六年級奧數(shù)數(shù)論質(zhì)數(shù)合數(shù)約數(shù)倍數(shù)學(xué)生版

1、質(zhì)數(shù)合數(shù)、約數(shù)倍數(shù)知識框架一、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，再不能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，還能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做合數(shù)。要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)有無限多個。最小的質(zhì)數(shù)是2。合數(shù)有無限多個。最小的合數(shù)是4。常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.考點： 值得注意的是很

2、多題都會以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點. 除了2和5，其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.二、 判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).常用質(zhì)數(shù)整理：101、103、107、109、113、127、131、1

3、37、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017三、 約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù),整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)；(2)公約數(shù):如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個就是最大公約數(shù)；(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外1. 求最大公約數(shù)的方法l 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來例如：，所以；l 短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相

4、乘例如：，所以；l 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約數(shù)是152. 最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的

5、約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以3. 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求4. 約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系（1）約數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)四、 倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1. 倍數(shù):一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)1) 公倍數(shù):在兩個或兩個以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍數(shù)就叫做它們的公倍數(shù)2) 最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。2. 求最小公

6、倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如： ，所以；3. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)4. 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如： 注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：5. 倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系（1）倍數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)五、 最大公約數(shù)與最

7、小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1. 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2. 兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3. 對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為

8、注：性質(zhì)3不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。六、 求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1 求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不

9、是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2 求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。重難點（1）特殊質(zhì)數(shù)2、5，質(zhì)數(shù)的個位數(shù)特征（2）要注意觀察約數(shù)、

10、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；（3）整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)，而且表達形式唯一”例題精講【例 1】 在19、197、2009這三個數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)是（ ）.（A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【鞏固】 大約1500年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到7位小數(shù)的人現(xiàn)代人利用計算機已經(jīng)將的值計算到了小數(shù)點后515億位以上這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律但是細心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，3141

11、5，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？【例 2】 小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼是四位數(shù)同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為，其中，而且和都是質(zhì)數(shù)(和是兩個數(shù)字)具有這種形式的數(shù)共有多少個？【鞏固】 自然數(shù)是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？【例 3】 一個兩位數(shù)，數(shù)字和是質(zhì)數(shù)而且，這個兩位數(shù)分別乘以3，5，7之后，得到的數(shù)的數(shù)字和都仍為質(zhì)數(shù)滿足條件的兩位數(shù)為 【鞏固】 三位數(shù)滿足：它的所有質(zhì)因數(shù)之和是。這樣的三位數(shù)有 個?！纠?4】 用數(shù)字卡片1，1，2，2，3，3，4，

12、4，5，5，6，7，9，9（不允許把6倒過來當(dāng)作9，也不許把9倒過來當(dāng)作6）組成七個不同的兩位質(zhì)數(shù)，這七個質(zhì)數(shù)之和等于_【鞏固】 如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是21，那么這些質(zhì)數(shù)中最大的一個可能是多少？ 【例 5】 都是質(zhì)數(shù)，如果，那么 ?！眷柟獭?，都是質(zhì)數(shù)，并且， ，那么 _ ?！纠?6】 將60拆成10個質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少？【鞏固】 將50分拆成10個質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個最大的質(zhì)數(shù)是多少？【例 7】 有些三位數(shù)，它的各位數(shù)字之積為質(zhì)數(shù)，這樣的三位數(shù)最小是_，最大是_?！眷柟獭?萬尼亞想了一個三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同如果個位數(shù)字

13、等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是幾？【例 8】 用L表示所有被3除余1的全體正整數(shù)如果L中的數(shù)(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為“L質(zhì)數(shù)”問：第8個“L質(zhì)數(shù)”是什么？【鞏固】 將八個不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數(shù)互質(zhì)，那么A最小是幾？A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）【例 9】 一個自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111，這個自然數(shù)是_.【鞏固】 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【例 10】 兩個整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是C，最小公倍數(shù)是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B

