2016年11月11日高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)恒成立組卷

1、2016年11月11日高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)恒成立組卷一解答題（共30小題）1已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，g（x）=（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求f（x）的最大值；（2）若不等式f（x）g（x）對任意實(shí)數(shù)x1，+）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：不等式lnkn（）（nN*）2已知函數(shù)f（x）=在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為x+y=2（）求a，b的值；（）若對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有xf（x）m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（） 求證：對一切x（0，+），都有3（x+1）f（x）成立3設(shè)函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718為自然對數(shù)

2、的底數(shù)（）討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)x1時(shí)，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立4設(shè)函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線xy+3=0距離的最小值；（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式f（x）g（x）對一切正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由5設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若關(guān)于x的不等式f（x）m0在0，e1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）設(shè)g（x）=f（x）x21，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)解，求p的最小值（3）證明不等

3、式：（nN*）6已知函數(shù)f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（）若在區(qū)間1，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍7已知函數(shù)f（x）=lnx（）若a0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（）若f（x）在1，e上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍8已知函數(shù)f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范圍9已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間e，+）上為增函

4、數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1且kZ時(shí)，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值10已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=elnx（）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）kx+m，對xR恒成立，且g（x）kx+m，對x（0，+）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由11已知函數(shù)f（x）=（x0）（1）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（2）若f（x）恒成立，求整數(shù)k的最大值；（3）

5、求證：（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n312設(shè)函數(shù)f（x）=xmlnx（1）若函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，求m范圍；（2）在（1）條件下，若函數(shù)h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范圍13已知函數(shù)f（x）=alnxax3（a0）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0對任意xe，e2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；（）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=1×2×3××n

6、）14已知f（x）=xlnxax，g（x）=x22（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對一切x（0，+），都有成立15已知函數(shù)f（x）=2lnxax+a（aR）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）若f（x）0恒成立，證明：當(dāng)0x1x2時(shí)，16已知f（x）=+nlnx（m，n為常數(shù)）在x=1處的切線為x+y2=0（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意實(shí)數(shù)x，1，使得對任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍17設(shè)函數(shù)f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)b=1

7、時(shí)，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求實(shí)數(shù)a的最小值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）18已知函數(shù)f（x）=lnxa（x1），aR（）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)x1時(shí)，f（x）恒成立，求a的取值范圍19已知函數(shù)f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）若存在區(qū)間m，n，+），使得函數(shù)g（x）在m，n上的值域?yàn)閗（m+2）2，k（n+2）2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍20已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程是5x4y+1=0（1）求a，b

8、的值；（2）若當(dāng)x0，+）時(shí)，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范圍；（3）若=22361，試估計(jì)ln的值（精確到0.001）21已知函數(shù)f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，求a的值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)a時(shí)，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22已知函數(shù)f（x）=mlnxx2+2（mR）（）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若f（x）在x=1時(shí)取得極大值，求證：f（x）f（x）4x3；（）若m8，當(dāng)x1時(shí)，恒有f（x）f（x）4x3恒成立，求m的取值范圍23已知函數(shù)f（x）=ln（x+

9、1）x（x1）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若kZ，且f（x1）+xk（1）對任意x1恒成立，求k的最大值；（3）對于在（0，1）中的任意一個(gè)常數(shù)a，是否存在正數(shù)x0，使得e1x02成立？請說明理由24已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（1+a）x（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）0對定義域中的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對任意正整數(shù)m，n，不等式+恒成立25已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，函數(shù)g（x）=ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論f（x）的單調(diào)性；（）若x（0，+），使得不等式g（x）成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（）當(dāng)a=0時(shí)，對于x（0，+），求證

10、：f（x）g（x）226設(shè)函數(shù)f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若對任意x（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍27已知函數(shù)f（x）=ex（x22x+2a2）（a0），g（x）=x2+6x+c（cR）（）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為y=4x2，求a的值；（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)a=1時(shí)，對x12，2，x22，2，使f（x1）g（x2）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍28已知f（x）=ax10lnx，h（x）=x2+（m2）x+6

