廣義帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程的精確解

1、上海大學(xué)碩士學(xué)位論文廣義帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程的精確解姓名：翟雯申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：陳登遠(yuǎn)20080501摘要本論文主要內(nèi)容包括：通過(guò)方法得到廣義帶導(dǎo)數(shù)的非線性方程（）的孤子解；利用技巧得到的雙解及廣義雙解；首次得到廣義帶導(dǎo)數(shù)的非線性方程族（）的兩族對(duì)稱、相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及可積性第二章，敘述雙線性導(dǎo)數(shù)、行列式、對(duì)稱及結(jié)構(gòu)的一些基本知識(shí)及相關(guān)概念第三章，利用方法得到的孤子解；通過(guò)約化給出帶導(dǎo)數(shù)的非線性方程（）形式的孤子解第四章，導(dǎo)出的雙解，進(jìn)而討論形式的解與形式的解的一致性；通過(guò)約化得到的雙解；將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，得到的廣義雙解，其中包括

2、孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，從對(duì)導(dǎo)出的無(wú)窮守恒律；證明遞推算子是強(qiáng)遺傳對(duì)稱算子，進(jìn)而給出的兩族對(duì)稱及相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)；研究的性質(zhì)及可積性關(guān)鍵詞：；方法；技巧；孤子解；有理解；解；解；混合解；無(wú)窮守恒律；強(qiáng)遺傳對(duì)稱算子；代數(shù)；結(jié)構(gòu)；可積，咖，：；原創(chuàng)性聲明本人聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果參與同一工作的其他同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意貅狂更咻如叩本論文使用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解上海大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留論文及送交論文復(fù)印件，允許

3、論文被查閱和借閱，學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容（保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定）簽名：器曼導(dǎo)師簽名：酞擎這日期；為妒¨上海大學(xué)碩士學(xué)位論文第一章§引言孤立子的產(chǎn)生與發(fā)展隨著自然科學(xué)發(fā)生的深刻變化，非線性科學(xué)貫穿著數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)、空間科學(xué)和地球科學(xué)，成為當(dāng)代科學(xué)研究重要的前沿領(lǐng)域孤立子作為非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支，已廣泛應(yīng)用于非線性光學(xué)、磁通量子器件、生物學(xué)、等離子體及光纖孤立子通訊等孤子的發(fā)現(xiàn)應(yīng)追溯到年，英國(guó)科學(xué)家【】騎馬追蹤觀察運(yùn)河中船只突然停止時(shí)激起的水波，發(fā)現(xiàn)了他稱之為“孤立波”的現(xiàn)象將這種水波形容為。一個(gè)滾圓而平滑，輪廓分明的巨大孤子波峰，以很快的速度離開(kāi)船

4、頭向前運(yùn)動(dòng)著，在行進(jìn)中它的形狀和速度并沒(méi)有明顯改變”，但是由于當(dāng)時(shí)條件的限制，未能從理論上證實(shí)孤波的存在直到年，荷蘭數(shù)學(xué)家和他的學(xué)生在對(duì)孤波進(jìn)行全面分析后指出這種波可近似為小振幅的長(zhǎng)波，并以此建立了淺水波運(yùn)動(dòng)方程魯候委莖詈盯面一致的孤立波解如果作變換（¨）其中叩為波面高度，為水深，為重力加速度，是水的密度，是與水的勻速流動(dòng)有關(guān)的常數(shù)，是水的表面張力此后他們利用行波法求出與描述三屈，一嘉，扣則方程（）可寫(xiě)成，（地）（）后人為紀(jì)念這兩位偉大的學(xué)者對(duì)孤波作出的貢獻(xiàn)，將（）或（）稱為方程】，簡(jiǎn)稱方程時(shí)間跨越了六十年，直到年，著名的物理學(xué)家，和三人在研究非線性彈簧聯(lián)結(jié)下的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)，再次發(fā)現(xiàn)了

