第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 中值定理及其應(yīng)用1 學(xué)習(xí)指導(dǎo)1. 基本要求 掌握羅爾定理、拉格朗日定理，理解柯西定理，了解泰勒定理；會用中值定理的結(jié)論解決一些問題，如證明方程根的存在性、證明不等式等。 掌握函數(shù)的麥克勞林公式，會用泰勒公式做近似計算和估計誤差。 掌握洛必達(dá)法則的條件和結(jié)論，熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限。2. 重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：羅爾定理，拉格朗日定理，洛必達(dá)法則。難點(diǎn)：中值定理的證明和應(yīng)用，特殊類型未定式極限的求法。3. 學(xué)習(xí)方法 微分中值定理揭示了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它們是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的理論根據(jù)，其中拉格朗日定理為核心，羅爾定理是它的特殊情形，而柯西定理與

2、泰勒定理是它的不同形式的推廣。 四個中值定理具有以下共性： 建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量（整體性）與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（局部性）之間的聯(lián)系，從而使導(dǎo)數(shù)成為研究函數(shù)性態(tài)的工具。 它們都只是中值的存在性定理且定理本身未提供在區(qū)間內(nèi)的準(zhǔn)確位置，而僅顯示介于區(qū)間的兩個端點(diǎn)與之間，注意不能將中值理解為區(qū)間的中點(diǎn)。一般來講，除了較簡單的函數(shù)能求出中值的精確值外，通常的值很難確定，但它的存在性在理論和實際中仍有廣泛的應(yīng)用。 中值定理的條件都是充分而非必要的。這就是說，當(dāng)條件滿足時，結(jié)論一定成立；但當(dāng)條件不滿足時，結(jié)論也可能成立。 如果用條件“在上可導(dǎo)”去代替條件“在內(nèi)可導(dǎo)”，定理的結(jié)論仍然成立，但適

3、用范圍將相應(yīng)縮小，如在上滿足羅爾定理條件，故存在，但在都不存在。 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理三個中值定理具有相同的幾何意義：對于內(nèi)處處有非鉛直切線的曲線來說，其上至少有一點(diǎn)處的切線與聯(lián)結(jié)兩個端點(diǎn)與的弦平行。 通常稱拉格朗日中值定理的結(jié)論為拉格朗日中值公式，常用的拉格朗日中值公式有下列形式： （介于與之間）； （介于與之間）； ； （介于與之間）； ； ； （介于與之間）。其中是內(nèi)任意兩點(diǎn)且. 求函數(shù)的泰勒公式有兩種方法：直接法：求出函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)及 ，代入公式即得。間接法：利用已知函數(shù)的麥克勞林公式，通過四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算或變量代換等，得所求函數(shù)的泰勒公式。幾個常用的初等函數(shù)的麥克勞

4、林公式為： 為實數(shù)），這里，余項為柯西型余項。 求未定式極限的洛必達(dá)法則是柯西中值定理的一個應(yīng)用，它是求極限的一個重要方法，應(yīng)注意只有“”型、“”型的極限才可以直接用洛必達(dá)法則，而對“”型等其他未定式極限，必須通過通分、取對數(shù)等變形方法將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型后，才能使用洛必達(dá)法則。 中值定理的應(yīng)用非常廣泛，有關(guān)中值定理的計算題與證明題是其重要的組成部分，掌握這方面的解題方法和技巧是高等數(shù)學(xué)的基本要求，中值定理的主要應(yīng)用為： 求極限與中值定理有關(guān)的求極限的方法主要有：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；當(dāng)極限式中出現(xiàn)的增量形式時，可考慮利用拉格朗日中值公式；利用麥克勞林公式.在利用麥克勞林公式求極限

