廣東省佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考 數(shù)學試卷含答案

2024-2025學年上學期佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟高二年級期中聯(lián)考試卷數(shù)學學科本試卷共4頁，22小題．滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目后面的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經(jīng)過，兩點的直線的方向向量可以為（）A． B． C． D．2．某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至多一次中靶”互為對立的是（）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶 C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶3．若點關于平面和軸對稱的點分別為，，則（）A．-9 B．-1 C．1 D．94．如圖，四面體中，點為中點，為中點，為中點，設，，，若可用，，表示為（）A． B． C． D．5．已知直線與垂直，則實數(shù)的值是（）A．0或3 B．3 C．0或-3 D．-36．已知二面角的棱上兩點，，線段與分別在這個二面角內(nèi)的兩個半平面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若，，，．則這兩個平面的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．7．由甲、乙、丙組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由其中一人猜一個成語，已知甲猜對乙未猜對的概率為，乙猜對丙未猜對的概率為，丙猜對甲也猜對的概率為，在每輪活動中，三人猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則乙、丙都猜對的概率是（）A． B． C． D．8．在空間直角坐標系中，定義：經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l方程為，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標系中，經(jīng)過點的直線l方程為，經(jīng)過點的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9．則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，，則事件，相互獨立與，互斥不能同時成立C．為坐標原點，向量，，其中線段的中點的坐標為D．已知為任意實數(shù)，當變化時，方程表示過點的所有直線方程10．伯努利試驗是在同樣的條件下重復地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是每次試驗只有兩種可能結果．若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記錄這次實驗的結果，設事件“次實驗結果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件“次實驗結果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結論正確的是（）．A．若，則與不互斥 B．若，則與不相互獨立C．若，則與互斥 D．若，則與相互獨立11．數(shù)學探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》．已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標準的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應鐘上數(shù)字3，對應鐘上數(shù)字9）．設的中點為，，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12．現(xiàn)在小王準備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細），則下列說法正確的是（）圖1圖2圖3A．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．從編號為1，2，3，4的四張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為__________．13．已知平面內(nèi)一點，點在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為__________．14．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值__________．四．解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本小題滿分13分）柜子里有3雙不同的鞋，分別用，，，，，表示6只鞋．如果從中隨機地取出2只，那么（1）寫出試驗的樣本空間；（2）設事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，求出與．16．（本小題滿分15分）已知向量，，．（1）當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；（2）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值．17．（本小題滿分15分）如圖所示，面積為8的平行四邊形，為坐標原點，坐標為，、均在第一象限．（1）求直線的方程；（2）若，求點的坐標．18．（本小題滿分17分）新高考數(shù)學試卷出現(xiàn)多項選擇題，即每小題的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．