11、（）若函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）當(dāng)a=4時(shí)，對于任意x1，x2（0，1），均有h（x1）f（x2）恒成立，試求參數(shù)m的取值范圍29已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性（2）設(shè)g（x）=x22bx+4當(dāng)時(shí)，若對任意x1（0，2），存在x21，2，使f（x1）g（x2），求實(shí)數(shù)b取值范圍30設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax2lnx（aR）（I）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（）當(dāng)a4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意a（4，6）及任意x1，x21，2，ma+2ln2|f（x1）f（x2）|恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍2016年11月11日高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)恒成立

12、組卷參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2017春葫蘆島期末）已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，g（x）=（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求f（x）的最大值；（2）若不等式f（x）g（x）對任意實(shí)數(shù)x1，+）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：不等式lnkn（）（nN*）【解答】（1）解：a=2時(shí)，f（x）=xlnx+2x（x0），f（x）=lnx+1令f（x）0，得0xe，f（x）0，得xe，f（x）的單調(diào)遞增是（0，e），單調(diào)遞減是（e，+），x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值e；（2）解：不等式f（x）g（x）對任意實(shí)數(shù)x1，+）恒成立，x1，alnx+令h（x）=lnx+

13、只要h（x）mina即可h（x）=設(shè)m（x）=x3+2x2x1，m（x）=3x2+4x10，m（x）在1，+）上是增函數(shù)，m（x）min=10，h（x）0，h（x）在1，+）上是增函數(shù)，h（x）min=，a；（3）證明：令f（x）=lnx（x2），f（x）=+0在2，+）上恒成立，f（x）在2，+）上是增函數(shù)，f（x）min=f（2）=ln20，lnx0在2，+）上恒成立，在2，+）上恒成立，+=，ln1=0，lnkn（）（nN*）2（2016秋禪城區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）=在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為x+y=2（）求a，b的值；（）若對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有xf（x

14、）m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（） 求證：對一切x（0，+），都有3（x+1）f（x）成立【解答】解：（）f（x）=，而點(diǎn)（1，f（1）在直線x+y=2上，f（1）=1，又直線x+y=2的斜率為1，f（1）=1，故有，解得：；（）由（）得f（x）=（x0），由xf（x）m，得：m，令g（x）=，g（x）=，令h（x）=1xlnx，則h（x）=10，（x0），h（x）在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，h（x）h（1）=0，當(dāng)x1時(shí)，h（x）h（1）=0，從而當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0，當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，g（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+）是減函數(shù)，故g（x）max=g（1）=1，要使

15、m成立，只需m1，故m的取值范圍是（1，+）；（）證明：要證3（x+1）f（x）=lnx+1，對x0成立，即證明：xlnx+x對x0成立，設(shè)（x）=xlnx+x（x0），（x）=lnx+2，當(dāng)xe2時(shí)，（x）0，（x）遞增；當(dāng)0xe2時(shí)，（x）0，（x）遞減；（x）min=（e2）=，設(shè)g（x）=（x0），g（x）=，當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0，g（x）遞增；當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，g（x）遞減；g（x）max=g（1）=，（x）min=g（x）max=，xlnx+x，對x0成立，3（x+1）f（x）=lnx+1對x0成立3（2016四川）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2

16、.718為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)x1時(shí)，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立【解答】（）解：由f（x）=ax2alnx，得f（x）=2ax=（x0），當(dāng)a0時(shí)，f（x）0在（0，+）成立，則f（x）為（0，+）上的減函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，由f（x）=0，得x=，當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（，+）時(shí)，f（x）0，則f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；綜上，當(dāng)a0時(shí)，f（x）為（0，+）上的減函數(shù)，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；（）證明：要證g（x）0（x1），即0，即證，也

