隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、基本要求1、考試大綱要求理解隨機(jī)變量的數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差，標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，并會運用數(shù)字特征定義和基本性質(zhì)計算具體分布的數(shù)字特征；掌握常用分布（二項分布、超幾何分布、泊松分布、一維和二維均勻分布、指數(shù)分布、一維和二維正態(tài)分布）的數(shù)字特征（解題時可以直接利用這些數(shù)字特征）2、會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)二維隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3、理解有關(guān)數(shù)字特征的概率意義，例如，對于指數(shù)分布，“平均無故障工作的時間”或“平均等待時間”可以理解為相應(yīng)時間的數(shù)學(xué)期望二、內(nèi)容提要 數(shù)學(xué)期望 表征隨機(jī)變量取值的平均水平、“中心

2、”位置或“集中”位置1、數(shù)學(xué)期望的定義 (1) 定義 離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義為 其中表示對X的一切可能值求和對于離散型變量，若可能值個數(shù)無限，則要求級數(shù)絕對收斂；對于連續(xù)型變量，要求定義中的積分絕對收斂；否則認(rèn)為數(shù)學(xué)期望不存在(2) 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)為連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，而X是任一隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可以通過隨機(jī)變量X的概率分布直接來求，而不必先求出的概率分布再求其數(shù)學(xué)期望；對于二元函數(shù)，有類似的公式： 2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) 對于任意常數(shù)c，有(2) 對于任意常數(shù)，有(3) 對于任意，有(4) 如果相互獨立，則 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 表征隨機(jī)變量取值分散

3、或集中程度的數(shù)字特征1、方差的定義 稱為隨機(jī)變量X的方差，稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的方差有如下計算公式： (4.3)2、方差的性質(zhì) (1) ，并且當(dāng)且僅當(dāng)（以概率）為常數(shù)；(2) 對于任意實數(shù)，有；(3) 若兩兩獨立或兩兩不相關(guān)，則 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 考慮二維隨機(jī)向量，其數(shù)字特征包括每個變量的數(shù)學(xué)期望和方差，以及和的聯(lián)合數(shù)字特征協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義 (1) 協(xié)方差 隨機(jī)變量和的協(xié)方差定義為， 其中(2) 相關(guān)系數(shù) 隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)定義為 2、協(xié)方差的性質(zhì) 設(shè)隨機(jī)變量和的方差存在，則它們的協(xié)方差也存在(1) 若和獨立，則；對于任意常數(shù)c，有(2) (3) 對

4、于任意實數(shù)a和b，有(4) 對于任意隨機(jī)變量，有(5) 對于任意和，有(6) 對于任意和，有3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 相關(guān)系數(shù)的如下三條基本性質(zhì)，決定了它的重要應(yīng)用設(shè)和的相關(guān)系數(shù)，(1) (2) 若和相互獨立，則=0；但是，當(dāng)=0時和卻未必獨立(3) 的充分必要條件是和（以概率）互為線性函數(shù)三條性質(zhì)說明，隨著變量和之間的關(guān)系由相互獨立到互為線性函數(shù)，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對值從0增加到1，說明相關(guān)系數(shù)可以做兩個變量統(tǒng)計相依程度的度量4、隨機(jī)變量的相關(guān)性 假設(shè)隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)存在若= 0，則稱和不相關(guān)，否則稱和相關(guān)(1) 若兩個隨機(jī)變量獨立，則它們一定不相關(guān)，而反之未必；(2) 若和的聯(lián)合分布是二維正

5、態(tài)分布，則它們“不相關(guān)”與“獨立”等價 矩 在力學(xué)和物理學(xué)中用矩描繪質(zhì)量的分布概率統(tǒng)計中用矩描繪概率分布常用的矩有兩大類：原點矩和中心矩數(shù)學(xué)期望是一階原點矩，而方差是二階中心矩1、原點矩 對任意實數(shù)，稱為隨機(jī)變量的階原點矩，簡稱階矩原點矩的計算公式為： 2、中心矩 稱為隨機(jī)變量的階中心矩 切比雪夫（切貝紹夫）不等式 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對于任意，有 三、典型例題及其分析例 表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望和方差.【思路】 關(guān)鍵是求出的分布律，然后用定義計算.【解】 引入事件： 根據(jù)題設(shè)，三部件需要調(diào)整的概率分別為 由題設(shè)部件的狀態(tài)相互獨立，于是有 于是的分布律為X012