14、，C+D=187，那么A+B等于多少？ 【鞏固】 若 a , b , c 是三個互不相等的大于0的自然數(shù)，且a + b + c = 1155 ，則它們的最大公約數(shù)的最大值為 ，最小公倍數(shù)的最小值為 ，最小公倍數(shù)的最大值為 【例 11】 在1到100中，恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？ 【鞏固】 恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有_個 【例 12】 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒那么平均給三群猴子，每只可得多少粒？ 【鞏固】 加工某種機器零件,要經(jīng)過三道工序,第一道工序每名工人每小時可完成6個零件,

15、第二道工序每名工人每小時可完成10個零件,第三道工序每名工人每小時可完成15個零件.要使加工生產(chǎn)均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假設(shè)這三道工序可以同時進行）【例 13】 一次考試，參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿50人，那么得差的學(xué)生有多少人？【鞏固】 一次考試，參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿100人，那么得差的學(xué)生有多少人？【例 14】 兩個自然數(shù)a，b的最小公倍數(shù)等于50，問ab有多少種可能的數(shù)值?【鞏固】 已知a,b,c是三個自然數(shù)，且a與b的最小公倍數(shù)是60，a與c的最小公倍數(shù)是270。求b與c的最小公倍數(shù)?！?/p>

16、例 15】 如圖，在長500米、寬300米的長方形廣場的外圍，每隔2.5米擺放一盆花，現(xiàn)要改為每隔2米擺放一盆花，并且廣場的4個頂點處的花盆不動，則需增加_盆花；在重新擺放花盆時，共有_盆花不用挪動。【鞏固】 有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發(fā)一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)一個桔子，結(jié)果有10個小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？課堂檢測【隨練1】 炎黃驕子 菲爾茲獎被譽為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎”，只獎勵40歲以下的數(shù)學(xué)家華人數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎我們知道正整數(shù)中有無窮多個質(zhì)數(shù)(素數(shù))，陶哲軒等證明了這樣一個關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定

17、理：對任何正整數(shù)k，存在無窮多組含有k個等間隔質(zhì)數(shù)(素數(shù))的數(shù)組例如，時，3，5，7是間隔為2的3個質(zhì)數(shù)；5，11，17是間隔為6的3個質(zhì)數(shù)：而 ， ， 是間隔為12的3個質(zhì)數(shù)(由小到大排列，只寫一組3個質(zhì)數(shù)即可)【隨練2】 用0-9這10個數(shù)字組成若干個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字都恰好用一次，這些質(zhì)數(shù)的和最小是 ?！倦S練3】 用0，1，2，9這10個數(shù)字組成6個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字至多用1次，每個質(zhì)數(shù)都不大于500，那么共有多少種不同的組成6個質(zhì)數(shù)的方法請將所有方法都列出來【隨練4】 三個兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為 【隨練5】 甲、乙兩人同時從A點背向出發(fā)，沿400米的環(huán)

18、形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過多長時間才能在A點相遇？ 家庭作業(yè)【作業(yè)1】 圖中圓圈內(nèi)依次寫出了前25個質(zhì)數(shù)；甲順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之和填在上行方格中；乙順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之積填在下行方格中問：甲填的數(shù)中有多少個與乙填的數(shù)相同?為什么?【作業(yè)2】 從19中選出8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是多少？【作業(yè)3】 已知三個合數(shù)A，B，C兩兩互質(zhì)，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值為 【作業(yè)4】 用09這10個數(shù)字組成若干個合數(shù)，每個數(shù)字都恰好用一次，那么這些合數(shù)之和的最小值是_【作業(yè)5】 某質(zhì)數(shù)加6或減6得到的數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，在50以內(nèi)你能找出幾個這樣的質(zhì)數(shù)？把它們寫出來.【作業(yè)6】 將37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個最?。俊咀鳂I(yè)7】 少年宮手工組的小朋友們做工藝品“豬娃娃”。每個人先各做一個紙“豬娃娃”；接著每2個人合做一個泥“豬娃娃”；然后每3個人合做一個布“豬娃娃”；最后每4個人合做一個電動“豬娃娃”。這樣下來，一共做了100個“豬娃娃