數(shù)學(xué)江蘇專用新設(shè)計(jì)大一輪講義+習(xí)題：第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第4講

1、第4講函數(shù)的奇偶性與周期性考試要求1.函數(shù)奇偶性的含義及判斷(B級(jí)要求)；2.運(yùn)用函數(shù)的圖象理解、研究函數(shù)的奇偶性(A級(jí)要求)；3.函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，周期性的判斷及應(yīng)用(B級(jí)要求).南派衍證體驗(yàn)回顧教材夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2 .奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域

2、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸又t稱.(3)若奇函數(shù)的定義域包含0,則f(0)=0.(4)定義在(8,+oo)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.(5)對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(ax)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a)Ct稱；若對(duì)于R上的任意x都有f(2ax)=f(x)或f(x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，即f(x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.3 .函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)

3、：對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.(3)函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論：若f(x+a)=f(x),則T=2a,1若f(x+a)=7丁，則T=2a,f(x)1若f(x+a)=則T=2a(a>0).f(x)診斷自測(cè)1 .思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打或"X”)(1)函數(shù)y=x2在xC(0,+8)上是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)

4、=0.()(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)v=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.()(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.()解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y=x2在(0,+oo)上不是偶函數(shù)，錯(cuò)誤.(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，其在x=0處有意義時(shí)才滿足f(0)=0,錯(cuò)誤.答案(1)X(2)X(3)V(4)V2 .(2019蘇州暑假測(cè)試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2xx；WJf(0)+f(1)=.解析因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,f(1)=f(1)

5、=(21)=1,因此f(0)+f(1)=1.答案13.(2017全國I卷改編)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則下列說法正確的是(Kff號(hào)).f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增；f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；丫二f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；丫;f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.解析由題意知，f(2x)=ln(2x)+lnx=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1112(1x對(duì)稱，正確，錯(cuò)誤；又fx)=-=(0<x<2),故f(x)在(0,1)x2-xx(2-x)上單調(diào)遞增，在1,2)上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤.答案4.(2019南京、鹽城模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的

6、偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t滿足f(lnt)+fln；<2f(1),那么t的取值范圍是.I考點(diǎn)聚焦突破I考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷【例11判斷下列函數(shù)的奇偶性:分類講練1以笑求法(2)f(x) =lg (1-x2) |x-2|-2(1)f(x)=y3X+,x23;x2+x,x<0,“-x2+x,x>0.3-x2>0,_2x2-3>0,行=均3，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镴3,回關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.從而f(x)=3-x2+x23=0.因此f(x)=f(x)且f(x)=f(x),函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).1x2>0,、，一一(2)由得定義域?yàn)?/p>

7、(1,0)U(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.出一2仔2,/2、.x2<0,|x-2|-2=-x,.f(x);gJxx又. f( x)=lg1 - (-x) 2_lg (1-x2)=f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一oo,0)U(0,+oo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.;當(dāng)x<0時(shí)，x>0,則f(x)=(x)2x=x2x=f(x);當(dāng)x>0時(shí)，x<0,則f(x)=(x)2x=x2x=f(x);綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(x)=f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是

8、函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(x)=0(奇函數(shù))或f(x)f(x)=0(偶函數(shù))是否成立.【訓(xùn)練11(1)給出下列四個(gè)函數(shù)：21丫:x+sin2x;y=x2cosx;2+2x；y=x2+sinx.其中既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(*序號(hào)).(2018鎮(zhèn)江期末)在函數(shù)y=xcosx,y=ex+x2,y=lgx2-2,y=xsinx中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是.解析(1)對(duì)于，定義域?yàn)镽,f(-x)=-x+sin2(x)=(x+sin2x)=f(x),為奇函數(shù)；對(duì)于，定義域?yàn)镽

9、,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2cosx=f(x),為偶函數(shù)；對(duì)于，定義域?yàn)镽,f(x)=2-x+/;=2x+J=f(x),為偶函數(shù)；y=2-2x2+sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù).(2)y=xcosx為奇函數(shù)，y=ex+x2為非奇非偶函數(shù)，y=IgJx22與y=xsinx為偶函數(shù).答案(2)2考點(diǎn)二函數(shù)的周期性【例2】(1)(2018全國II卷改編)已知f(x)是定義域?yàn)?,+oo)上的奇函數(shù)，滿足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=.1一一，一(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+2)=J,當(dāng)2&x03時(shí)

10、，f(x)f(.x;=x,則f(105.5)=.解析法一二”)是定義域?yàn)?oo,+oo)的奇函數(shù)，.(x)=f(x),且f(0)=0,.f(1x)=f(1+x),.f(x)=f(2x),f(x)=f(2+x),.f(2+x)=f(x),.f(4+x)=f(2+x)=f(x),，f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4,.(4)=*0)=0,f(2)=f(1+1)=f(11)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(12)=f(1)=2,.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(50)=12X0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.法二由題意可設(shè)f(x)=2sin/|!,作出f(x)

