學(xué)而思高中物理競賽講義7

1、 第9講 曲線運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)解釋本講提示： 1.本講的理論推導(dǎo)盡量在聽懂的基礎(chǔ)上自己能獨(dú)立完成，不然容易留下“心理陰影”。 2.新課為了激發(fā)興趣肯定盡量結(jié)合實(shí)際講，但是學(xué)習(xí)完后應(yīng)該對理論有完整體系的認(rèn)識。 總得來說，做好受虐的心理準(zhǔn)備，聽不懂回家死磕，實(shí)在不行記得讓老師下講復(fù)習(xí)。 知識點(diǎn)睛曲線運(yùn)動(dòng)中的加速度 我們研究曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用的坐標(biāo)系不同，加速度分量式是不同。物理學(xué)研究的時(shí)候根據(jù)研究問題的特點(diǎn)不同，采用的坐標(biāo)系經(jīng)常不一樣，比如直角坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，注坐標(biāo)系等，在高一暑假的講義上，我們曾經(jīng)鋪墊過一些，本講繼續(xù)討論。 在普通的直角坐標(biāo)系中，分加速度容易理解，每個(gè)坐標(biāo)方向相互獨(dú)

2、立。記為：對應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程就是牛頓定律分量式，具體的應(yīng)用參考我們對于拋體以及恒力曲線運(yùn)動(dòng)的處理，這個(gè)方法比較適合恒力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)。由于淺顯易懂，本講不再重復(fù)。1.自然坐標(biāo)系以及加速度分量 除了直角坐標(biāo)系以外，我們還經(jīng)常會(huì)用自然坐標(biāo)系研究加速度。有一類曲線運(yùn)動(dòng)是在已知軌道上進(jìn)行的，這時(shí)，可以在軌道上任取一參照點(diǎn)，這樣就可以在軌道上用到的距離來表示運(yùn)動(dòng)方程。這就是自然坐標(biāo)，實(shí)際初中物理中的勻速率運(yùn)動(dòng)公式就是這個(gè)坐標(biāo)系中的方程。 我們把運(yùn)動(dòng)方向叫切向，垂直運(yùn)動(dòng)方向叫法向。對應(yīng)的，每個(gè)方向的加速度叫切向加速度，與法向加速度。下面用數(shù)學(xué)推導(dǎo)相應(yīng)的加速度。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般速度的大小和方向都在變

3、化。為計(jì)算P位置加速度，將速度增量分解為與平行的分量和垂直的分量，如圖：質(zhì)點(diǎn)在P的加速度為 其中就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有規(guī)律： 易從相似三角形得： ， 其中R為P位置的“曲率半徑”， 由于，所以還有： 如果物體做圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)加速度又叫向心加速度，向心加速度的規(guī)律最早由惠更斯在研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)?；莞拱l(fā)現(xiàn)：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其受合外力總是正比于物體質(zhì)量，正比于物體速度平方，反比于其圓軌道半徑。記為： 這就是高中教材上的圓周運(yùn)動(dòng)向心力定理。 應(yīng)該說這個(gè)結(jié)論還是很實(shí)用的，雖然只是我們推論中的一個(gè)特殊情況。 由于暫時(shí)我們的同學(xué)對于向量微分的運(yùn)算還不了解，為了把上述推導(dǎo)

4、在極坐標(biāo)系里推廣，必須把自然坐標(biāo)系的計(jì)算結(jié)果做一個(gè)形象的總結(jié)。【總結(jié)】改變一個(gè)速度的大小的加速度分量與速度共線，由速度大小變化率決定。改變一個(gè)速度方向的加速度與該速度垂直指向旋轉(zhuǎn)的內(nèi)側(cè)，大小正比于速度與角速度乘積。 利用以上推論我們引入極坐標(biāo)里的加速度2.極坐標(biāo)系以及加速度分量極坐標(biāo)以到參考點(diǎn)(又叫極點(diǎn))的距離以及到參考射線(極軸)的夾角來描述平面內(nèi)的點(diǎn)(，)，其數(shù)學(xué)優(yōu)點(diǎn)是某些平面坐標(biāo)系里的很復(fù)雜的曲線方程很簡單(比如以極點(diǎn)為圓心的圓的方程為)。極坐標(biāo)在物理上的優(yōu)勢是描述一些既沿著徑向運(yùn)動(dòng)，又繞著固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)比較直觀。比如橢圓軌道衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，我們關(guān)心衛(wèi)星到地面高度以及方位角。又比如我們以