5、時，一般要用到如下的性質(zhì)：當(dāng)時，有 ， ； 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)由于微分中值定理都是以某種形式表示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，所以它們是由函數(shù)性質(zhì)去研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)或是由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)去研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)，如利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的單調(diào)性（見3.2節(jié)）等。 證明恒等式設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，C是任意常數(shù)，則在上有由此便可證明恒等式，方法是構(gòu)造函數(shù)，將欲證等式表為，求得，從而知是常數(shù)，此常數(shù)恒等于它在上的任一函數(shù)值，故任取，計算，便得，從而.有時為求導(dǎo)數(shù)簡便，也可利用結(jié)論進(jìn)行證明，其中在上可導(dǎo)且C為常數(shù)。 證明不等式將中值定理結(jié)論所得等式的一端放大或縮小，便得到不等式，一般地，將欲證不等式經(jīng)過簡單變形，如果不

6、等式一端形如，可利用拉格朗日定理；如果不等式一端形如，可利用柯西定理；如果不等式中有一部分是次多項式，或題設(shè)條件中函數(shù)具有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)且最高階導(dǎo)數(shù)有界或大小可知，可利用泰勒定理證明。 證明方程根的存在性或惟一性微分中值定理的共同特點(diǎn)之一，就是指出在某個區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使某個等式成立，這就為判斷方程根的存在性提供了理論依據(jù)，特別是羅爾定理的結(jié)論，換種說法就是，某個方程在指定區(qū)間內(nèi)至少有一個實根，因此它在判別方程根的存在性問題中應(yīng)用最多。一般地，研究含有導(dǎo)數(shù)的方程在某區(qū)間上存在實根，如果方程中僅含有一階導(dǎo)數(shù)，常用羅爾定理，有時也用拉格朗日定理或柯西定理；如果方程中有二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)，

7、則用羅爾定理或泰勒定理。研究方程根的惟一性，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性討論，有時也利用中值定理采用反證法討論。 討論中值的存在性討論中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法尋求輔助函數(shù)，再驗證該輔助函數(shù)滿足某個微分中值定理的條件，從而由該定理結(jié)論導(dǎo)出欲證結(jié)果。通常，能用拉格朗日定理或柯西定理證明的命題，也可以用羅爾定理證明。證題時選用哪種方法，以簡便為原則。 利用泰勒公式或麥克勞林公式做近似計算或誤差估計。 利用輔助函數(shù)是求解數(shù)學(xué)證明題的一個重要方法，難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)。構(gòu)造輔助函數(shù)的基本思想是，從欲證問題的結(jié)論入手，通過逆向分析，去尋找一個滿足題設(shè)條件和結(jié)論要求的函數(shù)。輔助函數(shù)不是惟一的，證題時只

8、要找到一個即可，證明與微分中值定理有關(guān)的命題，做輔助函數(shù)的常用方法有以下兩種。原函數(shù)法：用原函數(shù)法做輔助函數(shù)的一般步驟為，將欲證結(jié)論中的換為，通過恒等變形將結(jié)論化為某函數(shù)的微分形式并且用表示，觀察或求不定積分（第4章內(nèi)容）得的一個原函數(shù)，使，如果已滿足要求，則為所找輔助函數(shù)；如果不滿足題設(shè)要求，則對作恒等變形直至所做函數(shù)滿足要求。常數(shù)值法：這種方法適用于常數(shù)可分離出的命題，構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟為： 將常數(shù)部分令為. 做恒等變形，使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式。 分析所得表達(dá)式是否為關(guān)于端點(diǎn)與的對稱式或輪換對稱式。若是，則換（或）為，（或）為，于是變換后的表達(dá)式即為所尋求的輔助

9、函數(shù)。3 解題指導(dǎo)1. 求極限例1 求下列極限： ； ； ； ； ； .分析 洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種常用方法，但必須注意使用的條件，且當(dāng)條件滿足時可連續(xù)使用。解 這是“”型的極限，求解方法是通分或有理化因式將其化為“”型或“”型極限后用洛必達(dá)法則。對本題，通分后化為“”型可兩次使用洛必達(dá)法則。 . 這是“”型的極限，求這類極限的方法是將部分函數(shù)取倒數(shù)變形為“”型或“”型極限后用洛必達(dá)法則，變形時應(yīng)注意對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時運(yùn)算相對簡便。對本題，將取倒數(shù)變形為“”型計算。 . 這是“”型極限，利用對數(shù)性質(zhì)有，問題歸結(jié)為求“”型極限。本題變形后為“”型極限，則 （“”型） . 這是“”型極限，與同