17、就是證，令h（x）=，則h（x）=，h（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，則h（x）min=h（1）=e，即當(dāng)x1時(shí)，h（x）e，當(dāng)x1時(shí)，g（x）0；（）解：由f（x）g（x），得，設(shè)t（x）=，由題意知，t（x）0在（1，+）內(nèi)恒成立，t（1）=0，有t（x）=2ax=0在（1，+）內(nèi)恒成立，令（x）=，則（x）=2a=，當(dāng)x2時(shí)，（x）0，令h（x）=，h（x）=，函數(shù)在1，2）上單調(diào)遞增，h（x）min=h（1）=1又2a1，e1x0，1x2，（x）0，綜上所述，x1，（x）0，（x）在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，t（x）t（1）0，即t（x）在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，a4（2016張家口模擬）

18、設(shè)函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線xy+3=0距離的最小值；（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式f（x）g（x）對一切正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由f（x）=x+lnx，得，令f'（x）=1，得所求距離的最小值即為到直線xy+3=0的距離（2）假設(shè)存在正數(shù)a，令F（x）=f（x）g（x）（x0），則F（x）max0由得時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)即a1所以a的取值范圍是1，+）5（2016湖南模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）22l

19、n（1+x）（1）若關(guān)于x的不等式f（x）m0在0，e1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）設(shè)g（x）=f（x）x21，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)解，求p的最小值（3）證明不等式：（nN*）【解答】（1）解：依題意得f（x）maxm，x0，e1，而函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）f（x）在（1，0）上為減函數(shù)，在（0，+）上為增函數(shù)，f（x）在0，e1上為增函數(shù)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為me22（2）解：g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x）=2xln（1+x），顯然，函數(shù)g（x）在（1，0）上為減函數(shù)，在（0，+）上為增函數(shù)函數(shù)g（x）的最小值為g（0）=0要使方程g（x）=p至少

20、有一個(gè)解，則p0，即p的最小值為0（3）證明：由（2）可知：g（x）=2xln（1+x）0在（1，+）上恒成立所以ln（1+x）x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立令，則x（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2ln11，將以上n個(gè)等式相加即可得到：6（2016廣西一模）已知函數(shù)f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（）若在區(qū)間1，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：（I）因?yàn)?，?分）當(dāng)a=1，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表

21、：x（0，1）1（1，+）f'（x）0+f（x）極小值所以x=1時(shí)，f（x）的極小值為1（5分）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（6分）（II）因?yàn)?，且a0，令f'（x）=0，得到，若在區(qū)間1，e上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間1，e上的最小值小于0即可（7分）（1）當(dāng)a0時(shí)，f'（x）0對x（0，+）成立，所以，f（x）在區(qū)間1，e上單調(diào)遞減，故f（x）在區(qū)間1，e上的最小值為，由，得，即（9分）（2）當(dāng)a0時(shí)，若，則f'（x）0對x1，e成立，所以f（x）在區(qū)間1，e上單調(diào)遞減，所以，f（x）在區(qū)

22、間1，e上的最小值為，顯然，f（x）在區(qū)間1，e上的最小值小于0不成立（11分）若，即1時(shí)，則有xf'（x）0+f（x）極小值所以f（x）在區(qū)間1，e上的最小值為，由，得1lna0，解得ae，即a（e，+）舍去；當(dāng)01，即a1，即有f（x）在1，e遞增，可得f（1）取得最小值，且為1，f（1）0，不成立綜上，由（1）（2）可知a符合題意（14分）7（2016廣元三模）已知函數(shù)f（x）=lnx（）若a0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（）若f（x）在1，e上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：（）由題意得f（x）的定義域是（

23、0，+），且f（x）=，a0，f（x）0，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增；（）由（）可得f（x）=，若a1，則x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此時(shí)f（x）在1，e上遞增，f（x）min=f（1）=a=，a=（舍），若ae，則x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此時(shí)f（x）在1，e上遞減，f（x）min=f（e）=1=，a=（舍），若ea1，令f（x）=0，得x=a，當(dāng)1xa時(shí)，f（x）0，f（x）在（1，a）遞減，當(dāng)axe時(shí)，f（x）0，f（x）在（a，e）遞增，f（x）min=f（a）=ln（a）+1=，a=，綜上a=；（）f（x）x2，lnxx2，又x0，axlnxx3，令g（

