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1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)第2課時(shí)簡(jiǎn)單的三角恒等變形題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1(1)化簡(jiǎn):_.(2)cos(),(0,),那么sin(2)_.答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)由題意可得,cos2,cossin 2,即sin 2.因?yàn)閏os>0,所以0<<,2,根據(jù)同角三角函數(shù)根本關(guān)系式可得cos 2,由兩角差的正弦公式可得sinsin 2cos cos 2sin .思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看原那么,一看角,二看名,三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等),尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共
2、同點(diǎn)(1)cos(x),那么cos xcos(x)_.(2)假設(shè),且3cos 2sin,那么sin 2的值為()A. B C. D答案(1)1(2)D解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)×()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式,得6sincossin,cos,sin 2cos2cos21.題型二三角函數(shù)的求值命題點(diǎn)1給值求值問題例2(1)(2022·合肥聯(lián)考),為銳角,cos ,sin(),那么cos _.答案解析為銳角,sin .,(0,),0<<.又sin()<sin ,&g
3、t;,cos().cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)(2022·廣東)tan 2.求tan()的值;求的值解tan()3.1.命題點(diǎn)2給值求角問題例3(1)設(shè),為鈍角,且sin ,cos ,那么的值為()A. B.C. D.或(2),(0,),且tan(),tan ,那么2的值為_答案(1)C(2)解析(1),為鈍角,sin ,cos ,cos ,sin ,cos()cos cos sin sin >0.又(,2),(,2),.(2)tan tan()>0,0<<.又tan 2>0,0<2<
4、,tan(2)1.tan <0,<<,<2<0,2.引申探究本例(1)中,假設(shè),為銳角,sin ,cos ,那么_.答案解析,為銳角,cos ,sin ,cos()cos cos sin sin ××.又0<<,.思維升華(1)給值求值問題的關(guān)鍵在“變角,通過角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法;(2)給值求角問題:先求角的某一三角函數(shù)值,再求角的范圍確定角(1),且2sin2sin ·cos 3cos20,那么_.(2)sin ,sin(),均為銳角,那么角等于()A. B. C. D.答案(1)(2)C解析(1),且2sin2si
5、n ·cos 3cos20,那么(2sin 3cos )·(sin cos )0,2sin 3cos ,又sin2cos21,cos ,sin ,.(2)、均為銳角,<<.又sin(),cos().又sin ,cos ,sin sin()sin cos()cos sin()××().題型三三角恒等變形的應(yīng)用例4(2022·天津)函數(shù)f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期;(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域?yàn)閤|xk,kZf(x)4tan xcos xcos4sin
6、xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x,那么函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是,kZ.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.設(shè)A,Bx|kxk,kZ,易知AB.所以當(dāng)x時(shí),f(x)在區(qū)間上是增加的,在區(qū)間上是減少的思維升華三角恒等變形的應(yīng)用策略(1)進(jìn)行三角恒等變形要抓住:變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注意公式的逆用和變形使用(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性(1)函數(shù)f(x)sin(x)2
7、sin cos x的最大值為_(2)函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)1(2)解析(1)因?yàn)閒(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x),1sin(x)1,所以f(x)的最大值為1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x),T.9化歸思想和整體代換思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例(12分)(2022·重慶)函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)討論f(x)在上的單調(diào)性思想方法指導(dǎo)(1)討論形如yasin xbcos x
8、型函數(shù)的性質(zhì),一律化成ysin(x)型的函數(shù)(2)研究yAsin(x)型函數(shù)的最值、單調(diào)性,可將x視為一個(gè)整體,換元后結(jié)合ysin x的圖像解決標(biāo)準(zhǔn)解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin,4分因此f(x)的最小正周期為,最大值為.6分(2)當(dāng)x時(shí),02x,7分從而當(dāng)02x,即x時(shí),f(x)是增加的,9分當(dāng)2x,即x時(shí),f(x)是減少的11分綜上可知,f(x)在上是增加的;在上是減少的12分1(2022·青島模擬)設(shè)tan(),那么tan()等于()A2 B2 C4 D4答案C解析因?yàn)閠an(),所以tan ,
9、故tan()4,應(yīng)選C.2(2022·全國(guó)甲卷)假設(shè)cos,那么sin 2等于()A. B. C D答案D解析因?yàn)閟in 2cos2cos21,又因?yàn)閏os,所以sin 22×1,應(yīng)選D.3(2022·福州模擬)tan 3,那么的值等于()A2 B3 C4 D6答案D解析2tan 2×36.4tan(),且<<0,那么等于()A BC D.答案A解析由tan(),得tan .又<<0,所以sin .故2sin .5設(shè)(0,),(0,),且tan ,那么()A3 B2C3 D2答案B解析由tan ,得,即sin cos cos co
10、s sin ,sin()cos sin()(0,),(0,),(,),(0,),由sin()sin(),得,2.6函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ答案C解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin,由題意知2×k(kZ),k(kZ)|,.f(x)2sin.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ)應(yīng)選C.7假設(shè)f(x)2tan x,那么f的值為_答案8解析f(x)2tan x2tan x,f8.8假設(shè)銳角、滿足(1tan )(1tan )4,那么_.答案解析由(1tan )(1tan
11、)4,可得,即tan().又(0,),.9化簡(jiǎn):_.答案4解析原式4.10函數(shù)f(x)sin x2sin2x (x)的最小值是_答案1解析f(x)sin x(1cos x)2sin(x)1,又x,x,f(x)min2sin 11.11函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x,xR.(1)求f()的值;(2)假設(shè)sin ,且(,),求f()解(1)f()cos2sincos()2×.(2)因?yàn)閒(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x),所以f()sin()sin()(sin cos )又因?yàn)閟in ,且(,),所以cos ,所以f()
12、(××).12(2022·西安一中月考)函數(shù)f(x)4cos xcos(x),>0的最小正周期為.(1)求的值;(2)討論f(x)在區(qū)間0,上的單調(diào)性解f(x)4cos xcos(x)4cos x·(cos xsin x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x12cos(2x)(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)4cos xcos(x)(>0)的最小正周期為,故,所以1.(2)由(1)知f(x)12cos(2x),x0,故2x2,當(dāng)2x時(shí),即0x時(shí),f(x)12cos(2x)為減函數(shù);當(dāng)<2x2,即x時(shí),f(x)12cos(2x)為增函數(shù),所以f(x)12cos(2x)的減區(qū)間為0,增區(qū)間為(, 13.函數(shù)f(x)sinsin()(1)求函數(shù)f(x)在,0上的單調(diào)區(qū)間(2)角滿足(0,),2f(2)4f(2)
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