奇妙的自然數(shù)

1、1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,這些簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的自然數(shù)，是我們從呀呀學(xué)語(yǔ)開(kāi)始就認(rèn)識(shí)的。它們是那樣自自然然，因而顯得平淡無(wú)奇。但我們?nèi)绻J(rèn)真研究一下這些數(shù)字，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中妙趣橫生。聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時(shí)候就會(huì)巧算自然數(shù)列之和，這正是由于他對(duì)自然數(shù)有深刻的了解。高斯小時(shí)候在德國(guó)的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。數(shù)學(xué)老師是位從城里來(lái)的先生。他瞧不起窮人的孩子，從不認(rèn)真教他們，甚至還打罵學(xué)生。有一天，他情緒很壞，一上課就命令學(xué)生做加法，從1一直加到100，誰(shuí)算不到就不準(zhǔn)回家。所有的孩子都急急忙忙地算起來(lái)，老師卻在一邊看小說(shuō)，不一會(huì)兒，小高斯就算出了結(jié)果是5050。老師大吃一驚，奇怪他怎么算得這么快。原來(lái)，

2、高斯并不是按1+2+3+4 的順序計(jì)算的。而是把1到100一串?dāng)?shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98 ，直到50+51，和都是101。這樣，100個(gè)數(shù)正好是50對(duì)，因此，101×50就得出5050的總和了。從此，老師再也不敢輕視窮孩子們了。他還從城里買來(lái)書，送給高斯，熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué)，高斯進(jìn)步得更快了。小高斯所用的方法，正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。這個(gè)故事人人皆知，它說(shuō)明努力發(fā)現(xiàn)和巧妙利用規(guī)律是多么重要?，F(xiàn)在讓我們?cè)倏纯醋匀粩?shù)還有哪些有趣的性質(zhì)。 我們前面提到過(guò)完全數(shù)和友好數(shù)，除了這兩種有趣的數(shù)以外，

3、自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為"自守?cái)?shù)"。所謂自守?cái)?shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是1、5、6。 例如：21×21=421 21×21×21=9261325×325=1056256×6×6×6=1296這樣的結(jié)論是不是完全正確呢？我們可以用代數(shù)方法加以證明。讓我們以末尾是6的數(shù)為例。這樣的數(shù)可以表示成 ，這里a為任意自然數(shù)，那么： 由于a是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見(jiàn)它的個(gè)位必定是6。高次方情況下也如此，證明從略。用同樣方法可以證

4、明1、5結(jié)尾的數(shù)也是自守?cái)?shù)。如果把尾數(shù)取到兩位，還有沒(méi)有自守的性質(zhì)呢？有。比如末尾是25和76的數(shù)就是自守?cái)?shù)。 如果尾數(shù)取到三位、四位或更高位數(shù)，還能找到自守?cái)?shù)嗎？經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的計(jì)算尋覓，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)為376、9376、09376、109376、7109376以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、的數(shù)都是自守?cái)?shù)。 讓我們?cè)賮?lái)看看自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。 奇數(shù)數(shù)列是1,3,5,7,n , （n為項(xiàng)數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是2,4,6,8,2n ,（n為項(xiàng)數(shù)）人們研究奇數(shù)，發(fā)現(xiàn)如下的性質(zhì)： 這個(gè)結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，不過(guò)相當(dāng)麻煩。其實(shí)我們只要畫一張最簡(jiǎn)單的方格圖，這個(gè)性質(zhì)就一目了

5、然了。圖中除左下角的"·"代表"1"以外，每條虛線分別代表一個(gè)奇數(shù)。這張圖清楚地說(shuō)明了為什么自然數(shù)中奇數(shù)數(shù)列各項(xiàng)之和等于項(xiàng)數(shù)的平方。 自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì)： 2=1×2 2+4=6=2×32+4+6=12=3×4 2+4+6+8=20=4×5 2+4+6+8+ +n =n（n+1） 不論用數(shù)學(xué)歸納法還是用畫圖方法也都能證明這個(gè)結(jié)論。此外，對(duì)所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且十分有趣： 自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為回文數(shù)。回文數(shù)就是一個(gè)數(shù)的兩邊對(duì)稱，如11，121，1221，9339，30203等等。