11、的部分圖象如圖所示.由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f+f(3)+f(4)+f(49)1f(x+4)=f(x+2)+2r=f(x).故函數(shù)的周期為4.f(105.5)=f(4X272.5)=f(2.5)=f(2.5).V2<2.5<3,由題意得f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.答案(1)2(2)2.5規(guī)律方法函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì).對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值.【訓(xùn)練2已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)=f(x1

12、),則f(2017)+f(2019)=.(2)(2019前黃中學(xué)、姜堰中學(xué)、漂陽中學(xué)聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)=x28x+30,貝U*限)=.解析(1)由題意得g(-x)=f(-x-1),又.f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù),g(x)=g(x),f(x)=f(x),.f(x1)=f(x+1),.f(x)=f(x+2),.f(x)=f(x+4),.f(x)的周期為4,.f(2017)=f(1),f(2019)=f(3)=f(1),又.f(1)=f(1)=g(0)=0,.f(2017)+f(2019)=0.(2)：f(x)是周期為2的奇

13、函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)=x28x+30=(x4)2+14,f(Vi0)=f(V10-4)=一f(4月)=(4回4)2+14=24.答案(1)024考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度1求函數(shù)值【例31】(1)(2019南師大附中等四校聯(lián)考)設(shè)必是定義在R上且周期為4的一，一、,一一，一，、-x+a,2<x<0,一，函數(shù)，在區(qū)間(一2,2上，其函數(shù)解析式是f(x)=其中aCR.J1-x|,0<x<2,若f(5)=f(5),則f(2a)的值是.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x31;當(dāng)一1&x01時(shí)，f(-x)=f(x);當(dāng)x>1時(shí)

14、，fjx+2卜平一2.則f(6)=.解析(1)易知f(5)=f(1)=1+a,f(5)=f(1)=|11|=0,結(jié)合f(5)=f(5)可得1+a=0,解得a=1,故f(2a)=f(2)=|12|=1.當(dāng)x>1時(shí)，由d+2j=q一2),得f(x)=f(x+1),.f(6)=f(1),又由題意知f(1)=f(1),且f(1)=(1)31=2.因此f(6)=f(1)=2.答案(1)1(2)2角度2求參數(shù)值【例32(1)(2018揚(yáng)州中學(xué)四模)若函數(shù)f(x)=xln(x+1a+x2)為偶函數(shù)，則a設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)=ax+ 1, bx+2 x+ 1

15、'1<x<0,0<x< 1,其中a, bCR.若f曰'= f| j,則a+3b的值為解析(1)由于函數(shù)f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數(shù)，則有f(x)=xln(x+a+x2)=f(x)=xln(x+1a+x2),可得一ln(x+aTx2)=ln(x+ya+x2),即ln(x+a+x2)+ln(x+Ja+x2)=0,即(-x+a+x2)(x+Aa+x2)=x2+a+x=a=1.(2)因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),所以嚕尸f(-1)且f(T)=f(1)，1c1、f2b+2_1-2J,從而1？a+1,2+1即3a+2b=2.b+2由f(1)=

16、f(1)得一a+1=,即b=2a.由得a=2,b=4,從而a+3b=10.答案(1)1(2)-10角度3求取值范圍1【例33】(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x|)-則使得f(x)>f(2x1)成立的x的1十x取值范圍是.(2018南京鹽城、連云港二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+xf(a)+f(a)<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解析(1)由f(x)=ln(1+|x|)知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)>f(2x1)1+x即為f(|x|)>f(|2x1|).-一1當(dāng)x0時(shí)，f(x)=ln(1+x)2,所以f(x)為0,+8

17、)上的增函數(shù)，則由f(x|)1+x21>f(|2x1|)彳#x|>|2x-1|,兩邊平萬得3x24x+K0,解得3<x<1.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2+x,則當(dāng)x<02a0，時(shí)，f(x)=f(x)=xx,則f(a)+f(a)=2f(a)<4,即為f(a)<2,則2或aw0,%2解得0&a<1或一1<a00,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一1,1).aa<2,k7-1,答案(1)&，1J(2)(-1,1)規(guī)律方法(1)根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性

18、或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間.(2)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)或x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.(3)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.(4)周期性與奇偶性的綜合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(5)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.【訓(xùn)練3】(1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0

19、<x<1時(shí)，f(x)=4x,則f5；+f(2)=.(2)若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4,+8)上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+4)為偶函數(shù)，則f(2),f(3)的大小關(guān)系為.(3)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為.解析(1)：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，.(0)=0,又f(x)在R上的周期為2,.f(2)=f(0)=0.p5111又f12尸fr2尸一巧尸42=2，.f1一5；+f(2)=-2.(2)=y=f(x+4)為偶函數(shù)，.-.f(-x+4)=f(x+4),因此y=f

20、(x)的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱， .f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+00)上為減函數(shù)， .f(5)>f(6),所以f(3)>f(2).法一易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù)， 奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)=0.；g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8,且a=g(log25.1)=g(log25.1), .g(3)>g(log25.1)>g(20.8),貝Uc>a>b.法二(特殊化)取f(x)=x,則g(x)=x2為偶函數(shù)且在(0,+00)上單調(diào)遞增，又3>l

