均值不等式八法

1、運(yùn)用均值不等式的八類拼湊方法利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí),我們常常會遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時(shí)需要對題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號成立條件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法。筆者把運(yùn)用均值不等式的拼湊方法概括為八類。一、 拼湊定和通過因式分解、納入根號內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例已知，求函數(shù)的最大值。解： 。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評注：通過因式分解，將函數(shù)解

2、析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。例2 求函數(shù)的最大值。解：。因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評注：將函數(shù)式中根號外的正變量移進(jìn)根號內(nèi)的目的是集中變元，為“拼湊定和”創(chuàng)造條件。例3 已知，求函數(shù)的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故，又。二、 拼湊定積通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件例4 設(shè)，求函數(shù)的最小值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问剑缓蟆捌礈?/p>

3、定積”，往往是十分方便的。例5 已知，求函數(shù)的最大值。解：，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變原式的結(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母“拼湊定積”。例6 已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)?，所以，令，則。所以。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。三、 拼湊常數(shù)降冪例7 若，求證：。分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)

4、應(yīng)拼湊項(xiàng)，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了。例8 若，求的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故的最大值為7。例9 已知，求證：。證明：，又，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。四、 拼湊常數(shù)升冪例10 若，且，求證。分析：已知與要求證的不等式都是關(guān)于的輪換對稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是，故應(yīng)拼湊，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。例11 若，求證：。證明：。又。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述

5、各式取“=”，故原不等式得證。五、 約分配湊通過“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)?，所以。所以。?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。例14 若，求證。分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于的輪換對稱式，當(dāng)時(shí)，等式成立。此時(shí)，設(shè)，解得，所以應(yīng)拼湊輔助式為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉目。證明：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。六、 引入?yún)?shù)拼湊 某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。例1

6、5 已知，且，求的最小值。解：設(shè)，故有。當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時(shí)，故的最小值為36。七、 引入對偶式拼湊 根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個(gè)與之對偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。例16 設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證。證明：記，構(gòu)造對偶式，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，所以，因此。評注：本題通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對偶式。八、 確立主元拼湊 在解答多元問題時(shí)，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。例17 在中，證明。分析：為輪換對稱式，即的地位相同，因此可選一個(gè)變元為主元，將其它變元看作常量（固定），減少變元個(gè)數(shù)，化陌生為熟悉。證明：當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立。 當(dāng)時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時(shí)，原不等式等號成立。 綜上所述，原不等式成立。評注：變形后選擇A為主元，先把A看作常量，B、C看作變量，把B、C這兩個(gè)變量集中到，然后利用的最大值為1將其整體消元，最后再回到A這個(gè)主元，變中求定。 綜上可見，