第三章 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)

1、第三章 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)3.1 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)及其機(jī)率密度函數(shù)若隨機(jī)實(shí)驗(yàn)為一量度實(shí)驗(yàn)，像量血壓，自來水的氯含量，射箭的落點(diǎn)與靶心的距離等，當(dāng)我們記錄這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果時(shí)，我們會(huì)用整數(shù)或只保留一兩位小數(shù)，這是因?yàn)榱慷葍x器不夠精密或?yàn)橹奖阌涗?。若隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是長(zhǎng)度、時(shí)間、重量、體積等，一個(gè)比較正確的樣本空間為一實(shí)數(shù)區(qū)間，從這實(shí)驗(yàn)所定義的隨機(jī)變數(shù)的可能值也會(huì)是一實(shí)數(shù)區(qū)間，這種隨機(jī)變數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。除非令有說明，我們假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之值域?yàn)樗袑?shí)數(shù)所成的集合。若隨機(jī)變數(shù)為連續(xù)，我們就不能用離散型隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率函數(shù)去分配機(jī)率。一個(gè)湖裡有一群鱒魚，我們從湖中隨機(jī)抽取一條量其長(zhǎng)度，這是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，而長(zhǎng)度為

2、一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。表3.1 為100條鱒魚之魚身長(zhǎng)度(單位為公分cm)，其最小值為10.1，最大值為15.8，我們先將這100個(gè)數(shù)據(jù)以等距區(qū)間分組成表3.2。 分組表列時(shí),若我們有個(gè)數(shù)據(jù)而，我們可以用大約個(gè)區(qū)間，同時(shí)為避免數(shù)據(jù)落在區(qū)間之邊界點(diǎn)，我們對(duì)邊界點(diǎn)要採用多一個(gè)小數(shù)位。這題我們採用9個(gè)區(qū)間，每一區(qū)間長(zhǎng)度約為，本表取0.7。 15.0 15.3 14.4 10.4 10.2 11.5 15.4 11.7 15.0 10.913.610.513.815.013.814.513.713.912.5 15.210.713.110.612.114.914.112.714.010.114.110.3

3、15.215.012.910.710.310.815.314.914.814.911.810.411.011.414.315.111.510.210.114.715.112.814.815.010.413.514.514.913.910.114.813.710.910.612.414.510.515.115.812.015.510.814.415.414.811.415.110.315.415.014.015.015.113.714.710.714.513.911.715.110.911.310.515.314.014.612.615.310.4 表3.1 100條鱒魚身長(zhǎng) 區(qū) 間 區(qū)間中點(diǎn)

4、頻率 相對(duì)頻率(class interval) (class mark) (frequency) (relative frequency) 9.75-10.45 10.1 12 0.12 10.45-11.15 10.8 14 0.14 11.15-11.85 11.5 8 0.08 11.85-12.55 12.2 4 0.04 12.55-13.25 12.9 5 0.05 13.25-13.95 13.6 10 0.10 13.95-14.65 14.3 13 0.13 14.65-15.35 15.0 29 0.29 15.35-16.05 15.7 5 0.05 表3.2 我們?cè)儆靡?/p>

5、直方圖(histogram)展示上述數(shù)據(jù)，此圖之橫軸標(biāo)示區(qū)間之邊界點(diǎn)或區(qū)間中點(diǎn)，在每一區(qū)間上立一柱，其高度為該區(qū)間之頻率，如圖3.1。魚身長(zhǎng)度在某一區(qū)間之機(jī)率應(yīng)與該區(qū)間之柱狀面積成正比。例如：魚身長(zhǎng)度大於14公分之機(jī)率大概是。假設(shè)我們撈的魚增加，直方圖使用的區(qū)間也隨之增加，則區(qū)間寬度會(huì)漸漸縮小而直方圖會(huì)“平滑”成一曲線，而魚身長(zhǎng)度落在某一區(qū)間之機(jī)率應(yīng)該與曲線與區(qū)間所包圍之面積成正比。若我們將座標(biāo)調(diào)整使得曲線與軸包圍之面積為1，則隨機(jī)變數(shù)X在某一區(qū)間之機(jī)率就是該區(qū)間與之下所包圍之面積。 上述之函數(shù)稱為隨機(jī)變數(shù)X之機(jī)率密度函數(shù)。3025201510 5 9.75 10.45 11.15 11.85