24、x）=xlnxx3，h（x）=g（x）=1+lnx3x2，h（x）=，x（1，+）時(shí)，h（x）0，h（x）在（1，+）遞減，h（x）h（1）=20，即g（x）0，g（x）在（1，+）遞減，g（x）g（1）=1，a1時(shí)，f（x）x2在（1，+）恒成立8（2016衡陽校級模擬）已知函數(shù)f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范圍【解答】解：（）f（x）=aex，xR當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，令f（x）=0得x=lna由f（x）0得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，lna）；由

25、f（x）0得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，+）（）x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，則，即a設(shè)h（x）=，則問題轉(zhuǎn)化為a，由h（x）=，令h（x）=0，則x=當(dāng)x在區(qū)間（0，+） 內(nèi)變化時(shí)，h（x）、h（x）變化情況如下表：xh（x）+0h（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表可知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)h（x）有極大值，即最大值為9（2016北海一模）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間e，+）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1且kZ時(shí)，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=

26、a+1+lnx，又函數(shù)f（x）在區(qū)間e，+）上為增函數(shù)，當(dāng)xe時(shí)，a+1+lnx0恒成立，a（1lnx）max=1lne=2，即a的取值范圍為2，+）；（2）當(dāng)x1時(shí)，x10，故不等式k（x1）f（x）k，即對任意x1恒成立令則，令h（x）=xlnx2（x1），則在（1，+）上單增h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即當(dāng)1xx0時(shí)，h（x）0，即g（x）0，當(dāng)xx0時(shí)，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+）上單增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，=x0（3，4），kg（x）min=x0且kZ，即km

27、ax=310（2016江西模擬）已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=elnx（）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）kx+m，對xR恒成立，且g（x）kx+m，對x（0，+）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由【解答】解：（I）由于函數(shù)f（x）=，g（x）=elnx，因此，F(xiàn)（x）=f（x）g（x）=x2elnx，則F（x）=x=，x（0，+），當(dāng)0x時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）在（0，）上是減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（

28、x）在（，+）上是增函數(shù)；因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，+）（II）由（I）可知，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)（，）假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點(diǎn)（，）故設(shè)其方程為：y=k（x），即y=kx+k，由f（x）kx+k對xR恒成立，則對xR恒成立，=4k28k+4e=e（k）20成立，因此k=，“分界線“的方程為：y=下面證明g（x）對x（0，+）恒成立，設(shè)G（x）=elnxx+，則G（x）=，當(dāng)0x時(shí)，G（x）0，當(dāng)x時(shí)，G（x）0，當(dāng)x=時(shí)，G（x）取得最大值0，則g（x）x對x（0，+）恒成立

29、，故所求“分界線“的方程為：y=11（2016山東三模）已知函數(shù)f（x）=（x0）（1）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（2）若f（x）恒成立，求整數(shù)k的最大值；（3）求證：（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n3【解答】解：（1）f（x）=（x0），f（x）=（2分）x0，x20，ln（x+1）0，f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，+）上是減函數(shù)（4分）（2）f（x）恒成立，即h（x）=k恒成立，即h（x）的最小值大于k（6分）而h（x）=，令g（x）=x1ln（x+1）（x0），則g（x）=，g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，又g（2）=1

30、ln30，g（3）=22ln20，g（x）=0存在唯一實(shí)根a，且滿足a（2，3），a=1+ln（a+1）當(dāng)xa時(shí)，g（x）0，h（x）0，當(dāng)0xa時(shí)，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a+1（3，4）故正整數(shù)k的最大值是3 （10分）（3）由（）知（x0）ln（x+1）1=22 （12分）令x=n（n+1）（nN*），則ln1+n（n+1）2，ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+ln1+n（n+1）（2）+（2）+2=2n3=2n3（1）=2n3+2n3（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n3 （16分）12（2016太原