6、3P 0.5040.3980.0920.006從而 故 【解畢】【技巧】 本題的關(guān)鍵是引入事件，將的分布律求出，因此，可以發(fā)現(xiàn)求期望和方差的難點轉(zhuǎn)到了求的分布.同時，方差的計算一般均通過公式來進(jìn)行.例 對目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止.如果每次射擊的命中率為，求射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.【解】 由題意可求得的分布律為于是 為了求級數(shù)的和，我們利用如下的技巧：由于對此級數(shù)逐項求導(dǎo)，得 因此 從而 為了求,我們先求.由于 為了求 得值，注意到 從而因此 【寓意】 本題實質(zhì)上是求幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差.本題的主要技巧是利用了級數(shù)的逐項求導(dǎo)公式來求期望. 當(dāng)然同樣可用逐項積分方法來求和，這種手段在級

7、數(shù)求和或數(shù)學(xué)期望和方差的計算是十分奏效的.還有一點，我們在此說明一下，在本題中，由于的取值都是正數(shù)，所以只要正項級數(shù)收斂，則一定絕對收斂，即的和就為.而實際情況中，可能存在級數(shù)是條件收斂的，此時，的數(shù)學(xué)期望就不存在（雖然本身仍是收斂的），因此判斷離散型隨機(jī)變量的期望是否存在，要用關(guān)于級數(shù)絕對收斂的判斷方法.例 設(shè)是一隨機(jī)變量，其概率密度為求. (1995年考研題)【解】 于是 【解畢】【技巧】 在計算數(shù)學(xué)期望和方差時，應(yīng)首先檢驗一下的奇偶性，這樣可利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分公式簡化求解，比如本題中，為偶函數(shù)，故同樣的計算也可直接簡化.例 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求與. (1987年考

8、研題)【思路】 一種求法是直接利用數(shù)學(xué)期望與方差的定義來求.另一種方法是利用正態(tài)分布的形式及其參數(shù)的含義.【解】 （方法1）直接法.由數(shù)學(xué)期望與方差的定義知 （方法2） 利用正態(tài)分布定義. 由于期望為，方差為的正態(tài)分布的概率密度為所以把變形為 易知，為的概率密度，因此有 【解畢】【技巧】 解決本題的關(guān)鍵是要善于識別常用分布的密度函數(shù)，不然的話，直接計算將會帶來較大的工作量.反過來，用正態(tài)分布的特性也可以來求積分等.(2)若干計算公式的應(yīng)用主要包括隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式，數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)公式的應(yīng)用.例 設(shè)表示10次獨立重復(fù)射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，求. (1995

9、年考研題)【解】 由題意知于是由可推知【寓意】 本題考查了兩個內(nèi)容，一是由題意歸結(jié)出隨機(jī)變量的分布；二是靈活應(yīng)用方差計算公式，如果直接求解，那么 的計算是繁瑣的.例 設(shè)服從參數(shù)的指數(shù)分布，求.（1992年考研題）【解】 由題設(shè)知，的密度函數(shù)為且，又因為從而 【解畢】【寓意】 本題的目的是考查常見分布的分布密度（或分布律）以及它們的數(shù)字特征，同時也考查了隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法.例 設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求隨機(jī)變量的方差 【解】 由方差的性質(zhì)得知又由于的邊緣密度為于是因此 ， 【解畢】【技巧】 盡管本題給出的是二維隨機(jī)變量，但在求的期望于方差時，可以從的邊緣密度函數(shù)出發(fā)，而不必

10、從與的聯(lián)合密度函數(shù)開始.在一般情形下，采用邊緣密度函數(shù)較為方便.例 設(shè)隨機(jī)變量和獨立，且服從均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).（1989年考研題）【思路】 此題看上去好像與數(shù)字特征無多大聯(lián)系，但由于和相互獨立且都服從正態(tài)分布，所以作為的線性組合也服從正態(tài)分布.故只需求和，則的概率密度函數(shù)就唯一確定了.【解】 由題設(shè)知，.從而由期望和方差的性質(zhì)得 又因是的線性函數(shù)，且是相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量，故也為正態(tài)隨機(jī)變量，又因正態(tài)分布完全由其期望和方差確定，故知，于是，的概率密度為 【解畢】【寓意】 本題主要考查二點內(nèi)容，一是獨立正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布；