6、 12.55 13.25 13.95 14.65 15.35 16.05 魚身長(zhǎng)度 圖3.1 以下我們給機(jī)率密度函數(shù)正式定義： 定義：若是一實(shí)數(shù)值函數(shù)滿足下列兩條件：(1) (2) 則稱為一機(jī)率密度函數(shù)(probability density function)若連續(xù)隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率密度函數(shù)為，則對(duì)a b於上式中，若取b = a ，則PX= a = 0故連續(xù)隨機(jī)變數(shù)出現(xiàn)任一點(diǎn)的機(jī)率均為0， 且Pa < X <b = Pa <X b = Pa X < b = Pa X b例題 令。要使為一機(jī)率密度函數(shù)，必須>0，同時(shí)，所以。例題 令。 是否為一機(jī)率密度函數(shù)？ (1)

7、故(2)故為一機(jī)率密度函數(shù)。例題 令之機(jī)率密度函數(shù)為(a) 求。(b) 求。(c) 求。解：(a) (b) (c) 根據(jù)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)機(jī)率的算法，。但在實(shí)際上當(dāng)我們量度東西時(shí)，其值會(huì)是一實(shí)數(shù)，像重量X為9.8，但，這是否意味著我們觀察到一個(gè)機(jī)率為0的事件？我們前面提過，當(dāng)我們量東西時(shí)，因受限於儀器的精密性，我們得到的是一個(gè)“近似值”，當(dāng)我們說重量是9.8時(shí)，我們應(yīng)將之解釋為重量是在這一個(gè)小區(qū)間裡，重量在一個(gè)區(qū)間之機(jī)率就不是0了。3.2 分佈函數(shù)若為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，則之機(jī)率為0，故機(jī)率密度函數(shù)的函數(shù)值已不代表隨機(jī)變數(shù)在該點(diǎn)的機(jī)率。因此我們主要有興趣的不是機(jī)率密度函數(shù)之函數(shù)值，而是機(jī)率密度函數(shù)與軸上

8、一區(qū)間所包圍之面積。 定義：若為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)而其機(jī)率密度函數(shù)為f， 則之分佈函數(shù)(distribution function) F 定義為 圖3.2 因?yàn)?，故。同時(shí)=。 從分佈函數(shù)之定義，我們可得知它具備以下性質(zhì)：(1) 。(2) 。(3) F為一非遞減(nondecreasing)函數(shù)。(4) 若X為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，則F為一連續(xù)函數(shù)。例題 令之機(jī)率密度函數(shù)為，則的分佈函數(shù)為 = 1 1 1 1 圖3.3例題 令之機(jī)率密度函數(shù)為 ，則的分佈函數(shù)為 = f(x) F(x) 1 1 x x 圖 3.4 定義：若連續(xù)隨機(jī)變數(shù)之分佈函數(shù)為F，則之第個(gè)百分位數(shù)( percentile)，為一實(shí)數(shù)滿足。

9、第25，50與75百分位數(shù)也分別稱為第一，第二，及第三四分位數(shù)(first , second , third quartile )而第二四分位數(shù)又稱為中位數(shù)(median)。f(x)x面積k/100 圖 3.5例題 承例題 若之第20個(gè)百分位數(shù)是，則，故。3.3 期望值與變異數(shù) 如同離散型隨機(jī)變數(shù)一樣，對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，我們亦可定義其期望值與變異數(shù)做為中心位置與擴(kuò)散程度的指標(biāo)。 定義：若為一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，f為其機(jī)率密度函數(shù)，則之期望值為定義為：。我們常用或EX來表示E(X)。若g為一實(shí)數(shù)函數(shù)，則g與X之合成函數(shù)Y = g(X) 亦可為一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。 求Y之期望值時(shí)，可先求Y的機(jī)率密度

