2014年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及詳細(xì)答案(含附加題)

1、2014年江蘇高考數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題參考公式:圓柱的側(cè)面積公式:S圓柱=cl, 其中c是圓柱底面的周長(zhǎng)，l為母線長(zhǎng).圓柱的體積公式:V圓柱=Sh,其中S是圓柱的底面積，h為高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1已知集合，則 【答案】2已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為 【答案】213右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的n的值是 【答案】54從這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是 【答案】5已知函數(shù)與，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是 【答案】6為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)（單位

2、：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有 株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm【答案】247在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值是 【答案】48設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為，體積分別為，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是 【答案】9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 【答案】10已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 【答案】11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線(為常數(shù))過(guò)點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線平行，則的值是 【答案】12如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，則的值是 【答案】2213已知是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)

3、，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】14若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 【答案】二、解答題：本大題共6小題, 共計(jì)90 分. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答, 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15(本小題滿分14 分)已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】本小題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差及二倍角的公式，考查運(yùn)算求解能 力. 滿分14分.（1）， ；（2） 16(本小題滿分14 分)如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)已知（1）求證：直線PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC【答案】本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，

4、考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.（1）為中點(diǎn) DEPA平面DEF，DE平面DEF PA平面DEF（2）為中點(diǎn) 為中點(diǎn) ，DEEF， DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC17(本小題滿分14 分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率e的值【答案】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn) 算求解能力. 滿分14分.（1），橢圓方程為（2）設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，三點(diǎn)共線，即，即

5、聯(lián)立方程組，解得 C在橢圓上，化簡(jiǎn)得，, 故離心率為18(本小題滿分16分)如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，（1）求新橋BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？解：本小題主要考查直線方程、直線與圓的位置關(guān)系和解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分16分.解法一：(1) 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC

6、所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，直線BC的斜率k BC=tanBCO=.又因?yàn)锳BBC，所以直線AB的斜率k AB=.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，則k BC= k AB=解得a=80，b=120. 所以BC=.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,(0d60).由條件知，直線BC的方程為，即由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,所以即解得故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大. 所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積

7、最大.解法二:(1)如圖，延長(zhǎng)OA, CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠anBCO=.所以sinFCO=，cosFCO=.因?yàn)镺A=60,OC=170，所以O(shè)F=OC tanFCO=.CF=,從而.因?yàn)镺AOC，所以cosAFB=sinFCO=，又因?yàn)锳BBC，所以BF=AF cosAFB=，從而B(niǎo)C=CFBF=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MDBC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m(0d60).因?yàn)镺AOC，所以sinCFO =cosFCO，故由(1)知，sinCFO =所以.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

8、所以即解得故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.19(本小題滿分16分)已知函數(shù)其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）證明：是上的偶函數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知正數(shù)a滿足：存在，使得成立試比較與的大小，并證明你的結(jié)論【答案】本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 方法分析與解決問(wèn)題的能力.滿分16分.（1），是上的偶函數(shù)（2）由題意，即，即對(duì)恒成立令，則對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（3），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增令，即在上單調(diào)減存在，使得，即設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減因此至多

9、有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，20(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱是“H數(shù)列”（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“H數(shù)列”；（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差若是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”和，使得成立【答案】本小題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查探究能力及推理論證能力, 滿分16分.（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，是“H數(shù)列”（2）對(duì)，使，即取得，又，（3）設(shè)的公差為d令，對(duì)，對(duì)，則，且為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，令，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于n與奇偶性不同，即非負(fù)偶數(shù)，因此對(duì)，都可找到，使成立

10、，即為“H數(shù)列”的前項(xiàng)和，令，則對(duì)，是非負(fù)偶數(shù)，即對(duì)，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列”因此命題得證.數(shù)學(xué)(附加題)21.【選做題】本題包括A, B,C,D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.【選修4-1:幾何證明選講】(本小題滿分10分) 如圖，AB是圓O的直徑，C、 D是圓O 上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn) 證明:OCB=D.本小題主要考查圓的基本性質(zhì)，考查推理論證能力.滿分10分.證明：因?yàn)锽, C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B=OC. 故OCB=B. 又因?yàn)镃, D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)， 故B，D為同弧

11、所對(duì)的兩個(gè)圓周角， 所以B=D. 因此OCB=D.B.【選修4-2:矩陣與變換】(本小題滿分10分)已知矩陣，向量，為實(shí)數(shù)，若，求的值【答案】本小題主要考查矩陣的乘法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.，由得解得C.【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)【答案】本小題主要考查直線的參數(shù)方程、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.直線l：代入拋物線方程并整理得交點(diǎn)，故D.【選修4-5:不等式選講】(本小題滿分10分)已知x>0, y>0,證明：(

12、1+x+y2)( 1+x2+y)9xy.本小題主要考查算術(shù)一幾何平均不等式.考查推理論證能力.滿分10分.證明：因?yàn)閤>0, y>0, 所以1+x+y2，1+x2+y，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)=9xy.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22(本小題滿分10分)盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為，隨機(jī)變量X表示中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望22.【必做題】本小題主要考查排列與組合、離散型隨機(jī)變量的均值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.（1）一次取2個(gè)球共有種可能情況，2個(gè)球顏色相同共有種可能情況取出的2個(gè)球顏色相同的概率（2）X的所有可能取值為，則X的概率分布列為X234P故X的數(shù)學(xué)期望23(本小題滿分10分)已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，（1）求的值；（2）證明：對(duì)任意的，等式成立23.【必做題】本題主要考