3應(yīng)用問題的題型與方法

1、第3講 應(yīng)用問題的題型與方法數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一， 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學(xué)會文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化，能結(jié)合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想方法解決問題，包括解決帶有實際意義的或者相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確的加以表述.考生的弱點主要表現(xiàn)在將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力上.實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是提高閱讀能力即數(shù)學(xué)審題能力，審出函數(shù)、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字?jǐn)⑹鏊磻?yīng)的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，抽

2、象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)式符號語言，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答.可以說，解答一個應(yīng)用題重點要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力.由于數(shù)學(xué)問題的廣泛性，實際問題的復(fù)雜性，干擾因素的多元性，更由于實際問題的專一性，這些都給學(xué)生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質(zhì)的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、排列、組合、概率、曲線、解三角形等問題.一、知識整合1“考試大綱”對于“解決實際問題的能力”的界定是：能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述

3、的材料；能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括提煉、解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述.并且指出：對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，要把握好提出問題所涉及的數(shù)學(xué)知識和方法的深度和廣度，切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際.2應(yīng)用問題的“考試要求”是考查考生的應(yīng)用意識和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：（1）、要求考生關(guān)心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，明確“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”，并積累處理實際問題的經(jīng)驗.（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)

4、行數(shù)學(xué)思維與交流.（3）、考查建立數(shù)學(xué)模型的初步能力，并能運(yùn)用“考試大綱”所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識和方法來求解.3求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；（2）、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）、評價：對結(jié)果進(jìn)行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證.4在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.函數(shù)模型 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常常可歸

5、結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識和方法去解決. 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型； 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識處理所得的函數(shù)模型.幾何模型 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識來求解. 數(shù)列模型 在經(jīng)濟(jì)活動中，諸如增長率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實際問題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來解決.在解應(yīng)用題時，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律.二、例題分析例1（1

6、996年全國高考題）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)有增加22，人均糧食產(chǎn)量比現(xiàn)在提高10，如果人口年增長率為1，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？ （糧食單產(chǎn) ； 人均糧食產(chǎn)量）分析：此題以關(guān)系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數(shù)據(jù)，要求考生從兩條線索抽象數(shù)列模型，然后進(jìn)行比較與決策.解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產(chǎn)、人均糧食占有量、總?cè)丝跀?shù)及三個百分率，其中人均糧食占有量P， 主要關(guān)系是：PP .2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(10.22)，人口數(shù)為

7、m(10.01)，耕地面積為（1010x）. （10.1） 即 1.22（1010x）1.110（10.01）3.求解： x1010（10.01） （10.01）1C0.01C0.01C0.011.1046 x10995.94（公頃）4.評價：答案x4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）另解：1.讀題：糧食總產(chǎn)量單產(chǎn)耕地面積； 糧食總占有量人均占有量總?cè)丝跀?shù)；而主要關(guān)系是：糧食總產(chǎn)量糧食總占有量2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(10.22)，人口數(shù)為m(10.01)，耕地面積為（101

8、0x）. a(10.22)(1O10x)(10.1)m(10.01)3.求解： x1010（10.01） （10.01）1C0.01C0.01C0.011.1046 x10995.94（公頃）4.評價：答案x4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）說明：本題主要是抓住各量之間的關(guān)系，注重3個百分率.其中耕地面積為等差數(shù)列，總?cè)丝跀?shù)為等比數(shù)列模型，問題用不等式模型求解.本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數(shù)函數(shù)、不等式、增長率、二項式定理應(yīng)用于近似計算等知識熟練.此種解法可以解決有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題.此種題型屬

9、于不等式模型，也可以把它作為數(shù)列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式.在解答應(yīng)用問題時，我們強(qiáng)調(diào)“評價”這一步不可少！它是解題者的自我調(diào)節(jié)，比如本題求解過程中若令1.011，算得結(jié)果為x98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎？于是進(jìn)行調(diào)控，檢查發(fā)現(xiàn)是錯在1.01的近似計算上. A M C D B 例2（1991年上海高考題）已知某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積（精確到0.01）？ 分析：城市每年人口數(shù)成等比數(shù)列，每年住房總面積成等比數(shù)列