10、函數(shù)，再依定義求之。 但通常我們不這麼做?？捎上铝泄角蟮茫阂来斯剑覀兛砂l(fā)現(xiàn)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)期望值亦擁有§2.3所討論的離散型隨機(jī)變數(shù)期望值的性質(zhì)，例如：a,b為實(shí)數(shù)，則E(aX+b)+= a EX +b令a = 0可得E(b) = b其他性質(zhì)亦然，不再贅述。若之機(jī)率密度函數(shù)為f，則之變異數(shù)則定義為：。而變異數(shù)的正二次方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。例題 令之機(jī)率密度函數(shù)為則3.4常態(tài)分佈定義：若一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率密度函數(shù)為 ，其中為任意實(shí)數(shù)，為一正數(shù)，我們稱之分佈為常態(tài)分佈(normal distribution)，與為這分佈之參數(shù)。我們用符號(hào)代表之分佈為常態(tài)分佈。 f(x) x 圖 3.6利用

11、變數(shù)變換與極座標(biāo)積分，我們可以證明上述定義中的為一機(jī)率密度函數(shù)，其證明可參考一般的微積分課本，本書不予證明。常態(tài)分佈具備下列性質(zhì)：(1) 其機(jī)率密度函數(shù)對(duì)稱於，因。(2) 是X之中位數(shù)。(3) 為之唯一最大值。(4) 之圖形為鐘形(bell-shaped)。(5) ，(6) 大約99%之機(jī)率集中在與之間。定義：若Z而，則Z之分佈稱為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈(standard normal distribution)，我們用符號(hào)表示標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈。之機(jī)率密度函數(shù)為 ，附錄B表2給了在0與()之間之機(jī)率，利用該表，我們可求得在(a,b)間之機(jī)率。例題 若(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (

12、h) 求之第75個(gè)百分位數(shù)我們知必須滿足，如圖3.7f(x)00.75圖3.7從表得知，(z -value)，記為z(0.25)。在統(tǒng)計(jì)分析上我們要常常用到值，我們用表示相對(duì)於之值，即之機(jī)率為(i) 求對(duì)稱於0之兩值，使Z落在其間之機(jī)率為0.95 -z z 圖3.8(j) 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈之重要性在於其他常態(tài)分佈可轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈。若，則，若我們要求，可先將標(biāo)準(zhǔn)化(standardize)，就是減掉，再除以，然後使用表2查機(jī)率。例題 假定人之智商(I.Q)之分佈為常態(tài)，期望值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為16。(a) 若我們隨機(jī)抽取一人，求其智商在100與115之間之機(jī)率。令為隨機(jī)抽取一人之智商， =(b)

13、 其智商大於90之機(jī)率。(c) 求智商之第33百分位數(shù)。令第33百分位數(shù)為將標(biāo)準(zhǔn)化，我們得從表我們得知故，(d) 求對(duì)稱於100之兩智商，在其中之機(jī)率為0.95。 0.025 0.475 0.025 100 圖 3.9令這兩智商為與從圖3.9得知我們要將標(biāo)準(zhǔn)化，我們得從表我們得故，.因與對(duì)稱於100，故例題 某科的學(xué)期成績(jī)?yōu)槌B(tài)分佈，期望值為72，標(biāo)準(zhǔn)差為12.5。該科老師將學(xué)期成績(jī)轉(zhuǎn)換成A B C D F 五等級(jí)，成績(jī)最高的8%得A，往下20%得B，往下42%得C，往下18%得D，其餘12%得F(不及格)。(a) 學(xué)期成績(jī)最低要多少才可得A?設(shè)為學(xué)期成績(jī)，則。設(shè)最低得A之成績(jī)?yōu)椋瑒t，轉(zhuǎn)換成標(biāo)

14、準(zhǔn)常態(tài)分佈，得從表得 0.08故， 1.41 圖3.10(b) 最低要多少分才可得一個(gè)C或以上之等級(jí)?設(shè)這最低分?jǐn)?shù)為，則將之標(biāo)準(zhǔn)化，得從表得 0.70故， (c) 及格至少要多少分? 圖3.11設(shè)及格最低分為，則0.88-1.17圖3.12從表得故， 3.5 用常態(tài)分佈近似二項(xiàng)分佈我們前面討論二項(xiàng)分佈之機(jī)率時(shí)，表只提供到之機(jī)率值，若，理論上我們可以用機(jī)率函數(shù)來算，但這計(jì)算將會(huì)非常煩瑣，此時(shí)我們常用常態(tài)分佈求其近似值。設(shè)為，從表我們得之機(jī)率函數(shù)值。 0 1 2 3 4 5 6 70.0000.0010.0060.0220.0610.1220.1830.209 8 9 10 11 12 13 14

