廣義帶導數(shù)的非線性Schrodinger方程的精確解

1、上海大學碩士學位論文廣義帶導數(shù)的非線性Schrodinger方程的精確解姓名：翟雯申請學位級別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學指導教師：陳登遠20080501摘要本論文主要內(nèi)容包括：通過方法得到廣義帶導數(shù)的非線性方程（）的孤子解；利用技巧得到的雙解及廣義雙解；首次得到廣義帶導數(shù)的非線性方程族（）的兩族對稱、相應的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及可積性第二章，敘述雙線性導數(shù)、行列式、對稱及結(jié)構(gòu)的一些基本知識及相關(guān)概念第三章，利用方法得到的孤子解；通過約化給出帶導數(shù)的非線性方程（）形式的孤子解第四章，導出的雙解，進而討論形式的解與形式的解的一致性；通過約化得到的雙解；將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，得到的廣義雙解，其中包括

2、孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，從對導出的無窮守恒律；證明遞推算子是強遺傳對稱算子，進而給出的兩族對稱及相應的代數(shù)結(jié)構(gòu)；研究的性質(zhì)及可積性關(guān)鍵詞：；方法；技巧；孤子解；有理解；解；解；混合解；無窮守恒律；強遺傳對稱算子；代數(shù)；結(jié)構(gòu)；可積，咖，：；原創(chuàng)性聲明本人聲明：所呈交的論文是本人在導師指導下進行的研究工作除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表或撰寫過的研究成果參與同一工作的其他同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意貅狂更咻如叩本論文使用授權(quán)說明本人完全了解上海大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校有權(quán)保留論文及送交論文復印件，允許

3、論文被查閱和借閱，學?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容（保密的論文在解密后應遵守此規(guī)定）簽名：器曼導師簽名：酞擎這日期；為妒¨上海大學碩士學位論文第一章§引言孤立子的產(chǎn)生與發(fā)展隨著自然科學發(fā)生的深刻變化，非線性科學貫穿著數(shù)理科學、生命科學、空間科學和地球科學，成為當代科學研究重要的前沿領(lǐng)域孤立子作為非線性科學的一個重要分支，已廣泛應用于非線性光學、磁通量子器件、生物學、等離子體及光纖孤立子通訊等孤子的發(fā)現(xiàn)應追溯到年，英國科學家【】騎馬追蹤觀察運河中船只突然停止時激起的水波，發(fā)現(xiàn)了他稱之為“孤立波”的現(xiàn)象將這種水波形容為。一個滾圓而平滑，輪廓分明的巨大孤子波峰，以很快的速度離開船

4、頭向前運動著，在行進中它的形狀和速度并沒有明顯改變”，但是由于當時條件的限制，未能從理論上證實孤波的存在直到年，荷蘭數(shù)學家和他的學生在對孤波進行全面分析后指出這種波可近似為小振幅的長波，并以此建立了淺水波運動方程魯候委莖詈盯面一致的孤立波解如果作變換（¨）其中叩為波面高度，為水深，為重力加速度，是水的密度，是與水的勻速流動有關(guān)的常數(shù)，是水的表面張力此后他們利用行波法求出與描述三屈，一嘉，扣則方程（）可寫成，（地）（）后人為紀念這兩位偉大的學者對孤波作出的貢獻，將（）或（）稱為方程】，簡稱方程時間跨越了六十年，直到年，著名的物理學家，和三人在研究非線性彈簧聯(lián)結(jié)下的質(zhì)點系統(tǒng)時，再次發(fā)現(xiàn)了

