2016-2017學(xué)年人教A版選修2-1___242__拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案1

1、24.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)一只很小的燈泡發(fā)出的光，會分散地射向各方，但把它裝在圓柱形的手電筒里，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)節(jié)，就能射出一束比較強(qiáng)的平行光線，這是為什么呢？原來手電筒內(nèi)，在小燈泡后面有一個反光鏡，鏡面的形狀是一個由拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，叫做拋物面人們已經(jīng)證明，拋物線有一條很重要的性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸探照燈就是利用這個原理設(shè)計的問題1：拋物線有幾個焦點(diǎn)？提示：一個焦點(diǎn)問題2：有人說“拋物線是雙曲線的一支”，這句話對嗎？提示：不對問題3：拋物線有漸近線嗎？提示：沒有1 拋物線的簡單幾何性質(zhì)類型y22px(p0)y22px(p0)x22py

2、(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)準(zhǔn)線xxyy范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下2焦半徑與焦點(diǎn)弦拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的連線段叫做焦半徑，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得弦叫做焦點(diǎn)弦設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P(x0，y0)，焦點(diǎn)弦端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標(biāo)準(zhǔn)形式下的焦點(diǎn)弦和焦半徑公式如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半徑|PF|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦點(diǎn)弦|AB|AB|x1x2p|AB|p

3、x1x2|AB|y1y2p|AB|py1y21拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它可以無限延伸，但它沒有漸近線2拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心3拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線，這與橢圓、雙曲線不同4拋物線的離心率e1(定值)5拋物線方程中的參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離由方程y22px(p0)知，對同一個x，p越大，|y|也越大，說明拋物線開口越大6拋物線與雙曲線都是“開放型”曲線，但拋物線不能看成是雙曲線的一支第一課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)例1拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓9x24y236短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方

4、程及拋物線的準(zhǔn)線方程思路點(diǎn)撥解答本題可先確定橢圓的短軸，從而確定拋物線的焦點(diǎn)位置，再寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可精解詳析橢圓的方程可化為1，其短軸在x軸上，拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)拋物線的方程為y22px或y22px(p>0)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即3，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x或y212x，其準(zhǔn)線方程分別為x3和x3.一點(diǎn)通用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟：1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2±3yBy2±6xCx2±12y Dx2±6y解析：依題意知拋物線方程為x2±2py(p>

5、0)的形式，又3，p6,2p12，故方程為x2±12y.答案：C2平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：線段OA的垂直平分線為4x2y50，與x軸的交點(diǎn)為(，0)，拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，其標(biāo)準(zhǔn)方程是y25x.答案：y25x拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上，求這個正三角形的邊長思路點(diǎn)撥先證明x軸是它們的公共對稱軸，再求三角形邊長精解詳析如圖所示，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為A(x1，y1)

6、，B(x2，y2)，則y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.x1>0，x2>0,2p>0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對稱由此得AOx30°，所以y1x1，與y2px1聯(lián)立，解得y12p.|AB|2y14p.一點(diǎn)通拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問題時具有廣泛的應(yīng)用，但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件解本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對稱性和正三角形的性質(zhì)證明A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱另外，拋物線方程中變量x，y的范圍也是常用的幾何性質(zhì)3若雙曲線1(p>0)的左焦

7、點(diǎn)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，則p的值為()A2 B3C4 D4解析：雙曲線的方程可化為1，雙曲線的左焦點(diǎn)為( ，0)又拋物線的準(zhǔn)線為x，所以由題意得 ，解得p4.答案：C4等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上若該三角形的斜邊長為4，求拋物線的方程解：如圖，設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線上根據(jù)拋物線的性質(zhì)知A，B關(guān)于x軸對稱由題意得A(2,2)在拋物線y22px上，p1，拋物線的方程為y22x.與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題例3已知過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的弦長為36，求弦所在的直線方程思路點(diǎn)撥由弦所在直線經(jīng)過焦點(diǎn)(1,0)，且弦長為36，可知

8、直線的斜率存在且不為0，只需求出直線的斜率即可精解詳析過焦點(diǎn)的弦長為36，弦所在的直線的斜率存在且不為零故可設(shè)弦所在直線的斜率為k，且與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，直線的方程為yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236，k±.所求直線方程為y(x1)或y(x1)一點(diǎn)通解決過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的有關(guān)問題時，一是注意將直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題；二是注意焦點(diǎn)弦長、焦半徑公式的應(yīng)用解題時注意整體代入思想的運(yùn)用，簡化運(yùn)算5

9、已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A. B.C. D25解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y(x2)由得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(，2)|AB|AF|BF|282.AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.答案：A6拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程解：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上時，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，如圖直線的方程為yxp.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|AF|

10、FB|x1x2，即x1x28.由消去y得x23px0.x1x23p.將其代入得p2.所求拋物線方程為y24x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y22px(p>0)時，同理可求得拋物線方程為y24x.綜上所述，拋物線的方程為y24x或y24x.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個，就可求其他兩個2涉及拋物線的焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離1(2011·陜西高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是()Ay28xBy24xCy28x Dy24x解析：顯然由準(zhǔn)線方程x2，可知拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上，同時得p4，所以

11、標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px8x.答案：C2若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(，±) B(，±)C(，) D(，)解析：由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上而F(，0)，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.代入拋物線方程得y±，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，±)答案：B3線段AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)若A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1等于()A45°B60°C90°D120°解析：法一：設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，AB的

12、方程為xmy.消去x得y22myp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2.又A1(，y1)，B1(，y2)，F(xiàn)(，0)，(p，y1)，(p，y2)，則·p2y1y20，即A1FB190°.法二：如圖所示，|AA1|AF|，|BB1|BF|，12，56.又AA1BB1x軸，13，64，23，45，23452(34)180°，3490°，即A1FB190°.答案：C4(2011·山東高考)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范

13、圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即4，根據(jù)已知只要|FM|>4即可根據(jù)拋物線定義，|FM|y02.由y02>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，)答案：C5設(shè)點(diǎn)A是拋物線y24x上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)若|AB|3，則M到直線x1的距離為_解析：由題意知點(diǎn)B即為拋物線的焦點(diǎn)，直線x1即為拋物線的準(zhǔn)線，如圖|AB|3，|AA|3.又|BB|2，MM即為梯形BBAA的中位線，|MM|(|AA|BB|).答案：6過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線的定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.答案：7直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上，且一直角邊的方程是y2x，斜邊長是5，求此拋物線的方程解：如圖，設(shè)直角三角形為AOB，直角頂點(diǎn)為O，AO邊的方程為y2x，則OB邊的方程為y