三角恒等式的證明

1、 第七章 三角恒等式的證明要證明三角恒等式就必須了解證明三角恒等式的方法，為此我們將在下面一一介紹。 第一節(jié) 一般恒等式 （一）基本思想、方法和技巧三角恒等變形的基本思想是：首先考察函數(shù)式能不能直接應(yīng)用三角公式（或者三角公式的變形）進(jìn)行變形；若不能則用代數(shù)法對(duì)三角函數(shù)中的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之變形為可以應(yīng)用三角公式的形式。 1、熟悉公式的變形，做到“三會(huì)”（會(huì)正用，會(huì)逆用，會(huì)變形用）例題1：在非直角三角形中，求證：.證明：由題有A+B+C=則 左= =-=右例題2：求證：.分析： 在正切恒等式中常常出現(xiàn)，應(yīng)于相聯(lián)系，這樣問(wèn)題就好解決了。證明： 仿例題1即可。例題3：求證：。分析：角度成倍數(shù)增長(zhǎng)

2、，就應(yīng)該和二倍角聯(lián)系在一起，構(gòu)造適合條件形式，從而解決問(wèn)題。證明：左=右。例題4：求證：.分析：弦化切（先降次）或者切化弦。證明：左=右。 2、注意角間的關(guān)系，正確應(yīng)用三角公式進(jìn)行變換必須領(lǐng)會(huì)和掌握公式的實(shí)質(zhì)，決不能停留在表面上。若：，也可以改寫為，因此，對(duì)三角公式要善于變換其中角的表現(xiàn)形式以及發(fā)現(xiàn)恒等式變形問(wèn)題中角之間的相互關(guān)系： 改變角的表現(xiàn)形式； 如。 角可以表示為。 利用角間的數(shù)值關(guān)系，整合時(shí)應(yīng)從產(chǎn)生特殊角或整合后再變形能夠抵消或相約為 前提。 利用題設(shè)中的角間的關(guān)系，對(duì)于特殊條件下的恒等變形，應(yīng)注意掌握條件本身所 具有的規(guī)律。例題1：求證：.分析與證明：將變形為或者變形為 =就能夠簡(jiǎn)

3、單的證明了。例題2：已知；求證：。分析與證明：變形， 展開(kāi)合并得， 即有。 3、采用“一致代換”的方法所謂“一致代換”即在恒等變形中變異名、異角、異次為同一個(gè)三角式中的同名、同角、同次的方法，它主要有： 在三角函數(shù)式中，如果只含有同角的三角函數(shù)，則一般是從變化函 數(shù)入手，盡量化為同名函數(shù)，其常用“化弦”“化切”的方法。 在三角函數(shù)式中，如果只含有異角的三角函數(shù)，則一般是從變化角 入手，盡量化為不同角為同角，變復(fù)角為單角，減少不同角，便于 使用公式 。 在三角函數(shù)式中，如果只含有三角函數(shù)的異次冪，則一般利用升冪 或者降冪公式，化異次為同次，使運(yùn)算簡(jiǎn)潔。例題1：化簡(jiǎn)：分析與解： = =1+ =1+

4、-=1.例題2：求證：。分析與證明：左=- =（1-）-（1-） =-=右。例題3：求證：=分析與證明：=。 或者=。 4、將原三角函數(shù)式同加減或者同乘除一個(gè)函數(shù)式，再進(jìn)行變換例題1：求證：.分析與證明：左= =右。例題2：求證：。分析與證明：切化弦為順其自然，而弦化切則涉及到分子、分母同乘以一個(gè)式子。所以一般 采用切化弦。 左=右。 5、重視等量代換、特別是數(shù)值“1”的代換例題1：求證：分析與證明：左=右 （二）基本方法 1、綜合法 即從左右，右左或者從已知。例題：求證。分析與證明：左=2+2=2（+）=2=右。 2、分析法 即執(zhí)果索因，指出在三角證明中極少使用。例題：若，求證。分析與證明：

5、假設(shè)求證式子成立則： ， 即，故； 恰為已知，且以上過(guò)程可逆，所以命題成立。 3、轉(zhuǎn)化命題法 俗稱變更證明，即轉(zhuǎn)化為其等價(jià)命題來(lái)證明。例題1：求證：。分析與證明：即證明成立，顯然上式成立，所以命題成立。例題2：求證：.分析與證明：即證明=2， 而=2； 故命題成立。 4、左右歸一 即兩邊等于同一個(gè)式子。例題：求證：=。分析與證明：= =； =； 知左=右，所以命題成立。 第二節(jié) 條件三角恒等式 證明條件三角恒等式的基本方法1、 從已知條件出發(fā)進(jìn)行變換，逐步推出求證的等式。2、 從要證明的等式的一邊出發(fā)進(jìn)行變換，在變換過(guò)程中利用已知條件逐步推出另一邊；或 者把條件作為參數(shù)帶入所證的式子的一邊或兩邊，再加以推證。注意帶入前應(yīng)先化簡(jiǎn)。3、 對(duì)三角形中邊角等式的證明，一般用正、余弦定理或者射影定理, 化邊為角可用三角公式證明；化角為邊可用代數(shù)方法證明；邊角統(tǒng)一可用射影定理證明。例題1：若+=m,-=n;求證：.分析與證明：左= （在此可以用左右歸一證明16mn=） = =16（+）（-）=16mn=右。例題2：已知；求證：。分析與證明：由已知， 則。例題3：在三角形ABC中