10、理可將問題歸結(jié)為求“”型極限。 . 這是“”型極限，這類極限除了利用重要極限求解外，也可由歸結(jié)為“”型極限求解。 .這是“”型極限，通分得 ，是“”型極限，將分子分解因式并對分母利用等價無窮小代換后再用洛必達(dá)法則計算較簡便。此時 原式.說明 將洛必達(dá)法則與求極限的其他方法（特別是等價無窮小）聯(lián)合使用，常可以簡化計算。一般，如果表達(dá)式中某些因式的極限是確定的，可將這些因式分離出來單獨(dú)求極限，而對余下的未定式部分使用洛必達(dá)法則。例2 求下列極限： ； ； ； .分析 除利用洛必達(dá)法則求未定式的極限外，拉格朗日公式與麥克勞林公式也是常用的方法。解 這是“”型極限，注意到是函數(shù)在區(qū)間上兩個端點(diǎn)值之差，

11、且在區(qū)間上存在，從而由拉格朗日定理有 ，其中.當(dāng)時，所以原式= .這是“”極限，由對數(shù)性質(zhì)，有原式=.于是對在區(qū)間或上應(yīng)用拉格朗日定理可得 ，其中介于與之間，當(dāng)時，從而 ，所以 原式.這是“”型極限，注意到表達(dá)式中有一部分是二次多項式，故用麥克勞林公式計算。因為時，而 ， ，于是 ，所以 .這是“”型極限，因為 ，而，所以原式.2. 正確理解微分中值定理例3 解下列各題： 驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性；驗證拉格朗日定理對函數(shù) 在區(qū)間上的正確性； 驗證柯西定理對函數(shù)及在區(qū)間上的正確性。解題思路 驗證中值定理正確與否，其解題步驟為：先驗證所論定理的條件是否全部滿足；當(dāng)條件滿足時，再求出定理結(jié)

12、論中的值。解 顯然，在區(qū)間上滿足羅爾定理的三個條件，因此由羅爾定理，應(yīng)至少有一點(diǎn)，使成立。由，得.當(dāng)時有，當(dāng)時有，顯然，都在內(nèi)，由此可知羅爾定理正確。 由初等函數(shù)的可導(dǎo)性，可知在及內(nèi)可導(dǎo)，又由導(dǎo)數(shù)定義有 ， ，所以，故在可導(dǎo)，從而在上可導(dǎo)，即在上滿足拉格朗日定理條件，于是應(yīng)存在，使成立。因為， 所以，由得，由得，而與都在內(nèi)，故拉格朗日定理正確。顯然，與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)不為0，由柯西定理，應(yīng)至少存在一點(diǎn)使，即成立。令，三角方程變?yōu)?，即，從?因為，所以存在使，即滿足，故存在使?jié)M足方程，所以存在在內(nèi)，即柯西定理正確。例4 當(dāng)時，試證：，其中且.分析 移項可得，易知，等式左邊為函數(shù)在上的增

13、量形式，而右邊與有關(guān)，故利用拉格朗日定理證明。證明 令，則當(dāng)時在區(qū)間上滿足拉格朗日定理條件，因此有 （），即 （），從而 （）.由上式解得，即 ，故 . 例5 當(dāng)時，求函數(shù)的階泰勒公式。分析 求的階泰勒公式，有直接法與間接法兩種方法。對本題用直接法應(yīng)先求的直到階的導(dǎo)數(shù)，用間接法則需利用的階麥克勞林公式。解 方法1（直接法）由易知，于是代入泰勒公式，得 （介于1與之間）。這是具有拉格朗日型余項的階泰勒公式。方法2（間接法） 由得 ，從而 +.因為+=，+=.所以 .這是具有佩亞諾余項的階泰勒公式。3. 研究函數(shù)的性質(zhì)例6 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，對任意有，則在上恒有.分析 由在上連續(xù)可知，在上有