5、類似孤立波的性質(zhì)，之后繼續(xù)研究該問(wèn)題提出鏈方程，并由此得到孤立波解【】，從而激起人們對(duì)孤立波研究的興趣方程的孤立波解具有波形在傳播過(guò)程中不隨時(shí)問(wèn)而改變且傳播速度與振幅成正比的特性，因此較高的波比較低的波運(yùn)動(dòng)的快一個(gè)自然的問(wèn)題是兩個(gè)不同的孤立波經(jīng)疊加后還是原方程的解嗎？由于方程的非線性，人們普遍猜測(cè)上海大學(xué)碩士學(xué)位論文答案是否定的但年，美國(guó)著名物理學(xué)家和將描述孤立波的函數(shù)表示為（，）￥（），療彳并在計(jì)算機(jī)上用數(shù)值模擬的方法詳細(xì)考察了等離子體中孤立子碰撞的非線性作用過(guò)程，卻得出了相反的結(jié)果：兩個(gè)孤立波碰撞后仍表現(xiàn)為兩個(gè)形狀不變的孤立波于是他們就稱其為。孤立子”，意思是具有某種粒子的行為和特性后來(lái)人

6、們發(fā)現(xiàn)光纖通信，神經(jīng)細(xì)胞脈沖傳導(dǎo)、木星紅斑活動(dòng)等都存在孤立子特征孤立子作為一種普遍存在的非線性現(xiàn)象進(jìn)一步激發(fā)了科學(xué)家們更大的研究熱情§孤子方程的求解在孤子理論中，尋找孤子方程的解是非線性發(fā)展方程的一個(gè)重要的研究課題隨著孤子理論的蓬勃發(fā)展，一些行之有效的求解方法應(yīng)運(yùn)而生，如反散射方法【一、變換【、方法【、技巧、變換【刪，分析法【】、變量分離法【】等等方法提供了一種獲得孤子解的簡(jiǎn)單直接的方法，其一般步驟為；首先通過(guò)引入位勢(shì)的變換，將孤子方程化為雙線性導(dǎo)數(shù)方程，然后將擾動(dòng)展開(kāi)式代入到雙線性導(dǎo)數(shù)方程中，在一定條件下該展開(kāi)式可以截?cái)嘀劣邢揄?xiàng)，并可得到線性指數(shù)函數(shù)形式的單孤子解、兩孤子解和三孤子

7、解等具體表達(dá)式，并由此猜測(cè)出孤子解的一般表達(dá)式對(duì)于一般表達(dá)式可利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證其成立，但過(guò)程比較復(fù)雜由于雙線性方法以雙線性導(dǎo)數(shù)為工具，且僅與求解方程有關(guān)，而不依賴于方程的對(duì)，具有簡(jiǎn)捷、直觀的鮮明特點(diǎn)，其使用范圍幾乎涵蓋了所有反散射變換可解的方程近年來(lái)陳登遠(yuǎn)、張大軍、鄧淑芳等還利用這種方法發(fā)現(xiàn)某些經(jīng)典的等譜方程也存在非指數(shù)函數(shù)形式的多孤子解，另一種有效而直接的方法是技巧該方法以方法為基礎(chǔ)，即首先得到孤子方程的雙線性導(dǎo)數(shù)形式或雙線性變換，然后選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)構(gòu)成行列式（，妒，妒），再代入到雙線性導(dǎo)數(shù)方程或雙線性變換進(jìn)行驗(yàn)證在解的驗(yàn)證過(guò)程中須利用行列式的性質(zhì)與行列式的恒等式，運(yùn)算非常簡(jiǎn)潔、等人應(yīng)用該

8、方法獲得了一系列方程的形式的解，如方程，、方程，、方程【，非線性方程【一，方程【、方程【】，方程等等能夠進(jìn)行解的直接驗(yàn)證，這恰是技巧上海大學(xué)碩士學(xué)位論文的優(yōu)勢(shì)所在除了孤子解可以表示為形式之外，其他形式的解，例如有理解一冽、解、解、解以及混合解也可用行列式表示有理解的形式是由和【】根據(jù)和提出的長(zhǎng)波求極限的觀點(diǎn)給出的年，、以及【將元素滿足的方程推廣到一個(gè)下三角形式的偏微分方程，由標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程得到方程的解、解和混合解等許多解解是由隨年引入的，這種解是由穩(wěn)態(tài)方程的特征值取正值時(shí)得到的解類似的，穩(wěn)態(tài)方程的特征值取負(fù)值時(shí)得到的解稱為解年馬文秀提出了方程的解，它是穩(wěn)態(tài)方程的特征值為復(fù)數(shù)時(shí)得到的解，這種解本質(zhì)上