5、前學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)時(shí)候用繩子或桿銜接的物體，既有徑向速度，又有轉(zhuǎn)速。都比較適合極坐標(biāo)，如圖:水平向左運(yùn)動(dòng)的物體B的速度分解為沿著繩子的分量以及垂直繩子的轉(zhuǎn)速，根據(jù)自然坐標(biāo)系得到的加速度計(jì)算原理：1.在繩子方向(徑向)上一共是兩個(gè)加速度，一個(gè)改變大小，與拉繩子的加速度大小一致，另一個(gè)改變方向，大小。2.在垂直繩子方向(垂向，注意不是切向)也有兩加速度，一個(gè)改變大小，另一個(gè)改變方向，注意這個(gè)加速度不等于 ，而等于。專業(yè)的力學(xué)教材還會(huì)對這些加速度中的某些項(xiàng)取一堆形象的名字方便記憶，比如著名的科里奧利加速度，平面系5個(gè)加速度等。由于這個(gè)加速度過于依賴向量微分的理解，這里就不引入了。期望著以上的討論能引起同

6、學(xué)們對于向量代數(shù)甚至向量微積分的興趣，因?yàn)楹軓?fù)雜的物理情景理解問題在向量微積分里可以簡化為幾個(gè)簡單的算符。學(xué)而思物理競賽的教學(xué)一種灌輸一種觀點(diǎn)，那就是方程是最美最高效率的物理語言。開始喜歡上物理的同學(xué)一般都是因?yàn)槲锢韺ΜF(xiàn)實(shí)的超理性理解。但多數(shù)喜歡物理的人進(jìn)入大學(xué)后都容易對脫離實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)運(yùn)算產(chǎn)生排斥感和畏懼感，希望同學(xué)們盡量的克服。一旦我們弄懂一個(gè)方程運(yùn)算可以處理的實(shí)際情景之廣泛，就會(huì)瘋狂的喜歡上這種方程。方程會(huì)讓我們對眾多的問題有一個(gè)統(tǒng)一的觀點(diǎn)，方程會(huì)讓我們需要記憶的量以及概念辨析的量減少為最少。從現(xiàn)實(shí)的角度，很多喜歡物理而且具備很高物理直覺天賦的同學(xué)最終在學(xué)習(xí)物理的過程中被郁悶，基本都是

7、因?yàn)椴贿m應(yīng)物理的數(shù)學(xué)描述方式。我們提倡數(shù)理結(jié)合一起理解物理的教學(xué)觀點(diǎn)也是希望更早的開始幫助我們同學(xué)克服上述困難。同學(xué)們要在科學(xué)道路上走的更高更遠(yuǎn)，與其被數(shù)學(xué)語言虐，不如學(xué)會(huì)去享受它。當(dāng)然如果我們學(xué)習(xí)物理只是作為科學(xué)知識去了解物理一下，物理確實(shí)不需要過多的數(shù)學(xué)語言去表達(dá)它。即便從概念以及邏輯思辨的角度去學(xué)習(xí)物理，物理也是很美麗很迷人的，因?yàn)樗梢詭缀蹩梢詿o限的滿足人先天本能中那種無法抑制的探索欲與求知欲。例題精講【例1】 如圖一條不可伸長的輕繩長為L，一端用手握住，另一端系一質(zhì)量為m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半徑為R，角速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且使繩始終與半徑為R的圓相切，小球也將在同一

8、水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若人手做功的功率為P，求：小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大??；小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的摩擦力的大小【例2】 如圖所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長，河岸離水面高h(yuǎn)，繩子與水平面成角度。不計(jì)船受的阻力，船的質(zhì)量為m，計(jì)算車勻速以速度v1拉動(dòng)船拉力F與函數(shù)?！纠?】 如圖，把一個(gè)質(zhì)量為m的物體放于半徑為R的光滑圓上，用向上的拉力F拉著物體把物體往下放：如果以恒定的拉力F讓物體往下滑，計(jì)算支持力與函數(shù)。如果物體以恒定的豎直分速度v沿著光滑面往下滑，計(jì)算拉力F與函數(shù)?！纠?】 一個(gè)半徑為R的半圓柱沿水平方向做加速度為a的勻加

9、速運(yùn)動(dòng)，在圓柱上擱置一豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)半圓的速度向右以v運(yùn)動(dòng)時(shí)，且如圖中角度已知，求豎直桿的加速度?！纠?】把兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球用長度為2r的輕繩連接，放于光滑水平地面，分別對兩球施加一對瞬時(shí)沖量產(chǎn)生一對初速度v與-v，兩位同學(xué)為計(jì)算繩子上張力出現(xiàn)了矛盾。A同學(xué)認(rèn)為：以繩子中心為圓心，那么拉力為B同學(xué)認(rèn)為：一右端球?yàn)閳A心，拉力為哪位同學(xué)考慮不周？為什么？【例6】如圖所示，1根長為2L的細(xì)繩，兩端各系1個(gè)質(zhì)量為m的小滑環(huán)，滑環(huán)套在固定的水平桿上，細(xì)繩的中點(diǎn)掛1個(gè)質(zhì)量為M=2m的重物。不計(jì)細(xì)繩質(zhì)量和一切摩擦，從細(xì)線與滑桿平行位置由靜止釋放到水平桿與繩夾角為=30°