14、界，且由已知有，故對在上用拉格朗日定理建立函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，再用已知不等式進(jìn)行估值。證明 在區(qū)間上任取一點(diǎn)，則在上滿足拉格朗日定理條件，故存在使 所以 又在上也滿足拉格朗日定理條件，故 于是 ，則 繼續(xù)下去可得 .因為，且由在上連續(xù)知有界，所以，由夾逼準(zhǔn)則知4. 證明不等式例7 證明：當(dāng)時，成立不等式 分析 注意到時，則對在區(qū)間上有 故利用拉格朗日定理證明。證明 令，則在上滿足拉格朗日定理條件，從而有 ，即 .因為，所以，代入上式得 ，即 .說明 利用拉格朗日定理證明不等式的一般步驟為： 選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及相應(yīng)的區(qū)間 驗證函數(shù)滿足拉格朗日定理的條件，并應(yīng)用定理結(jié)論得等式（介于與之間）。 對作相應(yīng)

15、的放大或縮小，得欲證不等式。例8 設(shè)且在上單調(diào)遞減，證明對任意，成立不等式 分析 不妨設(shè)，由題設(shè)，只要證明不等式成立，于是對在區(qū)間及上分別應(yīng)用拉格朗日定理。證明 不妨設(shè)，由題設(shè)在區(qū)間與上滿足拉格朗日定理條件，所以存在及，使得 ， 成立，從而有，.因為，所以.又因為單調(diào)遞減，從而，于是 ，再由得.例9 設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)且，證明：對于內(nèi)任意兩點(diǎn)及，有 .分析 設(shè)，由條件可知，于是在具有一階泰勒公式，由此證明結(jié)論。證明 設(shè)，則，且在處的一階泰勒公式為（介于與之間）。因為，所以，從而 對任意，有 用乘式加上乘式，整理化簡便有 5. 證明等式例10 證明：當(dāng)時，分析 令當(dāng)時只要，便有.注意到且，所以有.證

16、明 令當(dāng)時有 ，所以.因為在時連續(xù)，從而 故即 6. 討論中值的存在性例11 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.分析 證明，等價于證明的導(dǎo)數(shù)有零點(diǎn)，故只要驗證在相應(yīng)區(qū)間滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理即可證明。證明 由題設(shè)可知，在上可導(dǎo)，從而在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，但與是否相等未知。注意到，且在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故在上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理可知，存在使，即.于是在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，故由羅爾定理可知，存在，使.例12 設(shè)與都在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且=，證明：存在，使 .分析 以本題為例，說明用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：換為，問題為證明方程在內(nèi)有實根。令，只要尋找一個函

17、數(shù)，使在上滿足羅爾定理條件。將方程變形得，易知它等價于即，于是有，檢驗可知不滿足羅爾定理條件。將等式變形得，經(jīng)檢驗也不滿足羅爾定理條件。再變形得，檢驗可知滿足羅爾定理三個條件且，因為，故方程與是同解方程。于是可取為所做輔助函數(shù)。證明 作輔助函數(shù)，由條件易知，且，故在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理可知，存在，使.因為，所以必有 .例13 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，試證：存在，使 .解題思路 對于含有兩個或兩個以上中值的驗證問題，常需要使用兩次或兩次以上中值定理。證題的一般步驟為：將欲證等式變形，使含不同中值的表達(dá)式各在等式一邊。從表達(dá)式中易于應(yīng)用中值公式的一端出發(fā)，應(yīng)用一次中值定理，使所證等式化