9、是呼吸子【或高階呼吸子他還考慮了條件中系數(shù)矩陣的規(guī)范形式，利用常數(shù)變易法給出所有元素的遞推公式最近，陳登遠(yuǎn)等將行列式元素滿足的下三角方程推廣到任意的矩陣方程，得到方程的新解【】張大軍利用線性常微分方程組解的結(jié)構(gòu)理論及矩陣的性質(zhì)給出一種構(gòu)造解的方法【一年，、和等證明了當(dāng)方程的位勢(shì)系數(shù)按孤立子方程演化時(shí)，特征值保持不變，以此為突破點(diǎn)，他們利用特征值問(wèn)題的成果，發(fā)展出一套反散射方法該方法已被成功地應(yīng)用到其它的非線性發(fā)展方程中，如方程、非線性方程等等這一方法有其嚴(yán)格的物理背景和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，而且可以求出與譜問(wèn)題相聯(lián)系的整個(gè)等譜發(fā)展方程族的多孤子解一般說(shuō)來(lái)，如果給定譜問(wèn)題的位勢(shì)，求此譜問(wèn)題的本征函數(shù)及所對(duì)

10、應(yīng)的離散譜、連續(xù)譜等散射數(shù)據(jù)稱為正散射問(wèn)題，反之給定散射數(shù)據(jù)求譜問(wèn)題的位勢(shì)稱為反散射問(wèn)題它的主要步驟是先從與方程相聯(lián)系的線性問(wèn)題出發(fā)，將所求的位勢(shì)歸結(jié)為（）線性積分方程，并建立散射數(shù)據(jù)與時(shí)問(wèn)的關(guān)系，然后由積分方程的解獲得初值問(wèn)題的解在求孤子解的方法中，娩變換也是一種重要的求解方法變換是指給定方程的一組解到同一方程的另一組解或者另外方程解之間的一種關(guān)系式，它反映的是一個(gè)方程的兩組解之間或者兩個(gè)方程之間的聯(lián)系】年，利用雙線性導(dǎo)數(shù)的優(yōu)勢(shì)提出了一種從雙線性方程出發(fā)直接構(gòu)造變換的方法所得到的變換稱為雙線性形式的變換【柏】在變換中，形式的變換是一種非常重要的一類變換，如果非線性偏微分方程是一對(duì)線上海大學(xué)碩

11、士學(xué)位論文性問(wèn)題（譜問(wèn)題與時(shí)問(wèn)發(fā)展式）的相容性條件，這時(shí)借助將線性問(wèn)題化為自身的具有相同的譜參數(shù)但位勢(shì)不同的規(guī)范變換可得到位勢(shì)函數(shù)和特征函數(shù)之間的聯(lián)系。這就是型的變換同時(shí)也可直接從方程引出變換稱為形式的變換，一般個(gè)方程同時(shí)存在這三種形式的變換，他們往往是等價(jià)的當(dāng)然，精確求解孤子方程的方法遠(yuǎn)不止這些，并且不斷有新的方法出現(xiàn)比如曾云波等提出通過(guò)約束流來(lái)構(gòu)造孤子解的方法，王明亮、張衛(wèi)國(guó)、范恩貴、李志斌等提出非線性發(fā)展方程孤波解的構(gòu)造性方法【鋁一刪，代數(shù)幾何方法，齊次平衡法，雙曲正切函數(shù)法等都極大的豐富了求孤子解的方法§可積系統(tǒng)的守恒律無(wú)窮守恒律是孤子方程可積的一個(gè)重要特征設(shè)給定一般非線性偏