5、類似孤立波的性質(zhì)，之后繼續(xù)研究該問題提出鏈方程，并由此得到孤立波解【】，從而激起人們對孤立波研究的興趣方程的孤立波解具有波形在傳播過程中不隨時問而改變且傳播速度與振幅成正比的特性，因此較高的波比較低的波運動的快一個自然的問題是兩個不同的孤立波經(jīng)疊加后還是原方程的解嗎？由于方程的非線性，人們普遍猜測上海大學碩士學位論文答案是否定的但年，美國著名物理學家和將描述孤立波的函數(shù)表示為（，）￥（），療彳并在計算機上用數(shù)值模擬的方法詳細考察了等離子體中孤立子碰撞的非線性作用過程，卻得出了相反的結(jié)果：兩個孤立波碰撞后仍表現(xiàn)為兩個形狀不變的孤立波于是他們就稱其為。孤立子”，意思是具有某種粒子的行為和特性后來人

6、們發(fā)現(xiàn)光纖通信，神經(jīng)細胞脈沖傳導、木星紅斑活動等都存在孤立子特征孤立子作為一種普遍存在的非線性現(xiàn)象進一步激發(fā)了科學家們更大的研究熱情§孤子方程的求解在孤子理論中，尋找孤子方程的解是非線性發(fā)展方程的一個重要的研究課題隨著孤子理論的蓬勃發(fā)展，一些行之有效的求解方法應運而生，如反散射方法【一、變換【、方法【、技巧、變換【刪，分析法【】、變量分離法【】等等方法提供了一種獲得孤子解的簡單直接的方法，其一般步驟為；首先通過引入位勢的變換，將孤子方程化為雙線性導數(shù)方程，然后將擾動展開式代入到雙線性導數(shù)方程中，在一定條件下該展開式可以截斷至有限項，并可得到線性指數(shù)函數(shù)形式的單孤子解、兩孤子解和三孤子

7、解等具體表達式，并由此猜測出孤子解的一般表達式對于一般表達式可利用數(shù)學歸納法驗證其成立，但過程比較復雜由于雙線性方法以雙線性導數(shù)為工具，且僅與求解方程有關(guān)，而不依賴于方程的對，具有簡捷、直觀的鮮明特點，其使用范圍幾乎涵蓋了所有反散射變換可解的方程近年來陳登遠、張大軍、鄧淑芳等還利用這種方法發(fā)現(xiàn)某些經(jīng)典的等譜方程也存在非指數(shù)函數(shù)形式的多孤子解，另一種有效而直接的方法是技巧該方法以方法為基礎(chǔ)，即首先得到孤子方程的雙線性導數(shù)形式或雙線性變換，然后選擇適當?shù)暮瘮?shù)構(gòu)成行列式（，妒，妒），再代入到雙線性導數(shù)方程或雙線性變換進行驗證在解的驗證過程中須利用行列式的性質(zhì)與行列式的恒等式，運算非常簡潔、等人應用該

8、方法獲得了一系列方程的形式的解，如方程，、方程，、方程【，非線性方程【一，方程【、方程【】，方程等等能夠進行解的直接驗證，這恰是技巧上海大學碩士學位論文的優(yōu)勢所在除了孤子解可以表示為形式之外，其他形式的解，例如有理解一冽、解、解、解以及混合解也可用行列式表示有理解的形式是由和【】根據(jù)和提出的長波求極限的觀點給出的年，、以及【將元素滿足的方程推廣到一個下三角形式的偏微分方程，由標準的過程得到方程的解、解和混合解等許多解解是由隨年引入的，這種解是由穩(wěn)態(tài)方程的特征值取正值時得到的解類似的，穩(wěn)態(tài)方程的特征值取負值時得到的解稱為解年馬文秀提出了方程的解，它是穩(wěn)態(tài)方程的特征值為復數(shù)時得到的解，這種解本質(zhì)上

9、是呼吸子【或高階呼吸子他還考慮了條件中系數(shù)矩陣的規(guī)范形式，利用常數(shù)變易法給出所有元素的遞推公式最近，陳登遠等將行列式元素滿足的下三角方程推廣到任意的矩陣方程，得到方程的新解【】張大軍利用線性常微分方程組解的結(jié)構(gòu)理論及矩陣的性質(zhì)給出一種構(gòu)造解的方法【一年，、和等證明了當方程的位勢系數(shù)按孤立子方程演化時，特征值保持不變，以此為突破點，他們利用特征值問題的成果，發(fā)展出一套反散射方法該方法已被成功地應用到其它的非線性發(fā)展方程中，如方程、非線性方程等等這一方法有其嚴格的物理背景和數(shù)學嚴謹性，而且可以求出與譜問題相聯(lián)系的整個等譜發(fā)展方程族的多孤子解一般說來，如果給定譜問題的位勢，求此譜問題的本征函數(shù)及所對