18、為只含一個中值的等式。作輔助函數(shù)再一次使用中值公式。對本題，將所證等式變形為 ,觀察易知，左端是柯西定理中函數(shù)與在區(qū)間上的中值部分，故先對左端用柯西定理討論。證明 顯然，與在區(qū)間上滿足柯西定理條件，于是由柯西定理可知，存在使 由條件又知，在也滿足拉格朗日定理條件，于是存在，使，代入式即得 由知，綜上可得，存在，使 .7. 研究方程根的存在性例14 設(shè)函數(shù)，試確定方程實根的個數(shù)。分析 顯然有4個零點(diǎn)，注意到是四次多項式故是三次多項式，因此只要利用羅爾定理及多項式的性質(zhì)討論的實根個數(shù)而不需要求.解 顯然函數(shù)在可導(dǎo)，且易知有4個零點(diǎn)，故在區(qū)間，上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知，至少存在，使，即至少

19、有3個零點(diǎn)。又因為是四次多項式，所以是三次多項式，故至多有3個零點(diǎn)。綜上可得，方程恰有3個實根。例15 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，試證：方程在內(nèi)至少有一個實根。分析 顯然方程可表示為，于是可對函數(shù)在上應(yīng)用羅爾定理。證明 作函數(shù)，則在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由及有 ， 所以在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使 ，即是方程的一個根。 例16 設(shè)在可導(dǎo)，且當(dāng)時，證明：當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根。解題思路 方程有惟一實根的證明步驟為：用零點(diǎn)定理或羅爾定理證明方程至少有一個實根。用單調(diào)性或反證法證明方程至多有一個實根。對本題，由于題設(shè)中已有條件，且在連續(xù)，故若有，則由零點(diǎn)定理可證

20、得實根存在。注意到，由此可得單調(diào)減少，且利用拉格朗日定理易得.證明 由在可導(dǎo)易知，在區(qū)間連續(xù)，在可導(dǎo)，即在上滿足拉格朗日定理的條件，因此存在，使 .由于時，所以有 ，從而，由零點(diǎn)定理知，方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根。又由，對任意且，由拉格朗日定理知，存在，使 ，即.這表明在單調(diào)遞減，從而在區(qū)間也單調(diào)減少，故方程在至多有一個實根。綜上可得，方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根。8. 錯題分析例17 下列極限是否存在，若存在，計算其值。 ； ； .錯解 這是“”型極限，由洛必達(dá)法則有 .由于不存在，故不存在。 這是“”型極限，由洛必達(dá)法則有 ，產(chǎn)生循環(huán)，故極限不存在。這是“”型極限，取倒數(shù)化為“”型后利用洛

21、必達(dá)法則得 = .分析 洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種好方法，但使用時必須注意條件，當(dāng)條件不滿足時，應(yīng)考慮選用其他方法。對題，由不存在，不能推出不存在；對題，由循環(huán)式也不能斷言原極限不存在；對題，由于數(shù)列沒有導(dǎo)數(shù)，所以不能直接用洛必達(dá)法則，但可借助于函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，先對用洛必達(dá)法則，進(jìn)而得.正解 =.因為，所以由無窮小量性質(zhì)有，所以. 考察，為此令，則 ，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系得 .3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.基本要求理解函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值的概念，理解曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的概念。熟練掌握求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的方法，掌握判斷函數(shù)的單調(diào)增減性與函數(shù)圖形凹凸性的方

22、法，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)。掌握求函數(shù)最大值和最小值的方法，并會求實際問題的最大值或最小值。了解漸近線概念，會求曲線的漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。理解弧微分概念，會求光滑曲線的弧微分。知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。知道求方程近似解的二分法和切線法。2.重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn) 用一階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值；用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖形的凹凸性；求實際問題的最大值或最小值。難點(diǎn) 求實際問題的最大值或最小值，函數(shù)作圖。3.學(xué)習(xí)方法導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最主要的是利用一階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)，研究方法的共性是尋找一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的同號區(qū)間，即在的定義域中分別求出和的