12、微分方程（，牡），（）其中（，）是與的函數(shù)，而（，）是，仳及的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若存在一對(duì)連續(xù)可微函數(shù)（，“）和（），使得當(dāng)按方程（）發(fā)展時(shí)滿足關(guān)系式（，）如（，亂），（）則稱此關(guān)系式為方程（）的守恒律，而（）和，（，）分別稱為守恒密度與連帶流如果當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，密度與流充分快地趨于零，則將守恒律在整個(gè)數(shù)軸上對(duì)積分得爰仁（，），（，）稱為守恒密度的由來(lái)（）可見(jiàn)積分熙“，（）與時(shí)間無(wú)關(guān)而為方程（）的守恒量這就是函數(shù)就（）維可積系統(tǒng)而言，自從、和發(fā)現(xiàn)方程的無(wú)窮守恒律之后，先后出現(xiàn)了一系列的構(gòu)造方法，其中等人作出相當(dāng)大的貢獻(xiàn)【一一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)的無(wú)窮守恒律或守恒量可通過(guò)以下幾個(gè)途徑來(lái)獲得：（）通過(guò)變換

13、【】一一般方程的五變換都包含部分和乞部分由部分可以構(gòu)造守恒律的一般表達(dá)式，而具體的守恒密度由部分導(dǎo)出的上海大學(xué)碩士學(xué)位論文方程來(lái)獲得，這一方法只與所討論的方程有關(guān)，不受對(duì)限制，但只能獲得單個(gè)方程的無(wú)窮守恒律（）直接通過(guò)對(duì)【】一從與方程聯(lián)系的譜問(wèn)題導(dǎo)出方程，由此按譜參數(shù)展開(kāi)得守恒密度再?gòu)膶?duì)的時(shí)間發(fā)展式出發(fā)，利用相容性構(gòu)造守恒律此方法可以獲得整個(gè)發(fā)展方程族的無(wú)窮守恒律（）通過(guò)特征函數(shù)的形式解【鎬】一根據(jù)特征函數(shù)所滿足的譜問(wèn)題給出用指數(shù)函數(shù)表示的特征函數(shù)的形式解，再利用分析技巧構(gòu)造守恒律該方法也是從對(duì)出發(fā)，可以獲得整個(gè)發(fā)展方程族的無(wú)窮守恒律，但是計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用起來(lái)不方便（）通過(guò)散射問(wèn)題及散射

14、量口（）的漸進(jìn)展開(kāi)式【】一散射量（）可以通過(guò)線性無(wú)關(guān)的特征函數(shù)構(gòu)成的行列式表示，利用特征函數(shù)的漸進(jìn)式可得（）的漸進(jìn)式，進(jìn)而利用口（）與無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，可以得到與譜問(wèn)題相聯(lián)系方程的無(wú)窮多個(gè)守恒量但該方法并不能構(gòu)造守恒律（）年，和礬【】給出一個(gè)漂亮的跡恒等式用以獲得該多元系統(tǒng)的守恒律盡管獲得無(wú)窮守恒律的途徑是多樣的，但得到的守恒律除去全微分后一般是相同的§可積系統(tǒng)對(duì)有限維系統(tǒng)，其優(yōu)美的幾何理論已被建立，其中經(jīng)典力學(xué)中著名的定理】給出了系統(tǒng)可積的一個(gè)充分條件對(duì)于無(wú)限維系統(tǒng)，無(wú)窮多個(gè)彼此對(duì)合的首次積分的存在并不足以引出顯式解因此，對(duì)無(wú)窮維可積系統(tǒng)至今還沒(méi)有一個(gè)確切的定義通常采用兩種可積性定義，即