10、應的離散譜、連續(xù)譜等散射數(shù)據(jù)稱為正散射問題，反之給定散射數(shù)據(jù)求譜問題的位勢稱為反散射問題它的主要步驟是先從與方程相聯(lián)系的線性問題出發(fā)，將所求的位勢歸結(jié)為（）線性積分方程，并建立散射數(shù)據(jù)與時問的關(guān)系，然后由積分方程的解獲得初值問題的解在求孤子解的方法中，娩變換也是一種重要的求解方法變換是指給定方程的一組解到同一方程的另一組解或者另外方程解之間的一種關(guān)系式，它反映的是一個方程的兩組解之間或者兩個方程之間的聯(lián)系】年，利用雙線性導數(shù)的優(yōu)勢提出了一種從雙線性方程出發(fā)直接構(gòu)造變換的方法所得到的變換稱為雙線性形式的變換【柏】在變換中，形式的變換是一種非常重要的一類變換，如果非線性偏微分方程是一對線上海大學碩

11、士學位論文性問題（譜問題與時問發(fā)展式）的相容性條件，這時借助將線性問題化為自身的具有相同的譜參數(shù)但位勢不同的規(guī)范變換可得到位勢函數(shù)和特征函數(shù)之間的聯(lián)系。這就是型的變換同時也可直接從方程引出變換稱為形式的變換，一般個方程同時存在這三種形式的變換，他們往往是等價的當然，精確求解孤子方程的方法遠不止這些，并且不斷有新的方法出現(xiàn)比如曾云波等提出通過約束流來構(gòu)造孤子解的方法，王明亮、張衛(wèi)國、范恩貴、李志斌等提出非線性發(fā)展方程孤波解的構(gòu)造性方法【鋁一刪，代數(shù)幾何方法，齊次平衡法，雙曲正切函數(shù)法等都極大的豐富了求孤子解的方法§可積系統(tǒng)的守恒律無窮守恒律是孤子方程可積的一個重要特征設(shè)給定一般非線性偏

12、微分方程（，牡），（）其中（，）是與的函數(shù)，而（，）是，仳及的導數(shù)的函數(shù)，若存在一對連續(xù)可微函數(shù)（，“）和（），使得當按方程（）發(fā)展時滿足關(guān)系式（，）如（，亂），（）則稱此關(guān)系式為方程（）的守恒律，而（）和，（，）分別稱為守恒密度與連帶流如果當趨于無窮時，密度與流充分快地趨于零，則將守恒律在整個數(shù)軸上對積分得爰仁（，），（，）稱為守恒密度的由來（）可見積分熙“，（）與時間無關(guān)而為方程（）的守恒量這就是函數(shù)就（）維可積系統(tǒng)而言，自從、和發(fā)現(xiàn)方程的無窮守恒律之后，先后出現(xiàn)了一系列的構(gòu)造方法，其中等人作出相當大的貢獻【一一般說來，一個連續(xù)系統(tǒng)的無窮守恒律或守恒量可通過以下幾個途徑來獲得：（）通過變換

13、【】一一般方程的五變換都包含部分和乞部分由部分可以構(gòu)造守恒律的一般表達式，而具體的守恒密度由部分導出的上海大學碩士學位論文方程來獲得，這一方法只與所討論的方程有關(guān)，不受對限制，但只能獲得單個方程的無窮守恒律（）直接通過對【】一從與方程聯(lián)系的譜問題導出方程，由此按譜參數(shù)展開得守恒密度再從對的時間發(fā)展式出發(fā)，利用相容性構(gòu)造守恒律此方法可以獲得整個發(fā)展方程族的無窮守恒律（）通過特征函數(shù)的形式解【鎬】一根據(jù)特征函數(shù)所滿足的譜問題給出用指數(shù)函數(shù)表示的特征函數(shù)的形式解，再利用分析技巧構(gòu)造守恒律該方法也是從對出發(fā)，可以獲得整個發(fā)展方程族的無窮守恒律，但是計算過程復雜，實際應用起來不方便（）通過散射問題及散射