21、og25.1>20.8,從而可得c>a>b.答案(1)2(2)f(2)<f(3)b<a<c出層限時(shí)訓(xùn)煉I爵，一,I溫層訓(xùn)練會(huì)提升能力會(huì)、必做題1.若f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=log2(2x),則f(0)+f(2)的值為.解析二僅)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x)=f(x)且f(0)=0,又x<0時(shí)，f(x)=log2(2x),.f(2)=log24=2,.f(2)=f(2)=2,.f(0)+f(2)的值為一2.答案24xa，一一，一-，一，2.若函數(shù)f(x)=7為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為x214x-a4a解析函數(shù)g)=工為

22、定義在x|xw0上的奇函數(shù)，則f(1)=f(1),一1=-24 a2,解得a=-1.答案13 .已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x23asin且f(3)=6,則a=.解析因?yàn)閒(3)=6,f(x)是奇函數(shù)，所以f(3)=6,所以f(3)=93asiny)=-6,所以a=5.答案54 .函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足f(3+x)=f(3x),當(dāng)x(0,3)時(shí)，f(x)=2x,則f(5)=.解析由題意得f(5)=f(3+2)=f(32)=f(1)=21=2,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(5)=f(5)=2.答案 25.若函數(shù)f(x)(xC R)是周期為4的奇函數(shù)，且在

23、0, 2上的解析式為f(x) =x (1 x) , 0<x< 1 ,、sin x% 1<x< 2,則喈 > 唱:尸解析 由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù),i= <2X4-3 ；+ ?2X4-pA. 16+ sin5答案磊2c 56=166.(2018南京三模)若f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，且f(x) =x2 + x+a, 0<x<2,c c c則f(a+1)的值為 6x+ 18, 2<x< 3,解析 由f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，得f(0) = f(3),解得a=0,則f(a+ 1)=f(1) = 2.答案 22

24、a- 37.設(shè)函數(shù)y= f(x)是定義在R上的周期T=3的奇函數(shù)，若f(1)>1, f(2)=17, . a十 1則實(shí)數(shù)a的取值范圍為2a 32a3解析由題設(shè)可得 f(2) = f(1) = f(1),因 f(1)>1, f(2)=,故一>1,a+1a+13a 2即<0,解之得a+ 12 1<a<o.3-1,8.函數(shù)y= 1 23sin xx4+x2+ 1(xC R)的最大值與最小值之和為sinx解析因?yàn)閥=xDI/xCR)為奇函數(shù)，其最大值與最小值之和為0,因此函sinx數(shù)y=i-1+/+1(xeR州勺最大值與最小值之和為2.答案29.(2019徐州期中抽

25、測(cè))已知函數(shù)f(x)=exex+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若f(2x1)+f(4-x2)>2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.解析根據(jù)題意，令g(x)=f(x)1=exe-x,有g(shù)(x)=f(x)1=exex=g(x),則g(x)為奇函數(shù)，對(duì)于g(x)=ex-e-x,其導(dǎo)函數(shù)g'x)=ex+e_x>0,則g(x)為增函數(shù)，且g(0)=e°e°=0,若f(2x1)+f(4x2)>2,則f(2x1)-1>-f(4/)1,即g(2x1)>g(x24),又由函數(shù)g(x)為增函數(shù)，則有2x1>x24,即x22x3<0,解得1<x<3

26、,即實(shí)數(shù)x的取值范圍為(1,3).答案(一1,3)10.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2,且f(1+x)=f(1x),當(dāng)Kx<0時(shí)，f(x)=x.判定f(x)的奇偶性;(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的表達(dá)式.解(1)-.f(1+x)=f(1-x),.-.f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),.r(一x)=f(x).又f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)是偶函數(shù).當(dāng)xC0,1時(shí)，一xC-1,0,則f(x)=f(x)=x;進(jìn)而當(dāng)10x&2時(shí)，一1&x200,f(x)=f(x2)=(x2)=x+2.-x,xC1,0,故f(x)=x,x(0,1),

27、l-x+2,x1,2.11設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=f(x),當(dāng)xC0,2時(shí)，f(x)=2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)xC2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+-+f(2019).(1)證明vf(x+2)=f(x), f(x+4)=f(x+2)=f(x). .f(x)是周期為4的周期函數(shù).解當(dāng)x-2,0時(shí)，一xC0,2.由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù)，.f(x)=f(x)=2xx2, .f(x)=x2+2x.又當(dāng)xC2,4時(shí)，x-4-2,0,f(x-4)=(x4)2+2(x4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， .f(x)=f(x4)=(x-4)2+2(x-4)=x26x+8. .xC2,4時(shí)，f(x)=x26x+8.解易得f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=3=f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)=0.二、選做題1-4x212.已知函數(shù)f(x)=sinxx+2,則關(guān)于