15、意義下的可積性與意義下的可積性判斷一個(gè)方程是否可積是非常困難的，迄今比較成功的方法是延拓結(jié)構(gòu)法年，和以代數(shù)為工具系統(tǒng)地構(gòu)造了方年，谷超豪、胡和生基于曲面論中的基本方程提出一類方程程的表示的可積性判別準(zhǔn)則，是這一方向上的一項(xiàng)重要進(jìn)展年，曹策問(wèn)提出保譜發(fā)展方程換位表示的新框架，促進(jìn)換位表示的發(fā)展【年，屠規(guī)彰等提供了建立孤立子方程結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單途徑年，屠規(guī)彰又運(yùn)用約束形式變分技巧給出著名的跡恒等式【一，運(yùn)用這一跡恒等上海大學(xué)項(xiàng)士學(xué)位論文式，可以十分有效地建立相應(yīng)方程族的結(jié)構(gòu)馬文秀稱這一格式為屠格式胡星標(biāo)將屠格式由代數(shù)五推廣到上，給出跡恒等式的推廣形式，從而擴(kuò)大屠格式及其應(yīng)用范圍【研究結(jié)構(gòu)的另一系統(tǒng)的方法

16、是由，和等人提出的，在這一方法中，遞推算子發(fā)揮著關(guān)鍵作用確切的說(shuō)，這一算子具有由譜問(wèn)題導(dǎo)出的發(fā)展方程族的遺傳強(qiáng)對(duì)稱性質(zhì)，并且可以分解為兩個(gè)與算子有關(guān)的算子針對(duì)具有遺傳強(qiáng)對(duì)稱性質(zhì)的遞推算子的等譜發(fā)展方程族，陳登遠(yuǎn)例給出該方程族具有結(jié)構(gòu)的一個(gè)條件；工具有逆辛一辛分解張大軍對(duì)，和等人的結(jié)論推廣到離散系統(tǒng)【”隨著對(duì)可積系統(tǒng)研究的深入，人們逐漸發(fā)現(xiàn)很多可積系統(tǒng)之間有內(nèi)在的聯(lián)系年，曹策問(wèn)提出對(duì)非線性化方法】曾云波、李翊神將這種方法推廣到高階約束情形刪，這種方法實(shí)質(zhì)上是把原系統(tǒng)的位勢(shì)約束到其相空間的不變子流形上，后來(lái)稱用這種方法得到的約束為對(duì)稱約束，其后人們發(fā)現(xiàn)許多經(jīng)典的（）維可積系統(tǒng)也可通過(guò)高維可積系統(tǒng)的

17、對(duì)稱約束非線性對(duì)得到作為一個(gè)典型的例子，程藝等利用對(duì)稱約束非線性化系統(tǒng)的對(duì)與共軛對(duì)導(dǎo)出經(jīng)典的系統(tǒng)§本文的主要工作本文的主要工作包括：通過(guò)方法給出的孤子解；約化得到的多孤子解；利用技巧導(dǎo)出的雙解；形式的解與形式的解的一致性被討論；約化得到的雙解；將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，進(jìn)而求得的廣義雙解，其中包括孤子解，有理解，解、解以及混合解；首次構(gòu)造出的無(wú)窮守恒律，通過(guò)證明遞推算子是遺傳強(qiáng)對(duì)稱算子給出這族方程的一對(duì)稱、丁一對(duì)稱及對(duì)稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而研究這族方程的性質(zhì)及可積性論文組織如下：第二章簡(jiǎn)要地?cái)⑹稣撐乃婕暗降墓伦永碚撘恍┗靖拍詈投ɡ淼谌轮?，首先給出的形式的孤子解，然后通過(guò)約化

18、給出的形式的孤子解第四章中，首先給出的雙解，然后討論形式的解上海大學(xué)碩士學(xué)位論文與形式的解的一致性；第三節(jié)約化得到的雙解；在第四節(jié)中，將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，得到的廣義雙解，然后通過(guò)取矩陣為各種特殊的形式，得到孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，構(gòu)造的無(wú)窮守恒律，并證明遞推算子是遺傳強(qiáng)對(duì)稱算子；第三節(jié)給出這族方程的一對(duì)稱、一對(duì)稱及對(duì)稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)；第四節(jié)研究方程族的性質(zhì)及可積性上海大學(xué)碩士學(xué)位論文第二章預(yù)備知識(shí)§雙線性導(dǎo)數(shù)的概念及性質(zhì)雙線性導(dǎo)數(shù)法是由日本數(shù)學(xué)家提出【】并在近年發(fā)展起來(lái)的一種重要的直接方法，它已廣泛應(yīng)用于求各種孤子方程的多孤子解這里我們簡(jiǎn)要敘述雙線性導(dǎo)數(shù)的定

