= Bispectrum為：B(w1,w2)= ·H(w1) ·H(w2) ·H*(w1+w2)三 Bispectrum估計(jì)中的經(jīng)典算法現(xiàn)在，我們將注意力集中到譜的估計(jì)方法上來(lái)，這里我們僅討

17、論最為常用的估計(jì)方法，先考慮所謂經(jīng)典算法，亦稱為“付里葉”型估算法。Xtx(t)= 則：B(1，2)d1d2=EdY(1)dY(2)dY(1+2)由此考慮一零均值過(guò)程X(t)(若非均值為0，可以將估計(jì)出來(lái)的均值從過(guò)程中移除)，現(xiàn)接收到Xt中一段數(shù)據(jù)，對(duì)該數(shù)據(jù)段作有限離散付里葉變換，得到其系數(shù)Y，Y可以視為(近視等價(jià)) ，繼而可將得到的付氏系數(shù)進(jìn)行三重乘積，并在整個(gè)數(shù)據(jù)段上予以平均以消除其中的統(tǒng)計(jì)不確定性，便可得到Bispectrum的估計(jì)。這一原理與利用周期圖加窗平滑方法，對(duì)功率譜進(jìn)行估計(jì)是一致的。具體算法如下：假定我們需要估計(jì)從0/2到0/2頻率范圍內(nèi)的Bispectrum(實(shí)際上由對(duì)稱性知

18、僅需要估計(jì)出00/2范圍內(nèi)的值均可)，要求譜線寬度(即譜點(diǎn)的距離為)0。這樣要求在時(shí)間域上的抽樣率至少為每單位時(shí)間抽0個(gè)樣本，且要求不相重疊的每個(gè)樣本記錄的長(zhǎng)度至少為N =0/0。現(xiàn)假定共收到K個(gè)數(shù)據(jù)記錄，其中每個(gè)記錄的長(zhǎng)度為N=M*N0。這里N的選擇應(yīng)該對(duì)FFT運(yùn)算有幫助，即應(yīng)為2的冪項(xiàng)，同時(shí)為方便起見(jiàn)，我們又須將M選擇為奇數(shù)，所以我們必須對(duì)N0作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整(N0至少為0/0)，即可通過(guò)末端加零，或允許各記錄重疊的方式來(lái)滿足FFT所要求的次數(shù)，總的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度應(yīng)該是Ntot=K* N0。由Bispectrum的對(duì)稱性及三角特性021、1+20/2，亦即僅需估計(jì)其上的值即可。由此，可進(jìn)行如下操作A

19、. 若需要，應(yīng)將估計(jì)出來(lái)的非零均值從過(guò)程中減掉；B. 若需要，通過(guò)在末端加零的方式來(lái)滿足一個(gè)有利于FFT運(yùn)算的長(zhǎng)度N，并將改進(jìn)后的記錄記為X0、X1.、XN-1；C. 對(duì)該數(shù)據(jù)記錄，作快速付里葉變換FFT：Yq=，0qN/2D. 在頻率點(diǎn)處估算功率譜密度函數(shù)f()，方法是對(duì)M=2L+1個(gè)連續(xù)的周期圖作平均：注意到和q是通過(guò)關(guān)系式=q(0/N)聯(lián)系上的。E. 估計(jì)Bispectrum：B（1，2）即B（q1·0/2，q2·0/2），這里我們可以加上一些平滑窗，如：或者加上hexagonal窗： F. 最后在k個(gè)數(shù)據(jù)段上進(jìn)行平均：由此估計(jì)出bicoherence：綜上所述，Bi

20、spectrum的經(jīng)典算法可以歸納為：將得到的數(shù)據(jù)樣本劃分為一定數(shù)量的數(shù)據(jù)段，在每一數(shù)據(jù)段上作DFT變換，并對(duì)變換結(jié)果施以加窗平滑，然后在同一數(shù)據(jù)段上賦以不同值進(jìn)行三重乘積并平均，最后再對(duì)各樣本劃分記錄施以總體平均，便得到Bispectrum。由上面估算方法的具體步驟可以看出，運(yùn)算量最大的地方出現(xiàn)在第五步，我們知道：N年復(fù)數(shù)點(diǎn)的DFT變換，大約需要2Nlog2N次運(yùn)算，由此可以初步估算出該算法所需要的運(yùn)算次數(shù)為：(M+1/16· N0+log2M+log2 N0)·Ntot 四 Bispectrum估計(jì)的現(xiàn)代算法上面我們討論了Bispectrum估計(jì)的經(jīng)典算法，可以看出其運(yùn)

21、算量較大，運(yùn)算過(guò)程較為煩瑣，而且由于付里葉變換的“不確定性原理”，其在估計(jì)譜的分辨率有估真度方面亦受到影響。通過(guò)分析利用AR模型來(lái)估計(jì)功率譜的方法，我們將其沿用到高階矩，便產(chǎn)生了即將討論的現(xiàn)代算法。給定一組接收數(shù)據(jù)樣本Xt，我們預(yù)告假定Xt是一線性過(guò)程，且其背景信號(hào)模型為非高斯白噪聲(NGWN)激勵(lì)下的一個(gè)AR模型。考慮離散情況：X(n)+ =W(n)其中W(n)為NGWN：EW(n)=0，EW2(n)=Q, EW3(n)=對(duì)于m<n，X(m)與W(n)是獨(dú)立的。假定W(n)是三階平穩(wěn)過(guò)程，相應(yīng)地X(n)亦滿足三階平穩(wěn)性，又假定AR模型是穩(wěn)定的，亦即AR濾波器的傳遞函數(shù)H(z)=1/A(