31、校級模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=xmlnx（1）若函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，求m范圍；（2）在（1）條件下，若函數(shù)h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范圍【解答】解：函數(shù)f（x）=xmlnx（1）定義域上為（0，+），f（x）=1+=，函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，x2mx+10，在x0時(shí)恒成立即xm在x0時(shí)恒成立，根據(jù)對鉤函數(shù)得出m2，故m的范圍為：m2（2）函數(shù)h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成，即f（x）的最大值h（x）的最小值，f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）=10，x1，e，h（x）單調(diào)遞增，h（x）的最小值

32、為h（1）=1，可以轉(zhuǎn)化為em1，即me1，m的范圍為：me113（2016宜春校級模擬）已知函數(shù)f（x）=alnxax3（a0）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0對任意xe，e2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；（）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=1×2×3××n）【解答】解：（）f（x）=（x0），當(dāng)a0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1，單調(diào)減區(qū)間為1，+）；當(dāng)a0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為1，+），單調(diào)減區(qū)間為（0，1；（）令F（

33、x）=alnxax3+（a+1）x+4e=alnx+x+1e，則F（x）=，若ae，即ae，F(xiàn)（x）在e，e2上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e2）=2a+e2e+10，a，無解若eae2，即e2ae，F(xiàn)（x）在e，a上是減函數(shù)；在a，e2上是增函數(shù)，F(xiàn)（e）=a+10，即a1F（e2）=2a+e2e+10，即a，e2a若ae2，即ae2，F(xiàn)（x）在e，e2上是減函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e）=a+10，即a1，ae2，綜上所述，a（）證明：令a=1，此時(shí)f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)x（1，+）時(shí)，f（x）f（1），即lnx

34、+x10，lnxx1對一切x（1，+）成立，n2，nN*，則有l(wèi)n（+1）=，要證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*），只需證ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）1（n2，nN*）；ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）（1）+（）+（）=11；所以原不等式成立14（2016商丘校級模擬）已知f（x）=xlnxax，g（x）=x22（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對一切x（0，+），都有成立【解答】解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+）當(dāng)a

35、=1時(shí)，f（x）=lnx+2令f（x）=lnx+20，得令f（x）=lnx+20，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）對一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，對一切x（0，+），xlnxaxx22恒成立即對一切x（0，+），恒成立令當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)（x）0，函數(shù)遞減，當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)（x）0，函數(shù)遞增F（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3a3（3）證明：對一切x（0，+），都有成立等價(jià)于證明：對一切x（0，+），都有成立由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)f（x）=xlnx+x，令，當(dāng)x（0，1）時(shí)，G（x）0，函數(shù)G（x）遞增，當(dāng)x（1，+）時(shí)，G（x）0，函數(shù)G

36、（x）遞減f（x）minG（x）max當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)G（x）取到極大值，也是最大值f（x）minG（x）max對一切x（0，+），都有成立15（2016湖南模擬）已知函數(shù)f（x）=2lnxax+a（aR）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）若f（x）0恒成立，證明：當(dāng)0x1x2時(shí)，【解答】解：（）求導(dǎo)得f（x）=，x0若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上遞增；若a0，當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（，+）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減（）由（）知，若a0，f（x）在（0，+）上遞增，又f（1）=0，故f（x）0不恒成立若a2，當(dāng)x（，1）時(shí)，f（x）遞減，f（x）f（1

37、）=0，不合題意若0a2，當(dāng)x（1，）時(shí)，f（x）遞增，f（x）f（1）=0，不合題意若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+）上遞減，f（x）f（1）=0，合題意故a=2，且lnxx1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）當(dāng)0x1x2時(shí)，f（x2）f（x1）=2ln2（x2x1）2（1）2（x2x1）=2（1）（x2x1），2（1）16（2016石嘴山校級一模）已知f（x）=+nlnx（m，n為常數(shù)）在x=1處的切線為x+y2=0（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意實(shí)數(shù)x，1，使得對任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）f（x）=+nln