15、0.1830.1220.0610.0220.0060.0010.000這機(jī)率分佈之直方圖為如圖3.13圖3.13這分佈對(duì)稱於，若我們?cè)谏霞由弦粸?4(0.5)=7，為14(0.5)(0.5)=3.5之常態(tài)分佈機(jī)率密度函數(shù)曲線，我們發(fā)現(xiàn)常態(tài)密度函數(shù)所包圍之面積與直方圖之面積很接近，像相對(duì)於之柱面積為0.061，我們用以上方法可求之機(jī)率函數(shù)值之近似值： 用常態(tài)分佈來近似二項(xiàng)分佈之誤差受與影響，一般來說越大，越接近0.5，其近似效果越好，原則上若與同時(shí)大於或等於5，則常態(tài)分佈會(huì)非常合理的近似二項(xiàng)分佈。若而夠大且並不太靠近0或1，我們?nèi)∨c有相同之期望值與變異數(shù)之常態(tài)分佈隨機(jī)變數(shù)為之近似值隨機(jī)變數(shù)，當(dāng)然

16、，求之機(jī)率時(shí)，我們必須將其標(biāo)準(zhǔn)化得標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈變數(shù)方能查表而得所要求的機(jī)率，在此過程中，還有一點(diǎn)要注意的是從離散型隨機(jī)變數(shù)轉(zhuǎn)換成連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)時(shí)，同時(shí)要將離散型的點(diǎn)k轉(zhuǎn)換成以該點(diǎn)為中心之單位區(qū)間，例如：。例題 設(shè)，以常態(tài)分佈為近似分佈求（i） (ii) (iii) (iv) 故 , , (i)(ii) =0.5793(iii) =0.7291(iv) 。除常態(tài)分佈之隨機(jī)變數(shù)外，我們往後還可看到其他連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，如t-分佈、分佈、分佈等隨機(jī)變數(shù)，其他連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)不在本書討論範(fàn)圍，有興趣的同學(xué)可參考其他機(jī)率論或數(shù)理統(tǒng)計(jì)的書籍。習(xí)題(1) 令f (x) =，求c使f為機(jī)率密度函數(shù)。(2) 令X為一

17、連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，其機(jī)率密度函數(shù)為f(x) = (a) 求P（X >） (b) 求P(X >| X >) (c) 求P（） (d) 求X之分佈函數(shù)。(3) 令X為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，其機(jī)率密度函數(shù)為f (x) = (a) 求P（| X | ） (b) 求Y = 2 X1 之分佈函數(shù) (c) 求W = 之分佈函數(shù)。(4) 令x為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，其機(jī)率密度函數(shù)為f(x) = (a) 求X之分佈函數(shù) (b) 求X之第25，50，75百分位數(shù) (c) 求E(X) (d)求Var(X)。(5) X之機(jī)率密度函數(shù)為 f(x) = ，求(a) P（X >） (b) 求P（| X 1| ） (

18、c) X之分佈函數(shù) (d) E(X) (e) Var(X)。(6)令Z N(0，1)，求(a) P(Z < 2.3) (b) P(-1.6 < Z < 1.8) (c) P( |Z| < 1.65) (d) P( |Z| > 2.33)(e) 第30百分位數(shù) (f) 第80百分位數(shù) (g) 求k使得P( |Z| > k) = 0.10。(7)假定男生身高x之分佈為N(168, 16)?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取1名男生(a) 他身高大於174之機(jī)率。(b) 求他身高介於165與170之機(jī)率。(c) 求身高之第37百分位數(shù)，90個(gè)百分位數(shù)。(d) 求對(duì)稱於168之兩值，身高在其中之機(jī)率為0.8。(8)以下每題先用二項(xiàng)分佈公式算出正確機(jī)率，再用常態(tài)