若正確答案為兩項，每對一項得3分；若正確答案為三項，每對一項得2分；（1）學生甲在作答某題時，對四個選項作出正確判斷、判斷不了（不選）和錯誤判斷的概率如下表：選項作出正確判斷判斷不了（不選）作出錯誤判斷A0.80.10.1B0.70.10.2C0.60.30.1D0.50.30.2若此題的正確選項為AC．求學生甲答此題得6分的概率；（2）某數(shù)學小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學生乙完全不會，此時他有兩種答題方案：Ⅰ．隨機選一個選項；Ⅱ．隨機選兩個選項．①若，且學生乙選擇方案Ⅰ，求學生乙本題得0分的概率．②若，且學生乙選擇方案Ⅱ，求學生乙本題得4分的概率．19．（本小題滿分17分）如圖1，已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，且二面角的大小為60°，點在線段上（包含端點）運動，連接．圖1圖2（1）若為的中點，直線與平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求此時平面與平面所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．2024-2025學年上學期佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟高二年級期中聯(lián)考試卷數(shù)學學科參考答案1．【解析】經(jīng)過，兩點的直線的方向向量為，，．故選C．2．【解析】“至多一次中靶”表示兩次射擊中一次中靶，另一次沒中靶或兩次都沒中靶，其對立事件為兩次都中靶．故選B．3．【解析】點關于平面對稱的點為，關于軸對稱的點為，所以，，故．故選A．4．【解析】由題意可得，而．故選B．5．【解析】因為直線：與直線：互相垂直，所以，即，解得或（不滿足直線，令去）．故選：D．6．【解析】由題可知，、在直線l上，，，且，，如下圖，故，，，，，．因為，故，故，解得．所以平面和平面的夾角的余弦值是．故選A．7．【解析】設事件“甲猜對”，事件“乙猜對”，事件“丙猜對”，則由題意得解得故乙、丙都猜對的概率為．故選B．8．【解析】經(jīng)過點的直線l方程為，即，故直線l的一個方向向量為，又經(jīng)過點的平面的方程為，即，故的一個法向量為．設直線l與平面所成角為，則．故選A．9．【解析】對于A選項，當時，，成立，但是與不一定共線，即不一定成立，故A選項錯誤．對于B選項，因為，，所以若事件，相互獨立，則，即事件與事件能同時發(fā)生，故此時事件與事件不互斥；同理，當事件，互斥時，，即此時事件，不相互獨立．故B選項正確．對于C選項，因為為線段的中點，所以，又是坐標原點，故點的坐標為．故C選項正確．對于D選項，聯(lián)立解得所以當變化時，直線恒經(jīng)過點．但是當時，必有，因此方程表示過點，除了直線的所有直線．故D選項錯誤．故選BC．10．【解析】當時，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種，其中（正，反）和（反，正）這兩種實驗結果，事件和事件同時發(fā)生，故與不互斥，A正確；，，，，則與不相互獨立，B正確；當時，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8種，其中（正，正，反）、（正，反，正）和（反，正，正）這三種實驗結果，事件和事件同時發(fā)生，故與不互斥，C選項錯誤；，，，，則與相互獨立，D選項正確．故選ABD．11．【解析】如圖，以為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，，，，則，，所以，A正確．，故是平面的一個法向量．因為，所以，所以與不垂直，從而與平面不平行，B錯誤．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，，C正確．由，得．因為，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故外接球的表面積為，D正確．故選ACD．12．【解析】該試驗的樣本空間為，所以．記事件“第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除”，則，所以，所以．故答案為：．13．【解析】因為，點，所以，又的一個法向量為，所以到平面的距離為．故答案為：1．14．【解析】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為，所以，因為，所以，當且僅當時取等號．故答案為：9．15．【解析】解：（1）從6只鞋中任取2只，共有15種等可能的結果，樣本空間為．（2）因為，所以．因為，所以．16．【解析】解：（1）因為，所以．．因為向量與垂直，所以，當時，有不成立舍去，當時，有解得．所以實數(shù)和的值分別為-1和．（2）因為向量與向量，共面，所以設．因為，即所以所以實數(shù)的值為．17．【解析】解：（1）因為是平行四邊形，所以，所以．設直線的方程為，即．因為四邊形的面積為8，，所以與的距離為，于是，所以．由圖可知，，所以，直線的方程為．（2）設坐標為，因為，所以．所以解得，或，．所以點的坐標為或．18．【解析】解：（1）設事件表示“學生答此題得6分”，即對于選項A、C作出正確的判斷，且對于選項B、D作出正確的判斷或判斷不了，所以；（2）①記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，對于方案Ⅰ：若正確答案是兩個選項，選錯的概率為，若正確答案是三個選項，選錯的概率為，則．②記事件為“學生乙本題得4分”．對于方案Ⅱ：應該正確答案是三個選項里面選對2題，假設ABC為正確項．故而所有可能為AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，滿足條件的AB，AC，BC有3種．則．19．【詳解】解：（1）因為直線平面，故點在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，所以點在平面與平面的交線（即直線）上．如圖，延長，交于點，連接，因為，為的中點，所以，所以，，故點在的延長線上且與點間的距離為2．連接交于點，因為四邊形為矩形，所以是的中點．連接，則為的中位線，所以，又平面，平面，所以直線平面．（2）如圖，