14、量口（）的漸進展開式【】一散射量（）可以通過線性無關(guān)的特征函數(shù)構(gòu)成的行列式表示，利用特征函數(shù)的漸進式可得（）的漸進式，進而利用口（）與無關(guān)的特點，可以得到與譜問題相聯(lián)系方程的無窮多個守恒量但該方法并不能構(gòu)造守恒律（）年，和礬【】給出一個漂亮的跡恒等式用以獲得該多元系統(tǒng)的守恒律盡管獲得無窮守恒律的途徑是多樣的，但得到的守恒律除去全微分后一般是相同的§可積系統(tǒng)對有限維系統(tǒng)，其優(yōu)美的幾何理論已被建立，其中經(jīng)典力學中著名的定理】給出了系統(tǒng)可積的一個充分條件對于無限維系統(tǒng)，無窮多個彼此對合的首次積分的存在并不足以引出顯式解因此，對無窮維可積系統(tǒng)至今還沒有一個確切的定義通常采用兩種可積性定義，即

15、意義下的可積性與意義下的可積性判斷一個方程是否可積是非常困難的，迄今比較成功的方法是延拓結(jié)構(gòu)法年，和以代數(shù)為工具系統(tǒng)地構(gòu)造了方年，谷超豪、胡和生基于曲面論中的基本方程提出一類方程程的表示的可積性判別準則，是這一方向上的一項重要進展年，曹策問提出保譜發(fā)展方程換位表示的新框架，促進換位表示的發(fā)展【年，屠規(guī)彰等提供了建立孤立子方程結(jié)構(gòu)的簡單途徑年，屠規(guī)彰又運用約束形式變分技巧給出著名的跡恒等式【一，運用這一跡恒等上海大學項士學位論文式，可以十分有效地建立相應方程族的結(jié)構(gòu)馬文秀稱這一格式為屠格式胡星標將屠格式由代數(shù)五推廣到上，給出跡恒等式的推廣形式，從而擴大屠格式及其應用范圍【研究結(jié)構(gòu)的另一系統(tǒng)的方法

16、是由，和等人提出的，在這一方法中，遞推算子發(fā)揮著關(guān)鍵作用確切的說，這一算子具有由譜問題導出的發(fā)展方程族的遺傳強對稱性質(zhì)，并且可以分解為兩個與算子有關(guān)的算子針對具有遺傳強對稱性質(zhì)的遞推算子的等譜發(fā)展方程族，陳登遠例給出該方程族具有結(jié)構(gòu)的一個條件；工具有逆辛一辛分解張大軍對，和等人的結(jié)論推廣到離散系統(tǒng)【”隨著對可積系統(tǒng)研究的深入，人們逐漸發(fā)現(xiàn)很多可積系統(tǒng)之間有內(nèi)在的聯(lián)系年，曹策問提出對非線性化方法】曾云波、李翊神將這種方法推廣到高階約束情形刪，這種方法實質(zhì)上是把原系統(tǒng)的位勢約束到其相空間的不變子流形上，后來稱用這種方法得到的約束為對稱約束，其后人們發(fā)現(xiàn)許多經(jīng)典的（）維可積系統(tǒng)也可通過高維可積系統(tǒng)的

