高數(shù) 高等數(shù)學(xué) 微分練習(xí)題及答案詳解南風(fēng)暖心

1、第二節(jié) 微分§2.1 微分的概念淘寶特賣淘寶特賣首頁(yè)一、微分概念的引入在實(shí)際測(cè)量中，由于受到儀器精度的限制，往往會(huì)產(chǎn)生誤差。例如x0為準(zhǔn)確數(shù)，實(shí)際測(cè)量出是x*x0x為x0的近似數(shù)，由此產(chǎn)生的誤差為x相應(yīng)產(chǎn)生的函數(shù)值的誤差yf(x0x)f(x0)，往往需要估計(jì)y的值。如果f(x0x)，f(x0)計(jì)算很復(fù)雜。因此計(jì)算y也很麻煩或者實(shí)際中只知道近似數(shù)x*與誤差x，又如何估計(jì)y?淘寶特賣淘寶特賣首頁(yè)假設(shè)f(x)存在，則f(x)，有 f(x)，0，于是 yf(x0)xx，而 (1)即 x0(x)(x0)因此，當(dāng)x很小時(shí)， yf(x0)x淘寶特賣商城淘寶特賣網(wǎng)在實(shí)際中如果不知道x0，只知道x*，

2、由x0，x*相差很小，則 yf(x*)x，從而可以估計(jì)出y。從(1)式我們看到，f(x0)相對(duì)x是一個(gè)常數(shù)，x是x的高階無(wú)窮小，如果yAx0(x)(x0)，則yAx，由此得到微分的概念。淘寶特賣商城淘寶特賣網(wǎng)二、微分的概念 定義 設(shè)yf(x)在x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，若 yf(xx)f(x)可表示為 yAxo(x) (x0)其中A是寫x無(wú)關(guān)的常數(shù)，Ax稱為y的線性部。則稱yf(x)在點(diǎn)x處可微，稱線性部Ax為yf(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy，即dyAx。南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣頻道三、可微與可導(dǎo)的關(guān)系 從概念的引入，我們可以看到可導(dǎo)必可微，反之也是正確的。因此有定理 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x可

3、微的充要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)。且Af(x)。南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣頻道證 充分性，由f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，有 f(x)，于是 f(x)，其中0，有yf(x)xx，由0，有xo(x)(x0)淘寶特賣商城淘寶特賣商城所以 yf(x)xo(x) (x0)因此，yf(x)在點(diǎn)x處可微且f(x)A。必要性 由yf(x)在點(diǎn)x處可微，由定義知 yAx0(x) (x0)，A與x無(wú)關(guān)。由AAf(x)所以yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)。于是，若yf(x)在點(diǎn)x處可微，則 dyAx,由Af(x)，有 dyf(x)x淘寶特賣商城淘寶特賣商城由函數(shù)x在x處可微，則dx(x)xx，即自變量的改變量等于自變量的微分，因此

4、 dyf（x）dx等價(jià)于f(x)由此可見，導(dǎo)數(shù)f(x)等于函數(shù)yf(x)的微分dy與自變量x的微分dx的商。因此，導(dǎo)數(shù)又稱為微商，這時(shí)不僅可以看成一個(gè)整體記號(hào)，也可以看成dy與dx的商。 下面舉幾個(gè)例子，來(lái)說(shuō)明微分的一些實(shí)際意義(1) 圓面積Sr2，其中r為圓半徑，則淘寶特賣首頁(yè)淘寶特賣首頁(yè)圖2-6S(rr) 2r22rr(r) 2 ds2rr2rdr當(dāng)半徑有增量r時(shí)，圓面積的增量S，如圖中圓環(huán)表示，用微分ds近似它即以邊長(zhǎng)為2r(圓)環(huán)內(nèi)圓長(zhǎng))高為圓環(huán)厚度dr的長(zhǎng)方形面積來(lái)近似。如圖2-7淘寶特賣首頁(yè)淘寶特賣首頁(yè)圖2-7 (2)圓柱體體積Vr2h，其中r為圓柱體的底面半徑，h為圓柱的高 v(

