高考雙曲線經典題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1、設雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.(1) 證明：無論P點在什么位置，總有|2 = |·| ( O為坐標原點)；(2) 若以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設OP：y = k x, 又條件可設AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), |·| =|+| =. 設 = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯立解得:m2

2、=, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,點P在雙曲線上，b2 a2k2 > 0 . 無論P點在什么位置，總有|2 = |·| . （2）由條件得：= 4ab, 即k2 = > 0 , 4b > a, 得e > 2、已知以向量v=(1, )為方向向量的直線l過點(0, )，拋物線C：(p>0)的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線上（）求拋物線C的方程；（）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若(O為原點，A、B異于原點)，試求點N的軌跡方程解：（）由題意可得直線l： 過原點垂直于l的直線方程

3、為 解得 拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，拋物線C的方程為 （）設，由，得又，解得 直線ON：，即 由、及得，點N的軌跡方程為 3、已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準線的距離為l. （1）求雙曲線的方程； （2）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M、N，點P為雙曲線上異于M、N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.（1）解：依題意有：可得雙曲線方程為 （2）解：設所以 4、已知點分別是射線，上的動點，為坐標原點，且的面積為定值2（I）求線段中點的軌跡的方程；（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分

4、點，求此時直線的方程解：（I）由題可設，其中.則 1分的面積為定值2，. 2分，消去，得： 4分由于，所以點的軌跡方程為（x0）5分（II）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為由消去得：， 6分設點、的橫坐標分別是、，由得 8分解之得：. 9分由消去得：，由消去得：，. 10分由于為的三等分點，. 11分解之得. 5、設雙曲線C：的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q。 （）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標； （）求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程； （）過點F（1，0）作直線l與（）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設，若（

5、T為（）中的點）的取值范圍。解：（）由題，得，設則由 又在雙曲線上，則 聯立、，解得 由題意， 點T的坐標為（2，0） 3分（）設直線A1P與直線A2Q的交點M的坐標為（x，y）由A1、P、M三點共線，得 1分由A2、Q、M三點共線，得 1分聯立、，解得 1分在雙曲線上，軌跡E的方程為 1分（）容易驗證直線l的斜率不為0。故可設直線l的方程為 中，得 設 則由根與系數的關系，得 2分 有將式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 6、已知中心在原點，左、右頂點A1、A2在x軸上，離心率為的雙曲線C經過點P（6,6），動直線l經過A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點M、N，Q為線段

6、MN的中點。（1）求雙曲線C的標準方程（2）當直線l的斜率為何值時，。本小題考查雙曲線標準議程中各量之間關系，以及直線與雙曲線的位置關系。解（1）設雙曲線C的方程為又P（6,6）在雙曲線C上，由、解得所以雙曲線C的方程為。（2）由雙曲線C的方程可得所以A1PA2的重點G（2,2）設直線l的方程為代入C的方程，整理得整理得解得由，可得解得由、，得7、已知，點滿足，記點的軌跡為.（）求軌跡的方程；（）若直線過點且與軌跡交于、兩點. （i）設點，問：是否存在實數，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.（ii）過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記，求的取值范圍

7、.解：（）由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為（3分）（）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為，與雙曲線方程聯立消得，設、， 解得 （5分）（i） （7分） 假設存在實數，使得， 故得對任意的恒成立， ，解得 當時，. 當直線l的斜率不存在時，由及知結論也成立， 綜上，存在，使得. （8分） （ii），直線是雙曲線的右準線，（9分） 由雙曲線定義得：， 方法一： （10分） ，（11分） 注意到直線的斜率不存在時，綜上， （12分）8、已知雙曲線的離心率e2，且、分別是雙曲線虛軸的上、下端點 （）若雙曲線過點（，），求雙曲線的方程；（）在（）的條件下，若、是雙曲線上不同

8、的兩點，且，求直線的方程 解：（）雙曲線方程為 ，雙曲線方程為 ，又曲線C過點Q（2，），雙曲線方程為 5分（），M、B2、N三點共線 , （1）當直線垂直x軸時，不合題意 （2）當直線不垂直x軸時，由B1（0，3），B2（0，3），可設直線的方程為，直線的方程為 由，知 代入雙曲線方程得，得，解得 , ，故直線的方程為 40、(廣東省四校聯合體第一次聯考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為且過點(4，-) （1）求雙曲線方程； （2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上； （3）求F1MF2的面積.解：（1） 離心率e=設所求雙曲線方程為x2

9、-y2=(0)則由點(4，-)在雙曲線上知=42-(-)2=6雙曲線方程為x2-y2=6（2）若點M(3,m)在雙曲線上 則32-m2=6 m2=3 由雙曲線x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0) ,故點M在以F1F2為直徑的雙曲線上.（3）=×2C×|M|=C|M|=2×=69、已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且. （1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程； （2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.解：

10、（1）設P的坐標為，由得（2分） （4分）化簡得 P點在雙曲線上，其方程為（6分） （2）設A、B點的坐標分別為、，由 得（7分），（8分）AB與雙曲線交于兩點，>0，即解得（9分）若以AB為直徑的圓過D（0，2），則ADBD，即，（10分）解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.10、過雙曲線的上支上一點作雙曲線的切線交兩條漸近線分別于點. （1）求證：為定值； （2）若，求動點的軌跡方程.解：（1）設直線AB：由得.3分.7分（2），所以四邊形BOAM是平行四邊形.9分由及.13分14分11、雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上， （1）求雙曲線的離心率e； （2）若此雙曲線過C（2，），求雙曲線的方程； （3）在（2）的條件下，D1、D