條件概率及事件的相互獨(dú)立性

1、 第一章 第三節(jié)條件概率及事件的相互獨(dú)立性(16)二、全概率公式及貝葉斯公式二、全概率公式及貝葉斯公式 三、事件的相互獨(dú)立性三、事件的相互獨(dú)立性一、條件概率及乘法公式一、條件概率及乘法公式一、條件概率和乘法公式一、條件概率和乘法公式1、條件概率例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球， 2個(gè)紅球， 現(xiàn)從袋中任意抽取兩次， 每次取一個(gè)，取后不放回.（1）已知第一次取到紅球， 求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率;（3）求兩次均取到紅球的概率.解:設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球1(1) (|)4P B A 252 13 22(2) ( )5P BP 252 11(3) ()10P ABP(|

2、)ABAnP B An()( )ABAnnnnP ABP A顯然，事件，若事件是古典概型的樣本空間中的兩個(gè),A B其中A含有An個(gè)樣本點(diǎn),AB含有ABn個(gè)樣本點(diǎn)，則一般地， 設(shè),A B是S中的兩個(gè)事件，則()()( )P ABP A BP B稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率.例2 一盒中混有100只新 、舊乒乓球， 各有紅、白兩色，分類如下表。 從盒中隨機(jī)取出一球， 若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.解：設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球.60An 40ABn2(|)3ABAnP B An2、乘法公式設(shè), ( )0,A

3、BP A 則()( ) ()P ABP A P B A就稱為事件,A B的概率乘法公式乘法公式.以上公式還可推廣到三個(gè)事件的情形：()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB一般地，有下列公式：1212111()() ()().nnnP A AAP A P A AP A AA例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球， 若從盒中連續(xù)取球4次, 試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率.解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則34343121211212()() (|) (|) (|)P A A A AP A

4、 P AA P AA A P AA A A12()5P A213(|)6P AA3123(|)7P AA A43124(|)8P AA A A其中34123()70P A A A A故定義定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：1( );( ), (), ,1,2,., .niiijiAii A Aiji jn A1A2AnB二、全概率公式和貝葉斯公式二、全概率公式和貝葉斯公式1( )() ( |)niiiP BP A P B A定理1、 設(shè)12,nA AA是的一個(gè)劃分， 且()0iP A1,2,i 則對(duì)任何事件B，有稱為全概率公式.例4 市場(chǎng)上有甲、乙、丙三

5、家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率.解：設(shè):B買到一件次品；1,2,3iA i 分別表示買到甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品.112233(|) ()(|) ()(|) ()P B A P AP B A P AP B A P A1110.020.010.030.0225442123( )()()()P BP BAP BAP BA例51個(gè)紅球，有甲乙兩個(gè)袋子， 甲袋中有兩個(gè)白球，乙袋中有兩個(gè)紅球， 一個(gè)白球 這六個(gè)球手感上不可區(qū)別 今從甲袋中任取一球放入乙袋， 攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍?問此球是

6、紅球的概率？設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球；解：A2從甲袋放入乙袋的是紅球；B從乙袋中任取一球是紅球；112212317( )(|) ()(|) ()234312P BP B A P AP B A P A定理2、且()0iP A1,2,i 則對(duì)任何事件B，12,nA AA是的一個(gè)劃分，設(shè)1() (|)(|),(1,., )() (|)jjjniiiP A P B AP ABjnP A P B A有稱為貝葉斯公式.已知:0(|)1P A B41914204(|)5CP A BC418242012(|)19CP A BC由Bayes公式:11120()(|)(|)()(|)iiiP BP A BP

7、BAP B P A B0.0848例6 商店論箱出售玻璃杯， 每箱20只， 其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1， 某顧客選中一箱， 從中任選4只檢查， 結(jié)果都是好的， 便買下了這一箱. 問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解: 設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.分別表示事件每箱含0，1，2只次品012,B B B0()0.8,P B1()0.1,P B2()0.1,P B三、事件的相互獨(dú)立性三、事件的相互獨(dú)立性1、兩事件獨(dú)立、兩事件獨(dú)立定義1設(shè),A B是兩事件，( )0,P A 若()( ) ( )P ABP A P B則稱事件A與B相互獨(dú)立。上式也等價(jià)于：

8、( )().P BP B A思考： 從一付52張的撲克牌中任意抽取一張， 以A表示抽出一張A， 以B表示抽出一張黑桃， 問A與B是否獨(dú)立？結(jié)論：結(jié)論：以下四件事等價(jià)：(1) 事件,A B相互獨(dú)立(2) 事件,A B相互獨(dú)立(3) 事件,A B相互獨(dú)立(4) 事件,A B相互獨(dú)立2、多個(gè)事件的獨(dú)立、多個(gè)事件的獨(dú)立定義2 若三個(gè)事件, ,A B C滿足：()( ) ( )P ABP A P B()( ) ( )P ACP A P C()( ) ( )P BCP B P C則稱事件兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立., ,A B C若在此基礎(chǔ)上還滿足：()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C

9、則稱事件, ,A B C相互獨(dú)立相互獨(dú)立.一般地， 設(shè)12,nA AA是n個(gè)事件， 如果對(duì)任意(11),kn 任意的121,kiiin具有等式1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP A P AP A則稱n個(gè)事件相互獨(dú)立.12,nA AA思考：思考：1、設(shè)事件, , ,A B C D相互獨(dú)立，則AB與CD獨(dú)立嗎？至少得一個(gè)雙六，這兩件事，哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇到？2、一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次答:0.518, 0.4963、事件獨(dú)立性的應(yīng)用、事件獨(dú)立性的應(yīng)用1)、加法公式的簡(jiǎn)化若事件12,nA AA相互獨(dú)立,則112.)1(). ()nnP AAAP AP A

10、 2)、在可靠性理論上的應(yīng)用在可靠性理論上的應(yīng)用例7: 如圖，1、2、3、4、5表示繼電器假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率.觸點(diǎn),且各LR14235設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5解:LR142531425(|)()P A AP A AA A242ppR4L12531245(|)()()P A APAAAA31245(|)() ()P A AP AA P AA22(2)pp由全概率公式3333( )(|) ()(|) ()P AP A A P AP A A P A23452252pppp內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)樣本空間、獨(dú)立性）樣本空間、獨(dú)立性）;