6、回文數(shù)本身倒也沒(méi)有什么奇特。不過(guò)人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù)，如果把它各位數(shù)字的順序倒置，再與原數(shù)相加，將得數(shù)再按上述步驟進(jìn)行，經(jīng)過(guò)有限的步驟后必能得到一個(gè)回文數(shù)： 如：95+59=154 154+451=605605+506=11111111就是一個(gè)回文數(shù)。 又如： 198+891=10891089+9801=10890 10890+09801=20691 20691+19602=40293 40293+39204=79497 79497又是一個(gè)回文數(shù)。 是不是所有的自然數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)呢？不是。例如三位數(shù)中的196似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。有人用計(jì)算機(jī)對(duì)196用上述辦法重復(fù)十萬(wàn)次，仍然沒(méi)有得到

7、回文數(shù)。但至今還沒(méi)有人能用數(shù)學(xué)證明辦法對(duì)這個(gè)問(wèn)題下結(jié)論，所有"196問(wèn)題"也成了世界性數(shù)學(xué)難題之一。經(jīng)過(guò)計(jì)算，在前十萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中有5996個(gè)數(shù)就像196一樣很難得到回文數(shù)。 讓我們?cè)倏匆粋€(gè)有趣的數(shù)字現(xiàn)象：隨意取4個(gè)數(shù)，如8，3，12，5寫在圓周的四面。用兩個(gè)相領(lǐng)數(shù)中的大數(shù)減小數(shù)，將得數(shù)寫在第二圈圓周 。如此做下去不久，必會(huì)得到4個(gè)相同的數(shù)。這個(gè)現(xiàn)象是意大利教授杜西在1930年發(fā)現(xiàn)的，所以叫作"杜西現(xiàn)象"。 在自然數(shù)中還有一些數(shù)，看起來(lái)貌不驚人，但卻十分特別，令人百思不得其解。6174就是其中之一。 把6174各位數(shù)字從大到小排列，再?gòu)男〉酱笈帕?，然后用?/p>

8、數(shù)減小數(shù)，結(jié)果還得到6174。7641-1467=6174 有趣的是，不僅6174本身，就是任意一個(gè)四位數(shù)字，只要4個(gè)數(shù)字不完全相同，用上述辦法重復(fù)多次，最后終能得到6174這個(gè)數(shù)。 例如：1234這個(gè)數(shù)，我們用下列步聚運(yùn)算：4321-1234=30878730-0378=83528532-2358=6174 再舉一例，如2883，則有： 8832-2388=1998 9981-1899=7982 9872-2789=7083 7830-0387=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176 7641-1467=6174 對(duì)三位數(shù)字，用這個(gè)

9、辦法最終將得到495。例如867，運(yùn)算如下： 876-678=198 981-189=792 972-279=693 963-369=594 954-459=495 你還可以用其它數(shù)字來(lái)驗(yàn)證一下，看看對(duì)不對(duì)。 五位以上的數(shù)字，這個(gè)規(guī)律就不明顯了。 最后再讓我們看兩組有趣的數(shù)： 第一組為：1, 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55 第二組為：2, 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56 這兩組數(shù)有什么奇特之處呢？ 首先，這兩組數(shù)都沒(méi)有公因數(shù)，而且兩組數(shù)各自的和都是285。不過(guò)這算不上奇怪，拼拼湊湊，誰(shuí)也弄得出來(lái)。不要著急，我們?cè)偻驴?。如果?jì)算一下它們的方冪之和，你就會(huì)大為驚奇。因?yàn)閿?shù)字太多，我們不能一一列下去，讓我們把結(jié)果列出來(lái)方冪次數(shù)每組數(shù)方冪和0 12345678 10 285116855360852604381313097531256734006805 3512261547765185039471773893