19、義與性質(zhì)設(shè)（，）與（，）是變量與的可微函數(shù)，引進(jìn)微分算子玩與玩，使對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)和成立硝，（僥一盈，）（如一吃，）虹，）（，），：。，：霉，種導(dǎo)數(shù)具有性質(zhì)：。函數(shù)（，）與自身的奇數(shù)次雙線性導(dǎo)數(shù)為零即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)（）式（）稱為函數(shù)，與對(duì)施行次仇，對(duì)施行次眈的雙線性導(dǎo)數(shù)這。交換函數(shù)（，）與（，）的雙線性導(dǎo)數(shù)的順序，當(dāng)導(dǎo)數(shù)是偶次時(shí)其值不變，而導(dǎo)數(shù)是奇次時(shí)要改變符號(hào)，（一）“，（）事實(shí)上，從定義可得磷，夕（一色，）（屯一吃，）（，），），：？，：。（一）”（印一僥）（吃，一以）“（一，），（，），。：，（）”，特別當(dāng)為奇數(shù)且（，）（，）時(shí)，公式（）化為（）。函數(shù)（，）與數(shù)的雙線性導(dǎo)數(shù)是通常的導(dǎo)數(shù)，即：

20、，；露，（）若指數(shù)函數(shù)的指數(shù)是與的線性函數(shù)，則稱它為線性指數(shù)函數(shù)于是有。兩個(gè)線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)相加的線性指數(shù)函數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)即設(shè)白如：，），（）上海大學(xué)碩士學(xué)位論文則有毋（）”（）“已，由此推得相同的線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導(dǎo)數(shù)為零；毒，（）（）。設(shè)，與為任意可微函數(shù)，則成立（瓏口）（理）（噬口）幻（：）一（）（），（諺）（：）（）（）】，（）（）（）（），（）（）（）（）眈柚（。）一（）§行列式及其性質(zhì)行列式設(shè)函數(shù)咖，），）對(duì)一切，具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則向量（西，咖，如）的階行列式定義為）（咖，咖，）毋，咖（¨，（）如姑其中？伊咖一行列式（）常縮寫(xiě)為緊湊格式，一

21、一拶。）（）更一般地。我們用，表示咖，（¨，（。¨，妒（。糾，（。，用爵，表示廬（¨，咖（），（，（），咖（，）由定義可以看出，行列式中從第二列開(kāi)始每一列都是前一列對(duì)的導(dǎo)數(shù)，所以這種類型的行列式的導(dǎo)數(shù)只是少數(shù)幾個(gè)同階行列式的和依照行列式按列求導(dǎo)法則以及行列式的基本性質(zhì)可知，一個(gè)行列式的導(dǎo)數(shù)所包含的項(xiàng)數(shù)與行列式的階數(shù)無(wú)關(guān)，而只依賴于導(dǎo)數(shù)的階數(shù)上海大學(xué)碩士學(xué)位論文設(shè)咖，），奶嗎（，），）對(duì)一切，具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則向量妒（咖，鋤，咖），（砂，仍，）的（）階雙行列式類似的定義為咖咖（一）；妒妒：）妒一（；妒）譬鎦；妒妒（）行列式（）可簡(jiǎn)記為，（；妒）咖，一妒；妒，妒