23、點(diǎn)及使和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將的定義域分成若干個小區(qū)間，再用和在各個小區(qū)間上的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間，且函數(shù)單調(diào)增減區(qū)間的分界點(diǎn)是極值點(diǎn)，而凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。為簡單明了，通常將上述研究過程列表進(jìn)行。極值問題的實質(zhì)是判別極值的可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，一般用第一充分條件判斷。應(yīng)正確理解可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系，即極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時，若在此點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零，常用第二充分條件。求函數(shù)極值的步驟如下：確定函數(shù)的定義域。求出導(dǎo)數(shù)，令解方程得駐點(diǎn)，再求出使不存在的點(diǎn)，得到極值的所有可疑點(diǎn)。用充分條件判斷可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。計算極

24、值點(diǎn)處的函數(shù)值得到極值。函數(shù)的最值（最大值和最小值）與極值是兩個不同的概念，最值是區(qū)間上的整體概念，極值是區(qū)間內(nèi)的局部概念，因此極值僅在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)取得，而最值可在極值可疑點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處取得。求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的一般步驟為：求出區(qū)間內(nèi)的所有極值可疑點(diǎn)。計算可疑點(diǎn)處的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。比較上述函數(shù)值的大小，其中最大的為函數(shù)的最大值，最小的為函數(shù)的最小值。特別，如果函數(shù)在某區(qū)間僅有惟一極值點(diǎn)，則當(dāng)它為極大（?。┲迭c(diǎn)時，函數(shù)在該點(diǎn)取得最大（?。┲怠Ｇ髮嶋H問題的最值，關(guān)鍵是先建立一個與所求最值有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，通常是將要求最值設(shè)為目標(biāo)函數(shù)，并由實際問題確定函數(shù)的定義區(qū)間，然后求該函數(shù)在相

25、應(yīng)區(qū)間上的最值，如果由實際問題可以確定所求最值必在區(qū)間內(nèi)部取得且在區(qū)間內(nèi)僅有一個極值可疑點(diǎn)，則可直接判定該可疑點(diǎn)必為所求最值點(diǎn)。有時為了簡化計算，可將復(fù)雜函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求簡單函數(shù)的最值問題，如將求或的最值問題，轉(zhuǎn)化為求或的最值問題，因為它們具有相同的最值點(diǎn)而后者運(yùn)算簡便。求曲線拐點(diǎn)的步驟為：求函數(shù)的定義域。求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即先求，再解出和不存在的點(diǎn)。用拐點(diǎn)的判別法進(jìn)行判斷，即若是拐點(diǎn)可疑點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)在左右兩側(cè)變號時，則是拐點(diǎn)。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)集中反映在函數(shù)作圖問題上，抓住函數(shù)的特點(diǎn)，就能比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形，作函數(shù)圖形的一般步驟為：求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否具有奇偶性與

26、周期性。求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，并求出極值可疑點(diǎn)和拐點(diǎn)可疑點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用這些點(diǎn)將定義域分成若干個小區(qū)間。列表判斷每個小區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)。若有漸近線，求出漸近線。必要時，計算出曲線上的幾個特殊點(diǎn)，然后描點(diǎn)作圖，畫出函數(shù)的圖形。平面曲線曲率的計算公式，不僅適用于直角坐標(biāo)系下曲線的曲率計算，也適用于參數(shù)方程及極坐標(biāo)系下曲線的曲率計算，但應(yīng)注意將公式中的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換。導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用有：求曲線的切線方程及法線方程（第2章內(nèi)容）。求函數(shù)的極值與最值及求應(yīng)用問題的最值。研究函數(shù)的單調(diào)增減性與曲線的凹凸性，并求曲線的拐點(diǎn)。描

27、繪函數(shù)的圖形。求曲線的曲率及曲率半徑。利用單調(diào)性確定方程實根的個數(shù)及根的存在區(qū)間，判定方程根的惟一性。利用二分法或切線法求方程的近似根。證明等式或者不等式，關(guān)鍵是正確選擇輔助函數(shù)。3. 解題指導(dǎo)1.研究函數(shù)的性態(tài)例1 描繪函數(shù)的圖形。分析 描繪函數(shù)的圖形，需討論函數(shù)的各種性態(tài)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)、漸近線等。本題函數(shù)的表達(dá)式中含有絕對值符號，故需去掉絕對值符號將其化為分段函數(shù)后進(jìn)行討論。解 設(shè)，則定義域為，且因為 ， 所以不存在，從而 同理 令得駐點(diǎn)，令得，由與不存在得.列表如下：012不存在+0+不存在0+凹減0凸增凸減凹減從而，函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為，單調(diào)減少區(qū)間為和；上凸區(qū)