17、對稱約束非線性對得到作為一個典型的例子，程藝等利用對稱約束非線性化系統(tǒng)的對與共軛對導出經(jīng)典的系統(tǒng)§本文的主要工作本文的主要工作包括：通過方法給出的孤子解；約化得到的多孤子解；利用技巧導出的雙解；形式的解與形式的解的一致性被討論；約化得到的雙解；將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，進而求得的廣義雙解，其中包括孤子解，有理解，解、解以及混合解；首次構(gòu)造出的無窮守恒律，通過證明遞推算子是遺傳強對稱算子給出這族方程的一對稱、丁一對稱及對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)，進而研究這族方程的性質(zhì)及可積性論文組織如下：第二章簡要地敘述論文所涉及到的孤子理論一些基本概念和定理第三章中，首先給出的形式的孤子解，然后通過約化

18、給出的形式的孤子解第四章中，首先給出的雙解，然后討論形式的解上海大學碩士學位論文與形式的解的一致性；第三節(jié)約化得到的雙解；在第四節(jié)中，將雙元素滿足的條件推廣到矩陣情形，得到的廣義雙解，然后通過取矩陣為各種特殊的形式，得到孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，構(gòu)造的無窮守恒律，并證明遞推算子是遺傳強對稱算子；第三節(jié)給出這族方程的一對稱、一對稱及對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)；第四節(jié)研究方程族的性質(zhì)及可積性上海大學碩士學位論文第二章預備知識§雙線性導數(shù)的概念及性質(zhì)雙線性導數(shù)法是由日本數(shù)學家提出【】并在近年發(fā)展起來的一種重要的直接方法，它已廣泛應用于求各種孤子方程的多孤子解這里我們簡要敘述雙線性導數(shù)的定

19、義與性質(zhì)設(shè)（，）與（，）是變量與的可微函數(shù)，引進微分算子玩與玩，使對任意的非負整數(shù)和成立硝，（僥一盈，）（如一吃，）虹，）（，），：。，：霉，種導數(shù)具有性質(zhì)：。函數(shù)（，）與自身的奇數(shù)次雙線性導數(shù)為零即當為奇數(shù)時（）式（）稱為函數(shù)，與對施行次仇，對施行次眈的雙線性導數(shù)這。交換函數(shù)（，）與（，）的雙線性導數(shù)的順序，當導數(shù)是偶次時其值不變，而導數(shù)是奇次時要改變符號，（一）“，（）事實上，從定義可得磷，夕（一色，）（屯一吃，）（，），），：？，：。（一）”（印一僥）（吃，一以）“（一，），（，），。：，（）”，特別當為奇數(shù)且（，）（，）時，公式（）化為（）。函數(shù)（，）與數(shù)的雙線性導數(shù)是通常的導數(shù)，即：

20、，；露，（）若指數(shù)函數(shù)的指數(shù)是與的線性函數(shù)，則稱它為線性指數(shù)函數(shù)于是有。兩個線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導數(shù)等于指數(shù)相加的線性指數(shù)函數(shù)的適當倍數(shù)即設(shè)白如：，），（）上海大學碩士學位論文則有毋（）”（）“已，由此推得相同的線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導數(shù)為零；毒，（）（）。設(shè)，與為任意可微函數(shù)，則成立（瓏口）（理）（噬口）幻（：）一（）（），（諺）（：）（）（）】，（）（）（）（），（）（）（）（）眈柚（。）一（）§行列式及其性質(zhì)行列式設(shè)函數(shù)咖，），）對一切，具有任意階的連續(xù)導數(shù)，則向量（西，咖，如）的階行列式定義為）（咖，咖，）毋，咖（¨，（）如姑其中？伊咖一行列式（）常縮寫為緊湊格式，一

21、一拶。）（）更一般地。我們用，表示咖，（¨，（。¨，妒（。糾，（。，用爵，表示廬（¨，咖（），（，（），咖（，）由定義可以看出，行列式中從第二列開始每一列都是前一列對的導數(shù)，所以這種類型的行列式的導數(shù)只是少數(shù)幾個同階行列式的和依照行列式按列求導法則以及行列式的基本性質(zhì)可知，一個行列式的導數(shù)所包含的項數(shù)與行列式的階數(shù)無關(guān)，而只依賴于導數(shù)的階數(shù)上海大學碩士學位論文設(shè)咖，），奶嗎（，），）對一切，具有任意階的連續(xù)導數(shù)，則向量妒（咖，鋤，咖），（砂，仍，）的（）階雙行列式類似的定義為咖咖（一）；妒妒：）妒一（；妒）譬鎦；妒妒（）行列式（）可簡記為，（；妒）咖，一妒；妒，妒

