教學(xué)課件復(fù)變函數(shù)

1、 1 復(fù)球面2 擴(kuò)充復(fù)球面上的幾個(gè)概念第四節(jié)第四節(jié) 復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)一、復(fù)球面1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過(guò)通過(guò) . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNxyPNOS 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來(lái)表示

2、復(fù)數(shù). 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的個(gè)唯一的“無(wú)窮大無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作記作 . 因而球面上的北極因而球面上的北極 N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大 的幾何表示的幾何表示.xyPNOS3. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,

3、 , 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面或簡(jiǎn)稱復(fù)平面. .復(fù)球面的優(yōu)越處復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái)能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái).對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù) 來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無(wú)意輻角等概念均無(wú)意義義, 它的模規(guī)定為正無(wú)窮大它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.3 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn): 關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們規(guī)定其實(shí)部、虛部、輻角無(wú)意義，模等于：它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為：|aa)0( aaa)(0 );0(0aaaa這些運(yùn)算無(wú)意義：0,0,.0 二二. 擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個(gè)概念擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個(gè)概念1 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域:1( ) |Nz z 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域:1( ) |Nzz ,復(fù)平面以 為唯

4、一界點(diǎn) 擴(kuò)充復(fù)平面以 為內(nèi)點(diǎn)注2 在擴(kuò)充復(fù)平面上單連通區(qū)域:,DDDD設(shè) 為擴(kuò)充復(fù)平面上區(qū)域,若在 內(nèi)無(wú)論怎樣畫(huà)簡(jiǎn)單閉曲線,其內(nèi)部或外部(包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn))仍含于則稱 為單連通區(qū)域.解例1 |2CCz z分別在 及上研究集是否為單連通的 |2Cz z 在 上集不是單連通; |2Cz z在上集是單連通.注 考慮一個(gè)無(wú)界區(qū)域是否為單連通,應(yīng)看在通常的復(fù)平面上還是擴(kuò)充復(fù)平面上3 廣義極限與廣義連續(xù)廣義極限0zE 當(dāng)是點(diǎn)集 的聚點(diǎn)時(shí)1lim( )0,0,( )-z Ezf zAzzEf zA 使當(dāng)時(shí)有 0lim( ),lim( )zzzf zf z 類似可給出定義廣義連續(xù)00( )()f zEzEf z

5、設(shè)在 上有定義,若或且00lim( )()z Ezzf zf z0( )f zz則稱在 廣義連續(xù)例21( )( (0),( )0)f zffz 函數(shù)在擴(kuò)充平面上廣義連續(xù)證明0,z 當(dāng)時(shí),( )f z 顯然連續(xù)0,z 當(dāng)時(shí),由于lim( )0( )zf zf0lim( )(0)zf zf ( )f z故在擴(kuò)充復(fù)平面上連續(xù)練習(xí). 11, 1:, 1000zzzzzz則若證明設(shè)2 2., 0137112的值求已知xxxxx3 3.1,112的值求次單位根的是任意一個(gè)不等于設(shè)nn4 4求證是兩個(gè)復(fù)數(shù)設(shè),21zz1 1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz . 0)94(4

6、2iizz解方程5 5典型例題求證求證是兩個(gè)復(fù)數(shù)是兩個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè),21zz例1例1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz )1證證)(2121221zzzzzz )(2121zzzz 21122211zzzzzzzz )(21212212zzzzzz ).Re(2212212zzzz ),Re(2)1)2212221221zzzzzz 知知由由2122212212zzzzzz 又又2122212zzzz ,2212221zzzz ),Re(2121zzzz 因?yàn)橐驗(yàn)?Re(2212221zzzz 所以所以.221221zzzz 即即.,2121zzzz 得得兩邊開(kāi)方

7、兩邊開(kāi)方 其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值.,2212221zzzz . 11, 1:, 1000 zzzzzz則則若若證明證明設(shè)設(shè)例2例2證證則則若若, 1 z,1)1(20202zzz 202zz因?yàn)橐驗(yàn)?Re(2020220z zzzzz 又又)Re(210202z zzz , 11200 zzzz所以所以. 1100 zzzz即即201z .1202zz ,120z z ., 0137112的值的值求求已知已知xxxxx 例3例3解解),1)(1(123 xxxx因?yàn)橐驗(yàn)? 012是一個(gè)三次單位根是

8、一個(gè)三次單位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx從而從而. 0123711 xxxxx所以所以.1,112的值的值求求次單位根次單位根的的是任意一個(gè)不等于是任意一個(gè)不等于設(shè)設(shè) nn 例4例4解解1 n 因?yàn)橐驗(yàn)?21 n 所以所以. 011 n. 0)94(42 iizz解方程解方程例5例5解解. 0)94(4)2(422 iiizz原方程為原方程為iiz9)2(2 即即iiz92 于是于是1 , 0,222sin222cos3 kkik,22322231iz 故故.22322232iz ; 0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例6 6 滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形滿足下列條件的

9、點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)是不是區(qū)域域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解解 是實(shí)數(shù)軸是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域不是區(qū)域.0)(Im zxyO 是以是以 為界的帶形單連通區(qū)為界的帶形單連通區(qū) 域域. , y y解解 )(Imz622)3( zz 是以是以 為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以以3為半為半長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)它不是區(qū)域域.2 32,32arg3)4( zz且且 不是區(qū)域，因?yàn)閳D中不是區(qū)域，因?yàn)閳D中32arg,3arg zz解解解解在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn)在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).oy23xoxy 3 2 2 3例例7 7 函數(shù)函數(shù) 將將 平面上的下列曲線變成平面上的下列曲線變成 平平面上的什么曲線？面上的什么曲線？zw1 zw. 2)2(, 9)1(22 xyx解解9 222 zyx因?yàn)橐驗(yàn)橛钟謎yxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圓平面上的圓.w22yxiyx ),(91iyx