11、其二是正態(tài)分布完全由其期望和方差決定.例 假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 （1） 求和的聯(lián)合概率分布；（2） 求.【解】 顯然，的分布函數(shù)為 （1）有四個可能取值：且 于是得到和的聯(lián)合分布律為 0 1 0 0 1 （3） 顯然，的分布律分別為 0 1 0 1P P 因此 故 【解畢】【技巧】 本題中若不要求求與的聯(lián)合分布律，也可直接求出，這是因為 而 因此 不僅如此，我們還能求其他函數(shù)的期望.例如求，此時，由于 故 例 設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為 求隨機(jī)變量的期望和方差.【思路】 利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望的求法進(jìn)行計算.【解】 由于，故令，則而故 【解畢】【技巧】 本題

12、也可先求出的密度函數(shù)，再來求的期望與方差，但由于求的密度本身就是一繁瑣的工作，因此我們借助隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式來求解，再此公式中并不需要知道的分布，而只需直接計算一個二重積分即可.因此，對隨機(jī)變量函數(shù)的期望計算問題，除非它是一線性函數(shù)，或者為離散型隨機(jī)變量，一般我們往往不直接去求這個函數(shù)的分布，而直接按隨機(jī)變量函數(shù)的期望計算公式來求解.（4） 隨機(jī)變量的分解.例 一民航班車上共有20名旅客，自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，以表示停車的次數(shù)，求（設(shè)每位旅客再各車站下車是等可能的）.【解】 引入隨機(jī)變量 易見 按題意，任一旅客在第i站不下車的概率是因此，

13、20位旅客都不在第i站下車的概率為，從而，在第i站有人下車的概率為，也就是說，的分布律為 0 1 P ， .于是 進(jìn)而有也就是說,平均停8.784次.【技巧】 本題中不是直接去求的分布,然后再求的數(shù)學(xué)期望,而是將表示成數(shù)個隨機(jī)變量之和,然后,通過算出,這種處理方法具有一定的普遍意義,我們稱之為隨機(jī)變量的分解法.這類通過分解手法能將復(fù)雜的問題化為較簡單的問題,它是處理概率論問題中常采用的一種方法.這種分解法的關(guān)鍵是引入合適的,使.例 對目標(biāo)進(jìn)行射擊,每次擊發(fā)一顆子彈,直至擊中次為止,設(shè)各次射擊相互獨立,且每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為試求子彈的消耗量的數(shù)學(xué)期望和方差.【解】 設(shè)表示第i-1次擊中到第

14、i次擊中目標(biāo)所消耗的子彈數(shù)，則顯然有.依題設(shè)可知，各個獨立同分布，都服從幾何分布，即 于是由本節(jié)例知 因此 另外，又由于 是相互獨立的，故 【解畢】例 設(shè)二維離散隨機(jī)變量的分布列為X Y -1 0 1 -1 0 0 求：，并問與是否獨立，為什么？【解】 與的邊緣分布列分別為 X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P P 從而 從而 又由于 所以 從而 因為所以與不獨立. 【解畢】【寓意】 由于0，即與不相關(guān)，但與不獨立，因此，此題說明了，不相關(guān)未必就獨立.例 設(shè)是兩隨機(jī)事件，隨機(jī)變量 試證明隨機(jī)變量和不相關(guān)的充分必要條件是與獨立. （2000年考研題）【思路】 先計算出，再看是否當(dāng)且僅當(dāng)【證

15、明】 記，則的分布律分別為 X -1 1 Y -1 1 P P 可見 現(xiàn)在求,由于只有兩個可能值和，故從而 因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即與不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)與相互獨立.【技巧】 本題是二維離散隨機(jī)變量協(xié)方差的綜合題，在這個問題中，不相關(guān)恰好與獨立是等價的.一般情形下，沒有這么好的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是計算，我們采用先求的分布律，而后再求的方法，這樣的計算再離散型時是較為簡單的.當(dāng)然，另一思路是求出的聯(lián)合分布律，再用聯(lián)合分布律直接計算和，這里X Y -1 1 -1 1 1那么，用隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，仍可算出和.例4.3.3 假設(shè)隨機(jī)變量和在圓域上服從聯(lián)合均勻分布.（1） 求和的相關(guān)系數(shù).（2） 問和是否獨立？