22、，妒；廬（）行列式的性質(zhì)行列式具有幾個重要性質(zhì)性質(zhì)【若記為×（一）矩陣，和都是維列向量，則成立，口，¨，事實上，構(gòu)造階行列式（）蘭¨川，口蘭，（）（）從后行的每一行減去前行的相應行得：列，有卜，州，（）（）再將第一列，列，一列依次加至第一列，第二列，第一：¨州，（）（）可見行列式的值為零將（）按前行展開，應用著名的定理，即得所要的等式（）性質(zhì)【】設(shè)，）是具有個分量的個列向量，一（，）是個不為零的實常數(shù)，則成立斟口口硝口町口（）上海大學碩士學位論文式中為列向量（，一，）（）事實上。設(shè)元素的代數(shù)余子式為玎，于是（）的左端可展開成仉嘰洶謝侃觸一：一博澍侃一一（

23、）此即為（）的右端性質(zhì)設(shè)（）×是一個階矩陣，它的列向量和行向量分別為和島，）（）×是一個階的算子矩陣，則有隗尻一筒毗叼“耐§（）其中喲（，），風風（，。）事實上，（）的左端為“口硝觸斟口神洶硝一曲恰是（）的右端此性質(zhì)說明算子只分別作用于行列式各列向量相應元素所得個行列式之和與分別作用于行列式各行向量相應元素所得、個行列式之和相等§對稱及系統(tǒng)的基本概念定義設(shè)（，）是在整個數(shù)軸上定義的光滑函數(shù)，而（，）是，伊，一的連續(xù)函數(shù)且具有對各變數(shù)的連續(xù)偏導數(shù)，則對任意的函數(shù)（，）和實參數(shù)，在方向上的導數(shù)定義為乏（缸，如），（）上海大學碩士學位論文鑫導數(shù)具有通常導數(shù)的運

24、算法則，例如乘積求導的法則設(shè)（，）與（，）的導數(shù)都存在，則其乘積的導數(shù)也存在，且成立（），【】，【】，【】（）定義設(shè)非線性發(fā)展方程（，），（）的線性化方程為礦，（）則稱方程（）的解仃為方程（）的對稱定義若存在不顯含時間的線性算子圣西（）滿足等式西【】垂一圣，（）則稱圣為方程（）的強對稱算子定義若對任意的函數(shù)，（，）與（，），線性算子圣圣（）滿足等式西一圣西】，圣（圣【門一圣【】，），（）則西稱為遺傳對稱算子與茂導數(shù)密切相關(guān)的另一類導數(shù)是泛函導數(shù)定義設(shè)給定實值泛函（，），如果存在函數(shù)，（），使對任意函數(shù)（，）。均有沿方向的導數(shù)等于，與的內(nèi)積協(xié)】（，九），（）則，稱為的泛函導數(shù)或梯度，記為：，（）

25、定理刪設(shè)，（，）是實值泛函的泛函導數(shù)，嘗，則，的導數(shù)，為對稱算子，；反之，若，坪，則，是泛函，（肚），咖，（）的泛函導數(shù)上海大學碩士學位論文定義設(shè)給定反對稱線性算子，（），若對任意的函數(shù)（，），（，）與（，）均有（，【】）（，）（，），則稱為辛算子若反對稱線性算子（）滿足等式（，）（，口）（，），則稱為逆辛算子借助辛算子及泛函導數(shù)的性質(zhì)，就能定義無限維方程定義設(shè)非線性發(fā)展方程（）可表示成¨（，正）（）（，），（）（）（）其中（）是逆辛算子，而，（，）是泛函日的泛函導數(shù)，面，則方程（）稱為廣義的方程，而稱為方程的泛函定理設(shè)遺傳強對稱算子垂可分解為逆辛算子與辛算子，的積，且方程（）是廣義