10、，分別寫出2000年后的人口數(shù)、住房總面積，從而計算人均住房面積.解：1.讀題：主要關(guān)系：人均住房面積2.建模：2000年底人均住房面積為3.求解：化簡上式， 1.021C0.02C0.02C0.021.219 人均住房面積為4.924.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.說明：一般地，涉及到利率、產(chǎn)量、降價、繁殖等與增長率有關(guān)的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個基礎(chǔ)數(shù)列的知識進(jìn)行解答.此種題型屬于應(yīng)用問題中的數(shù)列模型.例3如圖，一載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中在距離O地5a（a

11、為正數(shù)）公里北偏東角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中sin= 現(xiàn)有110指揮部緊急征調(diào)離O地正東p公里的B處的救護(hù)車趕往N處載上醫(yī)學(xué)專家全速追趕乘有重危病人的火車，并在C處相遇，經(jīng)測算當(dāng)兩車行駛的路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時. （1）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系； （2）當(dāng)p為何值時，搶救最及時.解：（1）以O(shè)為原點，正北方向為y軸建立直角坐標(biāo)系，則 設(shè)N（x0，y0）， 又B（p，0），直線BC的方程為： 由得C的縱坐標(biāo)，（2）由（1）得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，當(dāng)公里時，搶救最及時.例4（1997年全國高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米

12、時，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元. 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米時）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域； 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 分析：幾個變量（運(yùn)輸成本、速度、固定部分）有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.解：（讀題）由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本每小時運(yùn)輸成本時間，（建模）有y(abv)（解題）所以全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米時）的函數(shù)關(guān)系式是：yS(bv)，其中函數(shù)的定義域是v(0，c .整理函數(shù)有yS(bv)S(v)，由函數(shù)yx (k

13、0)的單調(diào)性而得：當(dāng)c時，則v時，y取最小值；當(dāng)c時，則vc時，y取最小值.綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)c時，行駛速度應(yīng)為v；當(dāng)c時，行駛速度應(yīng)為vc.說明：1.對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及函數(shù)（a0，b0）的性質(zhì)要熟練掌握.3.要能熟練地處理分段函數(shù)問題.例5（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(理工農(nóng)醫(yī)類20)） 在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位

14、于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動. 臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向.在時刻：（1）臺風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是其中若在t時刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有即答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.例6已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.甲

15、乙丙維生素A（單位/千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （1）用x，y表示混合食物成本c元； （2）確定x，y，z的值，使成本最低. 解:（1）依題意得 .（2）由 ， 得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.， 當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.說明：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.例7（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷文史類19） 有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC

16、的垂直平分線上的P點處，（建立坐標(biāo)系如圖） （）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點P應(yīng)位于何處？ （）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小， 點P應(yīng)位于何處？分析：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力. （）解：設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是（）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得記于是 因為在上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是 解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得記于是 函數(shù)的圖象如圖，因此，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.答:點P的坐標(biāo)是 解法三：因為在AB

17、C中，AB=AC=13，且，所以ABC的外心M在線段AO上，其坐標(biāo)為， 且AM=BM=CM. 當(dāng)P在射線MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，這時P到A、B、C三點的最遠(yuǎn)距離為P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.答:點P的坐標(biāo)是例7（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷理工農(nóng)醫(yī)類20）A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負(fù)的概率A1對B1A2對B2A3對B3現(xiàn)按

18、表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為、 （1）求、的概率分布； （2）求E，E.分析：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.解：（1）、的可能取值分別為3，2，1，0.，根據(jù)題意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)=， P(=1)=P(=2)= P(=2)=P(=1)= ， P(=3)=P(=0)= . （2）； 因為+=3，所以 例8（2004年湖北卷）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用. 單獨采用甲、乙

19、預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少.（總費用=采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）解：不采取預(yù)防措施時，總費用即損失期望為4000.3=120（萬元）；若單獨采取措施甲，則預(yù)防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.9=0.1，損失期望值為4000.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）若單獨采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.85=0.15，損失期望值為4000.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（10.9）（10.85）=0.015，損失