16、 （1991年考研題）【思路】 求相關(guān)系數(shù)，應(yīng)求出協(xié)方差；判斷隨機(jī)變量獨立性，需求出它們的聯(lián)合密度和邊緣密度.【解】 （1）由假設(shè)知，和大的聯(lián)合密度為根據(jù)聯(lián)合密度與邊緣密度的關(guān)系，有 注意到，均為偶函數(shù)，可得 從而，有于是 （2） 因為在上， 所以隨機(jī)變量和不獨立. 【解畢】 【寓意】 從該題可見，隨機(jī)變量的“獨立性”與“不相關(guān)”是兩個不同的概念，需要大家注意，但在二維正態(tài)隨機(jī)變量中，“獨立性”與“不相關(guān)”具有同一性.例 已知隨機(jī)變量與分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)求：（1）的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）與的相關(guān)系數(shù)；（3） 問與是否相互獨立？為什么? （1994年考研題）【解】 （1）由數(shù)

17、學(xué)期望的運算性質(zhì)有由有（2）因為所以 （3）因均為正態(tài)，故的線性組合也是正態(tài)隨機(jī)變量，由于二正態(tài)分布的獨立性與相關(guān)性是等價的，所以由知，與相互獨立. 【解畢】 【寓意】 本題考查的主要有兩點，一是關(guān)于協(xié)方差，有性質(zhì) 另一點為：對于二正態(tài)變量與，與 相互獨立等價于綜例 某人用把鑰匙去開門，其中只有一把能打開門上的鎖，今逐個任取一把試開，求打開此門所需開門次數(shù)的均值及方差，假設(shè)（1） 打不開的鑰匙不放回；（2） 打不開的鑰匙仍放回.【思路】 本題沒有直接給出的分布律，因而必須先根據(jù)題意求出的分布律，再利用期望的定義進(jìn)行計算.【解】 （1）打不開的鑰匙不放回的情況下，所需開門的次數(shù)的可能取值為，注意

18、到意味著從第1次到第次均未能打開門，第次才打開，故由古典概型計算知從而 又 故 (2)由于試開不成功，鑰匙仍放回，故的可能取值為其分布律為 即服從幾何分布，故由例知 【解畢】【技巧】 本題中用到了兩個常用的等式：而第二問是典型的幾何分布的問題，要求讀者熟悉幾何分布的實際背景.綜例 某射手有5發(fā)子彈，射擊一次的命中率為0.9，如果他擊中目標(biāo)就停止射擊，否則一直射擊到用完5發(fā)子彈為止.求：（1） 所用子彈數(shù)的數(shù)字期望；（2） 子彈剩余數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【思路】 只需求出的分布律，的期望就容易知道，而與之間顯然有關(guān)系：因而第2問就迎刃而解了.【解】 （1）顯然，的可能取值為1，2，3，4，5，且由試驗的

19、獨立性知，而 從而 （2）由題意知，.故 【技巧】 與幾何分布不同，本題是一有截止的幾何分布，也就是說，試驗直到擊中目標(biāo)為止或第5次射擊為止，故的計算也可通過下列方式計算. 綜例 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為已知求：（1）常數(shù)（2）.【思路】 要確定三個常數(shù)需三個條件，題設(shè)中已有兩個條件，另一條件為而只需利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望計算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性質(zhì)知，有 又因為 而 解方程 得 （2） 【解畢】【寓意】 本題是考查一維連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題，要求大家掌握其中相關(guān)的定義和計算公式.綜例 袋中裝有只球，但其中白球數(shù)為隨機(jī)變量，只知道其數(shù)學(xué)期望為，試求從該袋中摸一球得到白球的概率.

20、【思路】 摸一球為白球是與袋中有多少個白球緊密相關(guān)的，雖然袋中的白球為隨機(jī)多個，但當(dāng)已知袋中白球個數(shù)時，那么從袋中換一球為白球的概率是易知的，要建立這一條件概率與要求的問題的概率的橋梁，非全概率公式莫屬.【解】 記為袋中的白球數(shù)，則由題設(shè)知 由此，若令，利用全概率公式知 【解畢】【技巧】 本題主要是利用了全概率公式的思想來解決題目中的難點的.綜例 假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑服從正態(tài)分布內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品,銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損， 已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑由如下關(guān)系： 問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？ （199

21、4年考研題）【思路】 問題是求，使達(dá)到最大，故關(guān)鍵使求出的表達(dá)式.【解】 由于，故從而由題設(shè)條件知，平均利潤為其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，則有 令其等于0，得 由此得 由題意知當(dāng)時，平均利潤最大. 【解畢】【技巧】 本題是隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用題，是一的典型的題型，在求最大平均利潤時，應(yīng)用了微積分中典型的求最大（小）值的計算方法.綜例 設(shè)某種商品每周的需求量服從區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位僅獲利300元，為使商品所