5、rr) 2hr2h 2rhhrh(r) 2dv2rhr2rhdr淘寶網(wǎng)特賣頻道南風(fēng)暖心網(wǎng)圖2-8當(dāng)?shù)酌姘霃接性隽縭時(shí)，圓柱體的增量v，如圖中空心圓柱表示，用微分dv近似，即底面長(zhǎng)為2r(內(nèi)圓柱底面周長(zhǎng))寬為h(圓柱的高)高為圓柱厚度r的長(zhǎng)方體體積。如圖2-9(3)球的體積vr3(其中r為地球半徑)，當(dāng)半徑有增量r時(shí)，球體積的增量(即薄球殼的體積v) V(rr)3r3 r33r2r3rr3r3 4r2r(4rrr2)r dv4r2r南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣商城即薄球殼的體積v用微分dv近似即以球殼內(nèi)球面面積4r2與厚dr的乘積來(lái)近似。四、微分的幾何意義若yf(x)在點(diǎn)x處可微，則yf(x)xo(x)d

6、yo(x)南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣商城圖2-9及PT中曲線yf(x)在曲線上點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率tanf(x) yf(xx)f(x)NQdyf(x)xtanxNT圖2-10o(x)ydyNQTQ淘寶特賣南風(fēng)暖心網(wǎng)由dyy，即 NTNQ，則 PTPQ因此，當(dāng)x很小時(shí)，可用線段NT近似代替NQ，或者說(shuō)在P點(diǎn)鄰近，可用切線段PT近似代替曲線弧。§2.2 微分的基本性質(zhì)淘寶特賣南風(fēng)暖心網(wǎng)一、微分基本公式由dyf(x)dx，將導(dǎo)數(shù)公式表中每個(gè)導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分dx，便得相應(yīng)的微分公式(公式略，請(qǐng)讀者寫出來(lái))。二、微分的四則運(yùn)算淘寶特賣首頁(yè)南風(fēng)暖心網(wǎng)定理 設(shè)u(x)，v(x)在點(diǎn)x處均可微，則

7、u±v，uv，cu(c為常數(shù))， (v0)在點(diǎn)x處都可微，且1。 d(u±v)du±dv2。 d(uv)vduudv特別d(cu)cdu(c為常數(shù))3。 d() (v0)，特別d() (v0)淘寶特賣首頁(yè)南風(fēng)暖心網(wǎng)注：微分的四則運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算類似，只須把導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的導(dǎo)數(shù)改成微分，就可得到微分的四則運(yùn)算。證3 d()()dxdx (v0)三、一階微分不變形定理 若u(x)在x處可微，yf(u)在點(diǎn)u(u(x)處可微，則復(fù)合函數(shù)淘寶特賣商城淘寶特賣頻道yf(x)在點(diǎn)x處可微，且 dyf(u)du證：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以在點(diǎn)x處

8、可微，且 dyWBf(x)(x)dx f(x)d(x) f(u)du淘寶特賣商城淘寶特賣頻道 dyf(u)du，即這里u是中間變量，它與當(dāng)x是自變量，yf(x)在點(diǎn)x處可微，dyf(x)dx形式一樣。我們稱之為微分的一階不變性。 例1. ye淘寶網(wǎng)特賣頻道淘寶特賣商城解法一 由yecos (x2)·(2x)于是 dyydxecos (x2)(2x)dx解法2 利用微分的四則運(yùn)算和微分一階不變性 dydeedsin(x2) ecos (x2)d(x2) ecos (x2)d(x2)d ecos (x2)2xdxdx ecos(x2)(2x)dx從這里也可得到y(tǒng)ecos (x2)(2x)