22、，妒；廬（）行列式的性質(zhì)行列式具有幾個(gè)重要性質(zhì)性質(zhì)【若記為×（一）矩陣，和都是維列向量，則成立，口，¨，事實(shí)上，構(gòu)造階行列式（）蘭¨川，口蘭，（）（）從后行的每一行減去前行的相應(yīng)行得：列，有卜，州，（）（）再將第一列，列，一列依次加至第一列，第二列，第一：¨州，（）（）可見(jiàn)行列式的值為零將（）按前行展開(kāi)，應(yīng)用著名的定理，即得所要的等式（）性質(zhì)【】設(shè)，）是具有個(gè)分量的個(gè)列向量，一（，）是個(gè)不為零的實(shí)常數(shù)，則成立斟口口硝口町口（）上海大學(xué)碩士學(xué)位論文式中為列向量（，一，）（）事實(shí)上。設(shè)元素的代數(shù)余子式為玎，于是（）的左端可展開(kāi)成仉嘰洶謝侃觸一：一博澍侃一一（

23、）此即為（）的右端性質(zhì)設(shè)（）×是一個(gè)階矩陣，它的列向量和行向量分別為和島，）（）×是一個(gè)階的算子矩陣，則有隗尻一筒毗叼“耐§（）其中喲（，），風(fēng)風(fēng)（，。）事實(shí)上，（）的左端為“口硝觸斟口神洶硝一曲恰是（）的右端此性質(zhì)說(shuō)明算子只分別作用于行列式各列向量相應(yīng)元素所得個(gè)行列式之和與分別作用于行列式各行向量相應(yīng)元素所得、個(gè)行列式之和相等§對(duì)稱及系統(tǒng)的基本概念定義設(shè)（，）是在整個(gè)數(shù)軸上定義的光滑函數(shù)，而（，）是，伊，一的連續(xù)函數(shù)且具有對(duì)各變數(shù)的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意的函數(shù)（，）和實(shí)參數(shù)，在方向上的導(dǎo)數(shù)定義為乏（缸，如），（）上海大學(xué)碩士學(xué)位論文鑫導(dǎo)數(shù)具有通常導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

24、算法則，例如乘積求導(dǎo)的法則設(shè)（，）與（，）的導(dǎo)數(shù)都存在，則其乘積的導(dǎo)數(shù)也存在，且成立（），【】，【】，【】（）定義設(shè)非線性發(fā)展方程（，），（）的線性化方程為礦，（）則稱方程（）的解仃為方程（）的對(duì)稱定義若存在不顯含時(shí)間的線性算子圣西（）滿足等式西【】垂一圣，（）則稱圣為方程（）的強(qiáng)對(duì)稱算子定義若對(duì)任意的函數(shù)，（，）與（，），線性算子圣圣（）滿足等式西一圣西】，圣（圣【門一圣【】，），（）則西稱為遺傳對(duì)稱算子與茂導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類導(dǎo)數(shù)是泛函導(dǎo)數(shù)定義設(shè)給定實(shí)值泛函（，），如果存在函數(shù)，（），使對(duì)任意函數(shù)（，）。均有沿方向的導(dǎo)數(shù)等于，與的內(nèi)積協(xié)】（，九），（）則，稱為的泛函導(dǎo)數(shù)或梯度，記為：，（）

25、定理刪設(shè)，（，）是實(shí)值泛函的泛函導(dǎo)數(shù)，嘗，則，的導(dǎo)數(shù)，為對(duì)稱算子，；反之，若，坪，則，是泛函，（肚），咖，（）的泛函導(dǎo)數(shù)上海大學(xué)碩士學(xué)位論文定義設(shè)給定反對(duì)稱線性算子，（），若對(duì)任意的函數(shù)（，），（，）與（，）均有（，【】）（，）（，），則稱為辛算子若反對(duì)稱線性算子（）滿足等式（，）（，口）（，），則稱為逆辛算子借助辛算子及泛函導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，就能定義無(wú)限維方程定義設(shè)非線性發(fā)展方程（）可表示成¨（，正）（）（，），（）（）（）其中（）是逆辛算子，而，（，）是泛函日的泛函導(dǎo)數(shù)，面，則方程（）稱為廣義的方程，而稱為方程的泛函定理設(shè)遺傳強(qiáng)對(duì)稱算子垂可分解為逆辛算子與辛算子，的積，且方程（）是廣義