38、x定義域?yàn)椋?，+），f（x）=+，f（1）=+n=1，把x=1代入x+y2=0可得y=1，f（1）=1，m=2，n=，f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+），無遞增區(qū)間（2）由（1）可知，f（x）在，1上單調(diào)遞減，f（x）在，1上的最小值為f（1）=1，只需t3t22at+21，即2at2t+對任意的t，2恒成立，令g（t）=t2t+則g（t）=2t1=，t，2，2t3t21=（t1）（2t2+t+1），在t，1上g（t）單調(diào)遞減，在1，2上g（t）單調(diào)遞增，又g（）=，g（2）=，g（t）在，2上的最大值是，只需2a，即a，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，+）1

39、7（2016新余校級一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)b=1時(shí)，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求實(shí)數(shù)a的最小值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=的定義域?yàn)椋?，1）（1，+），f（x）=b，當(dāng)b0時(shí)，x（e，+）時(shí)，f（x）0；故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+）；當(dāng)b0時(shí)，x（0，1）（1，e）時(shí)，f（x）0；故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，e）；（2）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=ax，f（x）=a，故f（x2）+a=（）2+，故當(dāng)x2=e2時(shí)，f（x2）+a有最大值，故只需使存在x1e，e

40、2，使f（x1），故ax1，即a，令g（x）=，g（x）=；故g（x）=在e，e2上是減函數(shù)，g（e）=1，g（e2）=；故只需使a；故實(shí)數(shù)a的最小值為18（2016中山市校級模擬）已知函數(shù)f（x）=lnxa（x1），aR（）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)x1時(shí)，f（x）恒成立，求a的取值范圍【解答】（本小題滿分12分）解：（）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），若a0，則f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，（2分）若a0，則由f（x）=0，得x=，當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（）時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減所以當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞

41、增，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減（4分）（）f（x）=，令g（x）=xlnxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令F（x）=g（x）=lnx+12ax，（6分）若a0，F(xiàn)（x）0，g（x）在1，+）遞增，g（x）g（1）=12a0，g（x）在1，+）遞增，g（x）g（1）=0，從而f（x）不符合題意（8分）若0a，當(dāng)x（1，），F(xiàn)（x）0，g（x）在（1，）遞增，從而g（x）g（1）=12a，g（x）在1，+）遞增，g（x）g（1）=0，從而f（x）不符合題意（10分）若a，F(xiàn)（x）0在1，+）恒成立，g（x）在1，+）遞減，g（x）g（1）=12

42、a0，從而g9x）在1，+）遞減，g（x）g（1）=0，f（x）0，綜上所述，a的取值范圍是）（12分）19（2016成都模擬）已知函數(shù)f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）若存在區(qū)間m，n，+），使得函數(shù)g（x）在m，n上的值域?yàn)閗（m+2）2，k（n+2）2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解答】解：（）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax2+（1+a）xlnx的導(dǎo)數(shù)為f（x）=ax+1+a=，（x0），當(dāng)a=1時(shí)，f（x）0，f（x）遞減；當(dāng)a1時(shí)，1，f（x）0，可得x1或0x；當(dāng)0a1時(shí)，1，f（x）0，可得0x

43、1或x綜上可得，a=1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，+）；a1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（1，+），（0，）；0a1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（，+），（0，1）；（）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）=x2xlnx，令g（x）=2xlnx+1（x0），則g（x）=2=，（x0），當(dāng)x時(shí)，g（x）0，g（x）為增函數(shù)；g（x）在區(qū)間m，n，+）遞增，g（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，所以g（m）=k（m+2）2，g（n）=k（n+2）2，mn，則g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有兩個(gè)不同的正根，k=，令F（x）=，求導(dǎo)得，F(xiàn)（x）=（x），令G（x）=x2+3x2lnx