28、間為，上凹區(qū)間為和；極小值為，極大值為，曲線的拐點(diǎn)為和.為求漸近線，計算 ，由此知當(dāng)時，曲線有水平漸近線.又 ，而 ，所以曲線沒有斜漸近線。對任意有限數(shù)，有 ，故曲線也沒有垂直漸近線。為描點(diǎn)作圖，計算得，作函數(shù)圖形略2.函數(shù)的極值與最值例2 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的極值與最值： ，； ，； 分析 函數(shù)的極值在使一階導(dǎo)數(shù)為零或使一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得，而閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值，則在極值點(diǎn)與區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取得，故本題應(yīng)先求極值的可疑點(diǎn)，然后選用適當(dāng)方法判定極值點(diǎn)后計算極值，再將極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較得最值，如果是開區(qū)間，則計算區(qū)間邊界處的極限值，再與極值做比較。解 因為在連續(xù)，且 故在上的最大值

29、和最小值一定存在。由 得駐點(diǎn)，列表如下：101+00+0極大值極小值極大值由極值存在的第一充分條件知，函數(shù)在取得極大值，在取得極小值，與比較可知，最大值，最小值.注意到是以為周期的周期函數(shù)，故對函數(shù)在一個周期上進(jìn)行討論。因為 ，.當(dāng)時，由得駐點(diǎn)，而，所以由極值存在的第二充分條件知為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，且極大值，極小值，從而由周期性可知，在上有極大值點(diǎn)，極大值為；也有極小值點(diǎn)，極小值為.又在上連續(xù)，且，與極值比較知，所求最大值，最小值.（3）由于是分段函數(shù)，且在及上連續(xù)可導(dǎo)，故需用定義討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。因為， ，所以在連續(xù)，故在連續(xù)，又 ，所以在不可導(dǎo)，從而 令得駐點(diǎn).列表如下：0+不

30、存在0+極大值極小值所以在取得極大值，在取得極小值.又在連續(xù)且，與極值比較知，最大值，最小值.例3 證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有惟一極小值。分析 由，不易解出駐點(diǎn)，因此需證明，存在惟一實根使且.證明 顯然在上連續(xù)，且，故由零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)，使.又，所以在單調(diào)增加，而，所以是的惟一極小值點(diǎn)，從而知在區(qū)間存在惟一極小值。3.曲線的拐點(diǎn)例4 求曲線的拐點(diǎn)。分析 曲線方程由參數(shù)式給出，應(yīng)利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則求得二階導(dǎo)數(shù)，再求出使二階導(dǎo)數(shù)為零及不存在的參數(shù)，經(jīng)判別確定拐點(diǎn)。解 因為 ， ，所以，當(dāng)時，當(dāng)時不存在，由于對任意有，所以當(dāng)時點(diǎn)為曲線上的邊界點(diǎn)，故不是拐點(diǎn)。又由于當(dāng)經(jīng)過時皆由負(fù)變正，故當(dāng)時對應(yīng)點(diǎn)與時

31、對應(yīng)點(diǎn)皆為所求曲線的拐點(diǎn)。例5 試確定常數(shù)，使曲線有拐點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與直線平行。分析 已知直線的斜率為，由條件即可確定待定常數(shù)。解 由已知可得方程組 解之得，故所求曲線為. 4.研究方程根的存在性例6 討論方程有幾個實根。分析 當(dāng)為具體函數(shù)時，研究方程實根的個數(shù)，其方法是求的極值可疑點(diǎn)，將的定義域分為若干個部分區(qū)間，利用在部分區(qū)間上的單調(diào)性與零點(diǎn)定理，確定方程的根在該部分區(qū)間上是否存在。對本題，令，則問題轉(zhuǎn)化為研究在時的零點(diǎn)個數(shù)。解 令，則，由得惟一駐點(diǎn).當(dāng)時，單調(diào)增加，當(dāng)時，單調(diào)減少，從而是的惟一極大值，且為最大值，于是有下面結(jié)論：若，則，此時是惟一零點(diǎn)，故方程有惟一實根。若，則，此時