22、z)是穩(wěn)定的，其中A(z)=1+設(shè)k、l0，在模型方程兩邊乘以X(n-k)、X(n-l)，并取均值，得到R(-k,-l)+ 這里R(m,n)為X(n)的三階矩，(k，l)為二維沖激函數(shù)?，F(xiàn)考慮m=n線上的2p+1個(gè)三階矩值，它們構(gòu)成方程R·a=b其中：a1，a1apT，b，00TR 上述矩陣是屬于Toplitz型的，但不一定對(duì)稱。由前面的討論可知，在這種線性模型的背景下，過(guò)程的Bispectrum又可表為: B(w1，w2)= H(w1) ·H(w2) ·H*(w1+w2)，其中： w1 、w2 ，由此可見(jiàn)，欲求B(w1，w2)，僅需估計(jì)出H(w)，亦即先將模型識(shí)

23、別出來(lái)即可，這就需要估計(jì)出系數(shù)a1ap，以擬合出模型。那么這種擬合成系數(shù)的估計(jì)，需要在什么樣的背景中進(jìn)行呢？從方程R·a=b可以很方便地給出解答。這種擬合是在二階矩等價(jià)的條件下進(jìn)行的，即從接收的數(shù)據(jù)，可估計(jì)出 m=0,±1±p處的2p+1個(gè)三階矩點(diǎn)，再利用方程R·a=b，用Toplitz結(jié)構(gòu)算法，解出系數(shù)，這樣便將模型識(shí)別出來(lái)了。具體的算法如下：假定接收到N=K·M個(gè)數(shù)據(jù) X1，X2XN=K·M1. 首先估計(jì)三階自矩序列：A. 將所得樣本劃分成k個(gè)數(shù)據(jù)段，每段長(zhǎng)度為M；B. 在每一個(gè)記錄段上求得ri(m,n)= i=1kC. 將所得之

24、ri(m,n)在所有記錄上平均，得到R(m,n) 的估計(jì)； = 2. 利用估計(jì)模型階次 (詳見(jiàn)后面)； 3. 取在m=n=0,±1±p上的2+1個(gè)值，構(gòu)成出方程R·a=b，其中 =,00T ，是估計(jì)出來(lái)的激勵(lì)噪聲的三階矩，利用Toplitz方程的快速算法，可以解出系數(shù)a,即其估計(jì)值；4. 利用構(gòu)造出(w) =1/1 w 可求得Bispectrum的估計(jì)值:(w1,w2)(w1) (w1) *(w1+w2)在這里僅需用B(w1，w2)的對(duì)稱性，估計(jì)出其三角形區(qū)域W2W10 ,w1+w20 內(nèi)的值即可。對(duì)上述算法，我們?cè)僮饕恍┘?xì)節(jié)的說(shuō)明：A. 如果接收數(shù)據(jù)確由AR模型

25、產(chǎn)生，可以證明該算法給出AR模型參數(shù)以一致估計(jì)；可以看到矩陣 在一般情況下既非對(duì)稱又非正定，因而沒(méi)有一個(gè)正交矢量空間可以利用；B. 即使模型本身是穩(wěn)定的，而由估計(jì)參數(shù)擬合的估計(jì)模型不再一定穩(wěn)定，但因我們最終的問(wèn)題是估算Bispectrum，而非用來(lái)預(yù)測(cè)和控制，所以穩(wěn)定性問(wèn)題顯得不重要了；C. 由于模型本身并非高斯型的，所以在最后求解的形式上，最大熵譜法與前面討論的AR模型法并不等價(jià)；D. 我們已經(jīng)強(qiáng)調(diào)，上述模型擬合是在三階矩序列等價(jià)的背景下進(jìn)行的，因而為Yule-Wolker方程求得的估計(jì)系數(shù)是不能用來(lái)估計(jì)Bispectrum。參考文獻(xiàn)：1蘭華,胡屏.相關(guān)與非相關(guān)噪聲下正弦小信號(hào)恢復(fù)互高階譜矩

26、估計(jì)方法J.電子測(cè)量技術(shù).2001(4).2姚文冰.高階譜分析在抗噪聲語(yǔ)音編碼中的應(yīng)用J.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2001,29(9).3馬彥,石要武.色噪聲背景下正弦頻率估計(jì)的互高階譜LS方法.系統(tǒng)工程與電子技術(shù) J. 2005(8).4王威,張寧.高階譜理論及其在雷達(dá)信號(hào)處理中的應(yīng)用J.電子器件1997,20(1).5蘭華,石要武.混合噪聲背景下正弦參數(shù)估計(jì)的互高階譜Piasarenko方法J.計(jì)量學(xué)報(bào)2001,28(1).6M.Ysorer Raghuveer and Chrysostomosl Nikis, Bispectrum Estimation, A Paremetric

27、ApproachJ. IEEE Trans on Assp Vol 33 No.4 1985.7D.R Brllinger, An introduction to polyspetraJ. Ann Math Statist Vol36 pp1351-1374 1995.8K.S.Lii.M.Rosenblantt and C.Van Atta, Bispectral measurements in turbulenceJ. J.Fuid Mech Vol 77 pp45-62 2003.9, Simple effective MA and ARMA techniquesM. Proc ICASSP 2005 PP1426-1429.10M.Huzii, Estimation of coefficients of an autogressive process by using a higher order momentJ. J Time Ser. Analog Vol 2 pp87-93 2005.The Polyspectrum Theoryand Its Application in Singnal Processing Hu nian-qing（Arts and Science Co