10、;的位置時(shí)，已知m速度為v重物速度為多大？連接滑環(huán)與重物的細(xì)繩中的張力為多大？【例7】長度為L的輕桿上端連接著一個(gè)質(zhì)量為m的 體積可忽略的小重物B。桿的下端被用鉸鏈固接與水平面上的A點(diǎn)。同時(shí)，置于同一水平面上的立方體C恰好與B接觸，立方體C的質(zhì)量為M。今作一個(gè)微小擾動(dòng)，使桿子向右傾倒，設(shè)B與C、C與水平面間無摩擦，而B與C剛剛脫離接觸的 瞬間，桿與地面夾角恰好為30°，計(jì)算此時(shí)B的速度以及桿上拉力?！纠?】一繩的一端連接于A點(diǎn)，繩上距A點(diǎn)為a處系有一重物B，其質(zhì)量為m，繩的;另一端通過定滑輪C，現(xiàn)以恒定速率v收繩，當(dāng)繩收至圖示位置時(shí)，寫出此時(shí)人的拉力符合的兩個(gè)方程，(，已知已知)【例

11、9】試證明在有心力作用下(時(shí)刻指向一個(gè)固定點(diǎn)的力)，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體角動(dòng)量(物體質(zhì)量m速度v以及到固定點(diǎn)距離r以及r與v夾角正弦乘積mvrsin)守恒?！纠?0】計(jì)算以速度v平拋的物體拋出后軌跡曲率半徑與時(shí)間的函數(shù)，以此模型推導(dǎo)拋物線曲率半徑公式。課后練習(xí)1.如圖所示，半徑為的圓筒，繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小物塊靠在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒的摩擦因數(shù)為，現(xiàn)要使不下滑，則圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度至少為( )A B C D2.如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，沿直徑方向上放置以細(xì)線相連的A、B兩個(gè)小物塊。A的質(zhì)量為，離軸心，B的質(zhì)量為，離軸心，A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍，試求當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角

12、速度為多少時(shí)，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對滑動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多大？()3.水平桌面上放著三個(gè)圓柱體A，B，C，它們的半徑均為r，質(zhì)量mB=mC=mA。先讓它們保持如圖所示的位置，然后從靜止開始釋放，若不計(jì)接觸面間的摩擦，求A觸及桌面時(shí)的速度，已知分離時(shí)AB連線與水平夾角為。趣味物理故事清朝全息相片之謎 清朝時(shí)候，有個(gè)姓汪的官員外出，乘馬車走在一處河堤上天空忽然陰云密布，隨即雷鳴電閃，大雨傾盆汪某急忙讓車子停在一棵大柳樹下躲避 雨過天晴，汪某下車方便，回頭時(shí)猛地看見車窗內(nèi)有幾個(gè)人影，心中不禁一驚揭開車簾看，車廂里空無一人，仔細(xì)審視，原來人影是在車窗玻璃上回家后，人

13、影依然不散，家人都以為神異，就把這塊玻璃取下供奉起來 20幾年后，汪家的兒童用弓箭游戲，不小心打碎了玻璃奇怪的是，每一塊碎片上的影像仍然是完整的 汪某的外甥，翰林院侍讀張亮基得到一塊碎片，拿去給他的好友姚元之看姚元之把自己看到的情況記錄下來，并收入他所寫的竹葉亭雜記書中 書中記載：放平了看，這是一塊殘缺的玻璃片，但斜向陽光看去，就有一個(gè)“仙人”坐在里面，儀容端莊，面色微紅，雙目炯炯，胸前飄著長長的白須，頭戴紅色道冠，穿紫色衣服，右手執(zhí)一柄羽毛扇，身旁還侍立著一個(gè)童子 姚元之在清代嘉慶、道光兩朝，做官近40年，經(jīng)歷豐富，博學(xué)能文，著述嚴(yán)謹(jǐn)囿于當(dāng)時(shí)認(rèn)識水平，姚元之把這一奇異現(xiàn)象解釋為在雷雨時(shí)刻，一位避劫的仙靈精氣聚合不散，附著在玻璃上而成學(xué)習(xí)效果反饋：代課教師： 通過今天學(xué)