32、沒有零點(diǎn)，故方程無實根。若，則，又，故有兩個零點(diǎn)和，所以原方程有兩個實根。例7 設(shè)，證明：若，則方程有且僅有一個實根。分析 由于函數(shù)是三次多項式，故方程的實根至多有三個。如果在是單調(diào)函數(shù)，則方程至多有一個實根，因此利用零點(diǎn)定理和單調(diào)性證明。證明 顯然，在連續(xù)，且 ，故必存在，使，由零點(diǎn)定理可知，方程在即內(nèi)至少有一個實根。又，由條件有，故拋物線與軸無交點(diǎn)且開口向上，因此拋物線縱坐標(biāo)，即，從而在單調(diào)增加，故方程至多有一個實根。綜上即知，方程有且僅有一個實根。5.證明不等式例8 證明下列不等式：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.解題思路 利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的主要方法是：利用微分中值定理（見3.1節(jié)

33、）；利用泰勒公式（見3.1節(jié)）；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)圖形的凹凸性；利用極值和最值。這些方法的共同特點(diǎn)是，選取變量構(gòu)造輔助函數(shù)，研究輔助函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和最值等。對于具體問題，并不一定各種方法都適用，需具體問題具體分析。證明 令 ，因為 ，所以單調(diào)遞減，又 ，故當(dāng)時，從而 .令，則.因為 ， ，所以是上凸函數(shù)，于是當(dāng)時， ，從而當(dāng)時，.令，因為 .當(dāng)時且，故是惟一極小值點(diǎn)，即是在內(nèi)的最小值，從而 .由此證得，當(dāng)時，.令，則，只要證明當(dāng)時即可。因為 ， =.注意到當(dāng)時，故令，則 ，于是在內(nèi)單調(diào)遞增，從而，因此，即單調(diào)增加，故.進(jìn)而有單調(diào)增加，即當(dāng)時，成立。由此證得，當(dāng)時，. 例9

34、證明下列不等式：當(dāng)時，；當(dāng)時.解題思路 證明數(shù)值不等式的一般方法是選擇變量，構(gòu)造輔助函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式。證明 對不等式兩邊取對數(shù)，只要證明，即即可。作輔助函數(shù)，則 ，故當(dāng)時單調(diào)遞減，由知，即，從而當(dāng)時，成立不等式.將原不等式變形為，記，只要證明當(dāng)時，即即可。令 （），則，由 =， 知，在單調(diào)增加，從而，于是在單調(diào)增加，故，進(jìn)而可知原不等式成立。6.錯題分析例10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在且大于零，又 .證明：在內(nèi)單調(diào)增加。錯解1 由條件可知，在上滿足拉格朗日定理條件，因此 （），所以.由于時，故，從而在單調(diào)增加。錯解2 在內(nèi)任取，由拉格朗日中值定理，有 （）， （）.因為，所以單調(diào)增加，故，從而，由的任意性知，在內(nèi)單調(diào)增加。分析 研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，方法是求導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)數(shù)的符號，或由單調(diào)性定義比較兩任意點(diǎn)處函數(shù)值的大小。本題錯解1中由拉格朗日定理得到，但隨著取值不同而不同，應(yīng)視為的函數(shù)，故，而應(yīng)為，但與的性質(zhì)皆不明，從而的符號不能確定。錯解2中由于無法判定，所以也不一定成立。正解 ，顯然，當(dāng)時分母大于零，只要確定函數(shù) （）的符號。方法1（利用中值定理）由