26、的方程，則方程族，札）圣（，正）（，），的每一個(gè)方程均是廣義的方程，機(jī)（，）訾（幾，），其中泛函鞏表示為（）鞏（垂“，）（倒），“定理若廣義系（）的算子咖廬（）滿足條件西，（）（）且函數(shù)，不顯含時(shí)間，則族中方程均是可積的上海大學(xué)碩士學(xué)位論文第三章的形式的孤子解的導(dǎo)出§也妒，（妒丟。叼鉀），妒（芝）工，我們能從它導(dǎo)出廣義帶導(dǎo)數(shù)非線性方程族事實(shí)上，設(shè)本征函數(shù)（妒，仍）饑砂，），三（）屯，（），吼，町口（叩一），：一一（一）一吼，忍，其中矩陣元，與是，的多項(xiàng)式線性問(wèn)題（）與（）的相容性條件給出（）（）（）將（）與（）代入（）得叩一一，盯，（）（，）（）叼。一一口叩，仇，于是（）與（）可寫(xiě)為

27、叼（：）。（！：）叩（：）叩。（）一叩工（：）一叼仇（：），式中及是積分微分算子，分別為扣（二卜州，（），己一慨邶，是的逆算子表示為一礦吖（）上海大學(xué)碩士學(xué)位論文山是與無(wú)關(guān)的積分常數(shù)，是二階單位矩陣，設(shè)與是的奇次冪多項(xiàng)式（）壹一，（：）叩一，并取瓏，卜工，叩加，在（）中比較叩的同次冪系數(shù)得（），一），（）（）由此推得廣義帶導(dǎo)（）式中是遞推算子，其顯式為一一一一一一一。）。，、一（）是一族純微分方程，其右端向量場(chǎng)是等譜流，相鄰的等譜流存在遞推關(guān)系，當(dāng)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程為，（）（）一當(dāng)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程為缸。（），七一霉一（）（）（）若取仇（一）一，從（）類似地可得非等譜廣義帶導(dǎo)數(shù)非線性方程族為（）。

28、；），慨¨，上海大學(xué)碩士學(xué)位論文當(dāng)時(shí)（）是一組微分積分方程，方程右端的向量場(chǎng)是非等譜流，相鄰非等譜流存在遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的第一個(gè)非平凡方程為（啦。）互一，（一口）一一（）（）。產(chǎn)：三譬二纛擴(kuò)一抄群如（一）崢產(chǎn)）（）三互（一口）五一（），（）（）（）一口叩（缸）叼百口叼，一刪一（）叩一扣§的形式的孤子解為導(dǎo)出方程（），的雙線性導(dǎo)數(shù)方程，作分式變換，一（）則有，弘跆卜芻¨弘，凳等，凳學(xué)，（）（）令（一諺）夕，（瓏）九，等式（）化簡(jiǎn)為一。，（）（）（）（）。上海大學(xué)碩士學(xué)位論文以乘（）加減以，乘（），給出瓏，：一，（）：一一，（）利用公式（）得，瓏一（。）一，（）仉【（）】

29、一一，（）由此推得（），（巧）所以（，）與（）為方程（）的雙線性導(dǎo)數(shù)方程為解此雙線性方程，設(shè)，（，），（，），（，）與（，）可按參數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)，（），（），（）（），（）（）（）夕（）巧，（）：（）（）（）（），（）：（）（）（）（），（）將此展開(kāi)式代入（，）與（），并比較的同次冪系數(shù)給出¨一剃，（）；一拳一（現(xiàn)一瓏）（），（，（）一趔一（一諺）（），（）（），（），（）密，（），鯉一（：）（）（，（）嬰一（瓏）（）（）（），（）上海大學(xué)碩士學(xué)位論文刪嬰（），（¨，矗爹綹一瓏，（）（仇（）（）（），（）（）以籮曼一諺（，（）（，（）（）見(jiàn)（）（）（）（），（）一乎）（¨，）一）一仇，（）（夕（），（）（¨，）一乎）一仇（，（）（，（）（）夕（）（夕（）（夕（）（¨，（）（）（）從（）與（）知（¨，（）有線性指數(shù)函數(shù)形式的解（）：，九（）：，：七，七，（