22、獲利潤的期望值不少于9280元，試確定最小進(jìn)貨量. （1998年考研題）【解】 根據(jù)題設(shè)，隨機(jī)變量的概率分布密度為 設(shè)進(jìn)貨數(shù)量為a,則利潤應(yīng)為 利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知，期望利潤 依題意，要 即 于是 即 故要利潤期望值不少于9280元的最小進(jìn)貨量為21單位. 【解畢】【技巧】 在利用數(shù)學(xué)期望求解應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于建立起問題要求的量與某一已知分布的隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系，如本題中與的關(guān)系.這樣就可利用已知分布的量來求未知分布的量的數(shù)學(xué)期望，從而最終確定所求問題的解.綜例 設(shè)是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機(jī)變量，已知的分布律為 又設(shè). （1） 求二維隨機(jī)變量的分布律；（2） 求隨機(jī)變量的

23、數(shù)學(xué)期望;（3） 求與的相關(guān)系數(shù).（前二問是1996年考研題）【思路】 先利用的獨立性求出與的聯(lián)合分布，然后利用期望與相關(guān)系數(shù)的公式解.【解】 （1）顯然與與的可能取值均為1，2，3，且的取值不可能超過的取值.故：當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時 于是與的聯(lián)合分布律與邊緣分布律為X Y 1 2 3 1 0 0 2 0 3 1（2） （3）由于 從而 . 又 故 于是 【解畢】綜例 假設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，記 求 （1）和的聯(lián)合分布； （2）和的相關(guān)系數(shù)【思路】 由于均為的函數(shù)，因此，在計算的聯(lián)合分布時，需利用二維隨機(jī)變量的概率計算公式：【解】 由題設(shè)知，的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）有四個可能取值且從而

24、的聯(lián)合分布律及相應(yīng)的邊緣分布律為 V U 0 1 0 0 1 1 （3） 由于只能取0，1兩個值，且其分布律為 0 1 故 又由上面的聯(lián)合分布律表知故的相關(guān)系數(shù)為 【解畢】【技巧】 在計算時，由于只取兩個值0，1，因此，這里直接求出的分布律，再來求是方便的.當(dāng)然，我們也可以用上例的方法，直接利用二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望來計算，此題的關(guān)鍵是要將的取值與的取值范圍聯(lián)系起來，從而可利用概率計算公式求出的聯(lián)合分布.綜例 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，且都服從正態(tài)分布，試證明：【證明】 令，則與仍相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,由此，知從而因此，只須證明即可.我們用兩種方法來證明.（方法1） 由于 所以 從而 （

25、方法2）利用 所以 由于,相互獨立，且均服從，故 .從而故 從而 【證畢】【技巧】 本題是正態(tài)變量與的函數(shù)的期望問題，在證明過程中，采用了兩種技巧：（1） 將正態(tài)變量與“標(biāo)準(zhǔn)化”，從而將問題轉(zhuǎn)化成計算的問題.這里，與相互獨立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.（2） 方法1是二維隨機(jī)向量的函數(shù)的期望，計算時要用到二重積分，由于二重積分中的被積函數(shù)呈現(xiàn)出的形狀，而區(qū)域又是全平面（或半平面等），采用極坐標(biāo)更為方便.方法2是利用的解析表達(dá)式 將問題轉(zhuǎn)化為求的函數(shù)的期望，可用一重積分簡單地計算出,這種方法比方法1要簡單得多.同樣，利用 也可以證明綜例 一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量與顧客對該種商品的需求量是相互獨

26、立的隨機(jī)變量，且均服從區(qū)間上的均勻分布，商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過進(jìn)貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品獲利潤為500元，試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周利潤的期望值.【解】 設(shè)表示商店每周所得的利潤，則由題意 由題設(shè)知，的聯(lián)合密度函數(shù)為因此，由是的函數(shù)可知 【技巧】 本題為一綜合應(yīng)用題，問題的關(guān)鍵是找出利潤與進(jìn)貨量和需求量之間的函數(shù)關(guān)系，再利用的獨立性可計算出的期望，值得注意的是，由于是與的分區(qū)域函數(shù)，故在計算時，對不同的區(qū)域應(yīng)代入相應(yīng)的函數(shù)值，否則計算過程會出錯.綜例 數(shù)學(xué)系某班共有名新生，班長從系里領(lǐng)來他們所有的學(xué)生證，隨機(jī)地發(fā)給每一同學(xué)，試求恰好拿到自己的學(xué)生證的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差.【思路】 利用隨機(jī)變量的分解法來求解.【解】 設(shè)