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1、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動與金融衍生品定價(jià)【摘要】 本文介紹分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的基本性質(zhì),建立在分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動基礎(chǔ)上的隨機(jī)積分,以及股票價(jià)格由分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動驅(qū)動情況下的歐式期權(quán)定價(jià)問題。【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動、隨機(jī)積分、Wick積,歐式期權(quán) 經(jīng)典的金融市場衍生品定價(jià)理論建立在標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動和Itô隨機(jī)積分的基礎(chǔ)上,已經(jīng)建立了較為完善的理論體系,得到了大量具有理論和實(shí)際價(jià)值的結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的典型特征是具有獨(dú)立增量,對應(yīng)于Hurst指數(shù)等于0.5;但是實(shí)際數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果顯示,股票價(jià)格的變動不具備獨(dú)立增量特性,實(shí)際中股票價(jià)格的Hurst指數(shù)常常大于0.5。為使理論更加貼近實(shí)際結(jié)果,有必要以分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)
2、動為出發(fā)點(diǎn),研究金融市場衍生品定價(jià)問題。一、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動定義及性質(zhì)定義1.1 ,一個Hurst指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(fBM)為一個連續(xù)的中心化的高斯過程,且滿足如下條件:.特別的,當(dāng)H=1/2時(shí),是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。定義1.1*(fBM的積分表示)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,為gamma函數(shù),則是一個Hurst指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動。分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)性質(zhì):1. ,且,.2. 與同分布.3. 是高斯過程,且.4. 的軌道連續(xù)。5. H>0.5時(shí),與正相關(guān);H=0.5時(shí),與獨(dú)立;H<0.5時(shí),與負(fù)相關(guān)。進(jìn)一步,令,則fBM路徑的圖示H=0.1,fBM的路徑(具有負(fù)相關(guān)性)H=0.5,fBM
3、(即標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動)的路徑H=0.8,fBM的路徑(具有正相關(guān)性)H=0.1,H=0.5,H=0.8,fBM的路徑二、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分和相關(guān)結(jié)果依照不同的定義方式,分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動上可以不同的隨機(jī)積分,不同的積分定義適用于不同的情況,對同一問題使用不同的積分定義,得到的結(jié)果也不盡相同。分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分分別有Wiener型積分、路徑(Pathwise)積分和Wick Itô Skorohod型積分(簡稱Wick型積分)等,金融數(shù)學(xué)中廣泛用到的是Wick Itô Skorohod型積分,該積分可以看做是經(jīng)典Itô積分在fBM上的推廣。本文主要介紹Wick
4、Itô Skorohod型積分1. Wick積與Wick Itô Skorohod型積分令是一個簡單函數(shù),關(guān)于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分定義為是一個確定性函數(shù),存在一列簡單函數(shù)收斂于,關(guān)于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分定義為Gripenberg和Norros(1996)得到如下結(jié)果:(*)定義一個二元函數(shù),在確定型函數(shù)構(gòu)成的空間上定義一個子空間,記為。上定義范數(shù),內(nèi)積,可以證明,在上述定義下構(gòu)成一個Hilbert空間。于是(*)可寫成Gripenberg和Norros(1996)得到如下結(jié)果:是一個均值為0,方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。下面引入概率空間,p可積的()隨機(jī)變量空間記為。Du
5、ncan(2000)證明了對于,隨機(jī)變量可以被確定性函數(shù)的Wick指數(shù)的線性組合任意精度逼近,Wick指數(shù)的定義如下Wick指數(shù)有如下性質(zhì):1.,因?yàn)槭且粋€均值為0,方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。2.3.,特別的.Duncan(2000)借助Wick指數(shù)隱式的定義了Wick積“”:Wick積具有如下性質(zhì):1.2.3.4.5.6.其中是的Malliavin微分。Wick型Riemann和記為,為0,T上的劃分。隨機(jī)過程關(guān)于Wick Itô Skorohod型積分定義為進(jìn)一步得到第二個式子稱為“分?jǐn)?shù)維的Itô等距”。分?jǐn)?shù)維Stratonovich型積分定義為Duncan(2000)證明
6、了Wick積分和Stratonovich積分之間具有如下關(guān)系:,其中是的Malliavin微分。關(guān)于有如下結(jié)果1.2.3.(為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動).2. 分?jǐn)?shù)維形式的Itô公式和Girsanov定理分?jǐn)?shù)維形式的Itô公式令F,G是滿足一定條件的隨機(jī)過程,對于隨機(jī)過程,函數(shù)有如下等式成立特別的時(shí),分?jǐn)?shù)維形式Girsanov定理 首先定義算子,是一個確定性函數(shù) 其中在測度下隨機(jī)過程Y具有如下表示:存在測度,使得Y在測度下具有如下表示:其中是測度下的Hurst指數(shù)為H的fBM。關(guān)于的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為三、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動在衍生品定價(jià)中的應(yīng)用分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動情況下的套利分析1.