9、例2. 求由方程2yx(xy) ln（xy）所確定的函數(shù)yy(x)的微分dy淘寶網(wǎng)特賣頻道淘寶特賣商城解 對(duì)方程兩端求微分 d(2yx)ln (xy)d(xy)（xy）dln(xy)得 2dydxln(xy)(dxdy)(dxdy)解出dy，有 dydx淘寶特賣南風(fēng)暖心網(wǎng)例3. 利用微分求，解：y從這里可以看出，只要求(t)，(t)存在且(t)0，存在淘寶特賣南風(fēng)暖心網(wǎng)dt §2.3 近似計(jì)算與誤差估計(jì)一、近似計(jì)算淘寶特賣南風(fēng)暖心網(wǎng)若yf(x)在點(diǎn)x0處可微，即 yf(x0x)f(x0)f(x0)xo（x） (x0)當(dāng)x很小時(shí)，有 yf(x0)x (1)即f(x0x)）f(x0)f(

10、x0)x，則 f(x0x)f(x0)f(x0)x (2)(1)式為我們提供計(jì)算y近似值的公式(2)式為我們提供計(jì)算f(x0x)近似值的公式特別x00有f(x)f(0)f(0)x設(shè)xx，若x很小時(shí)，有 f(x)f(0)f(0)x，于是當(dāng)x很小時(shí) sinxtsxx，ln (1x)x ex1x，(1x)1x (0)與我們前面講的等價(jià)無(wú)窮小量完全一致。例4. 計(jì)算的近似值解 設(shè)f(x) f(x)x，f（）由f(1.002)f(10.002) f(1)f(1)×0.002淘寶特賣淘寶特賣首頁(yè) 1×0.0021.00002二、誤差估計(jì)從微分概念的引入可知，應(yīng)用微分來(lái)估計(jì)誤差，是非常方便

11、迅速的。設(shè)x0為準(zhǔn)確數(shù)，x*為近似的數(shù)，則x*xx稱為準(zhǔn)確數(shù)x0的絕對(duì)誤差限，若存在正數(shù)x，使x*x0xx，則稱x為絕對(duì)誤差限。稱 (或)為準(zhǔn)確數(shù)的相對(duì)誤差，而 (或)為相對(duì)誤差限。淘寶特賣淘寶特賣首頁(yè)若yf(x)，則 ydyf(x0)xf(x0)xy于是yf(x0)x或f(x*)x稱為y的絕對(duì)誤差限 x或x稱為y的相對(duì)誤差限。例5. 為了計(jì)算出球的體積精確到1%，問度量球的直徑D所允許的最大相對(duì)誤差是多少?南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣商城解 球的體積v ()3由 dvdD，于是 3由1%有 31%，即%0.33%§2.4* 高階微分南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣商城若yf(x)在區(qū)間X上可微(x為自變量

12、)，則 dyf(x)dx這里dy不僅與x有關(guān)，與dxx也有關(guān)，而x是與x無(wú)關(guān)的一個(gè)量。我現(xiàn)在是研究dy與x之間的關(guān)系。因此，在這里x相對(duì)于x來(lái)說(shuō)是個(gè)常數(shù)，所以dy是x的函數(shù)，如果dy又可微即f(x)存在，則d(dy)d(f(x)dx)d(f(x)dxf(x)dxdxf(x)dx2稱為f(x)的二階微分，記作d2y，即 d2yf(x)dx2淘寶特賣商城淘寶特賣商城一般地若dn1yf（n1）（x）dxn1可微，即f（n）(x)存在則d(dn1y)d(f（n1） (x)dxn)d(f（n1）(x)dxn1 f（n）(x)dx·dxnf（n）(x)dxn稱為f(x)的n階微分，記作dny，即dnyf（n）(x)dxn則淘寶特賣商城淘寶特賣商城 f（n）(x) (x為自變量)因此f（n）(x)可看成dny與dxn的商，又稱n階微商。我們知道不論u是中間變量，還是自變量，f(u)存在(若u是中間變量，u(x)存在)都有一階微分不變性。 dyf(u)du二階有沒有微分不變性呢，若x是自變量，f(x)存在，則 d2yf(x)dx2南風(fēng)暖心網(wǎng)淘寶特賣頻道若yf(u)，u(x)且f(u)，都存在由 dyf(u)du,于是 d2yd(dy)d(f(u)du)du·df(u)f(u)d(du) f(u)du duf(u)d2u f(u)du