26、的方程，則方程族，札）圣（，正）（，），的每一個方程均是廣義的方程，機（，）訾（幾，），其中泛函鞏表示為（）鞏（垂“，）（倒），“定理若廣義系（）的算子咖廬（）滿足條件西，（）（）且函數(shù)，不顯含時間，則族中方程均是可積的上海大學碩士學位論文第三章的形式的孤子解的導出§也妒，（妒丟。叼鉀），妒（芝）工，我們能從它導出廣義帶導數(shù)非線性方程族事實上，設(shè)本征函數(shù)（妒，仍）饑砂，），三（）屯，（），吼，町口（叩一），：一一（一）一吼，忍，其中矩陣元，與是，的多項式線性問題（）與（）的相容性條件給出（）（）（）將（）與（）代入（）得叩一一，盯，（）（，）（）叼。一一口叩，仇，于是（）與（）可寫為

27、叼（：）。（?。海┻担ǎ海┻怠＃ǎ┮贿倒ぃǎ海┮坏鸪穑ǎ海?，式中及是積分微分算子，分別為扣（二卜州，（），己一慨邶，是的逆算子表示為一礦吖（）上海大學碩士學位論文山是與無關(guān)的積分常數(shù)，是二階單位矩陣，設(shè)與是的奇次冪多項式（）壹一，（：）叩一，并取瓏，卜工，叩加，在（）中比較叩的同次冪系數(shù)得（），一），（）（）由此推得廣義帶導（）式中是遞推算子，其顯式為一一一一一一一。）。，、一（）是一族純微分方程，其右端向量場是等譜流，相鄰的等譜流存在遞推關(guān)系，當，時，對應的方程為，（）（）一當，時，對應的方程為缸。（），七一霉一（）（）（）若取仇（一）一，從（）類似地可得非等譜廣義帶導數(shù)非線性方程族為（）。

28、；），慨¨，上海大學碩士學位論文當時（）是一組微分積分方程，方程右端的向量場是非等譜流，相鄰非等譜流存在遞推關(guān)系對應的第一個非平凡方程為（啦。）互一，（一口）一一（）（）。產(chǎn)：三譬二纛擴一抄群如（一）崢產(chǎn)）（）三互（一口）五一（），（）（）（）一口叩（缸）叼百口叼，一刪一（）叩一扣§的形式的孤子解為導出方程（），的雙線性導數(shù)方程，作分式變換，一（）則有，弘跆卜芻¨弘，凳等，凳學，（）（）令（一諺）夕，（瓏）九，等式（）化簡為一。，（）（）（）（）。上海大學碩士學位論文以乘（）加減以，乘（），給出瓏，：一，（）：一一，（）利用公式（）得，瓏一（。）一，（）仉【（）】

29、一一，（）由此推得（），（巧）所以（，）與（）為方程（）的雙線性導數(shù)方程為解此雙線性方程，設(shè)，（，），（，），（，）與（，）可按參數(shù)展開成級數(shù)，（），（），（）（），（）（）（）夕（）巧，（）：（）（）（）（），（）：（）（）（）（），（）將此展開式代入（，）與（），并比較的同次冪系數(shù)給出¨一剃，（）；一拳一（現(xiàn)一瓏）（），（，（）一趔一（一諺）（），（）（），（），（）密，（），鯉一（：）（）（，（）嬰一（瓏）（）（）（），（）上海大學碩士學位論文刪嬰（），（¨，矗爹綹一瓏，（）（仇（）（）（），（）（）以籮曼一諺（，（）（，（）（）見（）（）（）（），（）一乎）（¨，）一）一仇，（）（夕（），（）（¨，）一乎）一仇（，（）（，（）（）夕（）（夕（）（夕（）（¨，（）（）（）從（）與（）知（¨，（）有線性指數(shù)函數(shù)形式的解（）：，九（）：，：七，七，（