7、 使用路徑積分現(xiàn)有兩項(xiàng)資產(chǎn),無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),不妨設(shè);構(gòu)造投資組合,稱為“自融資的”,如果下面令于是根據(jù)路徑積分的定義可計(jì)算出因此是一個“自融資”的投資策略,但是,始終可以保持正的收益,所以市場存在套利。2. 使用Wick型積分現(xiàn)有兩項(xiàng)資產(chǎn),無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),由Wick型分定義可以計(jì)算出構(gòu)造投資組合,稱為“自融資的”,如果下面令Bender(2003a)證明了,和使用路徑積分一樣,是一個“自融資”的投資策略,但是,始終可以保持正的收益,市場存在套利。3. 將資產(chǎn)組合推廣成Wick型沿用上面的記號,構(gòu)造新的資產(chǎn)組合,稱為”Wick自融資的”,如果現(xiàn)假設(shè)是Wick自融資的,于是定義,由分?jǐn)?shù)
8、維的Girsanov定理,存在測度使得為該測度下的fBM。于是,在測度下由分?jǐn)?shù)維的Itô公式可得由0到T積分得到在測度下兩端同時(shí)求期望由無套利理論可知是無套利的。進(jìn)一步,Hu和Øksendal(2003)證明了此時(shí)的市場是完備的。分?jǐn)?shù)維情況下的歐式期權(quán)定價(jià)記現(xiàn)在為0時(shí)刻,一份歐式看漲期權(quán)的期限是T,敲定價(jià)格為K,利率為r,股票收益率為,波動率,股價(jià)的Hurst指數(shù)為H,0時(shí)刻股價(jià)為,股價(jià)服從幾何分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動該期權(quán)t時(shí)刻的價(jià)格記為,和經(jīng)典BS市場不同,這里的定價(jià)測度不唯一,定價(jià)測度的選擇依賴于投資者的風(fēng)險(xiǎn)暴露情況,Sottinen和Valkeila(2003)建議使用“平均
9、風(fēng)險(xiǎn)中性測度”Q,在該測度下的條件分布是正態(tài)的,均值和方差分別是其中直接對求期望,經(jīng)過和經(jīng)典的歐式看漲期權(quán)相同的推導(dǎo)過程得到其中同樣的可以得到歐式看跌期權(quán)的定價(jià)特別的,當(dāng)時(shí),上述結(jié)果等于經(jīng)典的結(jié)果。看漲看跌平價(jià)公式成立看漲期權(quán)的希臘值:特別的,當(dāng)時(shí),上述結(jié)果收斂于經(jīng)典的結(jié)果?!緟⒖嘉墨I(xiàn)】1.Bender,C.(2003a):Integration with respect to Fractional Brownian Motion and Related Market Models.University of Konstanz,Department of Mathematics and Sta
10、tistics:Ph.D.thesis。2.Bender,C.(2003b):An S-transform approach to integration with respect to a Fractional Brownian Motion,Bernoulli 9(6),p.955-983.3.Bender,C.(2003c):An Itô Formula for Generalized Functionals of a Fractional Brownian Motion with arbitrage Hurst Parameter,Stoch Proc Appl 104,p.
11、81-106.4.Bender,C.,Elliott,R.J.(2004):Arbitrage in a Discrete Version of the Wick Fractional Blak-Scholes Market.Math Oper Res 29,p.935-945.5.Bender,C.,Sottinen,T.,Valkeila,E.(2006):Arbitrage with Fractional Brownian Motion?,Theory of Stochastic Process 12(28).6. Gripenberg, G., Norros, I. (1996): O
12、n the prediction of Fractional BrownianMotion, J Appl Probab 33, p. 400410.7.Hu,Y., Øksendal,B.(2003):Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance,Infin Cimens Anal Qu6(1),p.1-32.8.Norros,I.,Vlkeila,E.,Virtamo,J.(1999): An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motion,Bernoulli 5, p. 571587.9.Rostek,R.(2010
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