44、4（x）則G（x）=2x+3=，所以G（x）在，+）遞增，G（）0，G（1）=0，當(dāng)x，1時(shí)，G（x）0，F(xiàn)（x）0，當(dāng)x1，+時(shí)，G（x）0，F(xiàn)（x）0，所以F（x）在，1）上遞減，在（1，+）上遞增，F(xiàn)（1）kF（），k（1，20（2016葫蘆島一模）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程是5x4y+1=0（1）求a，b的值；（2）若當(dāng)x0，+）時(shí)，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范圍；（3）若=22361，試估計(jì)ln的值（精確到0.001）【解答】解（1）f（x）=，由題意：f（1）= f（1）= 解得：a=1，b=2（3分）（

45、2）：由（1）知：f（x）=，由題意：kln（1+x）0令F（x）=kln（1+x），則F（x）=1+（5分）解法一：F（x）=1+=令=（2k）24（2k）=（k2）（k+2），當(dāng)0即2k2時(shí)，x2+（2k）x+2k0恒成立，F(xiàn)（x）0F（x）在x0，+）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）F（0）=0恒成立，即f（x）kg（x） 恒成立，2k2時(shí)合題意當(dāng)0即k2或k2時(shí)，方程x2+（2k）x+2k=0有兩解x1=，x2=此時(shí)x1+x2=k2，x1x2=2k（i）當(dāng)k2時(shí)，x1x2=2k0，x1+x2=k20，x10，x20，F(xiàn)（x）=0F（x）在x0，+）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）F（0）=0恒成立即f（x）k

46、g（x） 恒成立k2時(shí)合題意（ii）當(dāng)k2時(shí)，x1x2=2k0，x10，x20F（x）=當(dāng)x（0，x2）時(shí)，F(xiàn)（x ）0，F(xiàn)（x）在x（0，x2）上單調(diào)遞減當(dāng)x（0，x2）時(shí)，F(xiàn)（x）F（0）=0這與F（x）0矛盾，k2時(shí)不合題意綜上所述，k的取值范圍是（，2（8分）解法二：F（x）=1+=（1+x+k）1+x+2，當(dāng)k2時(shí)，F(xiàn)（x）0F（x）在x0，+）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）F（0）=0恒成立，即f（x）kg（x） 恒成立，k2時(shí)合題意，當(dāng)k2時(shí)，令F（x）=0得x10x2，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x（0，x2）時(shí)，F(xiàn)（x ）0，F(xiàn)（x）在x（0，x2）上單調(diào)遞減（其中x2=）當(dāng)x（0，x2）時(shí)，F(xiàn)（

47、x）F（0）=0這與F（x）0矛盾，k2時(shí)不合題意綜上所述，k的取值范圍是（，2（8分）（3）由（2）知：當(dāng)k2時(shí)，kln（1+x）在x0時(shí)恒成立取k=2，則2ln（1+x） 即：2ln（1+x）令x=10得：2ln，ln0.2236（10分）由（2）知：當(dāng)k2時(shí)，kln（1+x）在（0，）時(shí)恒成立令=1，解得：k=ln（1+x）在x（0，）上恒成立取x=1得：ln，ln0.2222，ln=0.2229精確到0.001，取ln=0.223（12分）21（2016海淀區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，求a的值；（2）討論

48、函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)a時(shí)，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，且f'（x）=x（1+2a）+，（1分）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2取得極小值，所以f'（2）=0，即f'（2）=2（1+2a）+=0，（2分）解得a=1（3分）經(jīng)檢驗(yàn)：a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，所以a=1（4分）（）f'（x）=x（1+2a）+=令f'（x）=0，則x=或x=2a（6分）i、當(dāng)2a，即a時(shí)，x（，）（，2a）2a（2a，+）f'（x）+00+f（x）所以f（x）的增區(qū)間為（，）和（2a，+），減區(qū)間為（，2a）（7分）ii、當(dāng)2a=，即a=時(shí)，f'（x）=0在（，+）