同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案定積分

1、 第五章 定積分 教學(xué)目的：1、 理解定積分的概念。2、 掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。3、 理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。4、 了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。 教學(xué)重點：1、 定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、 定積分的換元積分法與分部積分法。3、 牛頓萊布尼茨公式。 教學(xué)難點：1、 定積分的概念2、 積分中值定理3、 定積分的換元積分法分部積分法。4、 變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。§5. 1 定積分概念與性質(zhì) 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由

2、直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 求曲邊梯形的面積的近似值: 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形, 每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替, 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 具體方法是: 在區(qū)間a, b中任意插入若干個分點a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把a, b分成n個小區(qū)間x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1

3、, xn , 它們的長度依次為Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 經(jīng)過每一個分點作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形. 在每個小區(qū)間xi-1, xi 上任取一點x i , 以xi-1, xi 為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × 

4、5;+ f (x n )Dxn. 求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點越多、每個小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn , 于是, 上述增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l®0. 所以曲邊梯形的面積為. 2. 變速直線運動的路程 設(shè)物體作直線運動, 已知速度v=v(t)是時間間隔T 1, T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)³0, 計算在這段

5、時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . 求近似路程: 我們把時間間隔T 1, T 2分成n 個小的時間間隔Dti , 在每個小的時間間隔Dti內(nèi), 物體運動看成是均速的, 其速度近似為物體在時間間隔Dti內(nèi)某點x i的速度v(t i), 物體在時間間隔Dti內(nèi) 運動的距離近似為DSi= v(t i) Dti . 把物體在每一小的時間間隔Dti內(nèi) 運動的距離加起來作為物體在時間間隔T 1 , T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值. 具體做法是: 在時間間隔T 1 , T 2內(nèi)任意插入若干個分點T 1=t 0< t 1< t 2<× × ×< t n-1&l

6、t; t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n個小段t 0, t 1, t 1, t 2, × × ×, t n-1, t n , 各小段時間的長依次為Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,× × ×, Dt n =t n -t n-1. 相應(yīng)地, 在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為DS 1, DS 2, × × ×, DS n. 在時間間隔t i-1, t i上任取一個時刻t i (t i-1<t i< t i), 以t i時刻的速度v(t i)來代替t i-1, t i上

7、各個時刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, × × × , n). 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S 的近似值, 即; 求精確值: 記l = maxDt 1, Dt 2,× × ×, Dt n, 當(dāng)l®0時, 取上述和式的極限, 即得變速直線運動的路程. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 求直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積. (1)用分點a=x0<x1<x2< ×

8、; × ×<xn-1<xn =b把區(qū)間a, b分成n個小區(qū)間: x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, × × × , n). (2)任取x iÎxi-1, xi, 以xi-1, xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為 (i=1, 2, × × × , n); 所求曲邊梯形面積A的近似值為 . (3)記l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn

9、 , 所以曲邊梯形面積的精確值為 . 設(shè)物體作直線運動, 已知速度v=v(t)是時間間隔T 1, T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)³0, 計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . (1)用分點T1=t0<t1<t2<× × ×<t n-1<tn=T2把時間間隔T 1 , T 2分成n個小時間段: t0, t1, t1, t2, × × ×, tn-1, tn , 記Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, × × × , n). (2)任取tiÎti-1

10、, ti, 在時間段ti-1, ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(ti)Dti (i=1, 2, × × × , n); 所求路程S 的近似值為 . (3)記l=maxDt1, Dt2,× × ×, Dtn, 所求路程的精確值為 . 二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干個分點a =x0< x1< x2< × × ×< xn-1< x

11、n=b, 把區(qū)間a, b分成n個小區(qū)間x0, x1, x1, x2, × × ×, xn-1, xn , 各小段區(qū)間的長依次為Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1,× × ×, Dxn =xn -xn-1. 在每個小區(qū)間xi-1, xi上任取一個點x i (xi-1< x i < xi), 作函數(shù)值f (x i)與小區(qū)間長度Dxi的乘積f (x i) Dxi (i=1, 2,× × ×, n) , 并作出和. 記l = maxDx1, Dx2,× × ×, D

12、xn, 如果不論對a, b怎樣分法, 也不論在小區(qū)間xi-1, xi上點x i 怎樣取法, 只要當(dāng)l®0時, 和S 總趨于確定的極限I, 這時我們稱這個極限I為函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記作, 即 .其中f (x)叫做被積函數(shù), f (x)dx叫做被積表達(dá)式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積分上限, a, b叫做積分區(qū)間. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 用分點a=x0<x1<x2< × × ×<xn-1<xn=b把a, b分成n個小區(qū)間: x0, x1, x1, x2, ×

13、; × ×, xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1(i=1, 2,× × ×, n). 任x iÎxi-1, xi (i=1, 2,× × ×, n), 作和 . 記l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn, 如果當(dāng)l®0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和x i的取法無關(guān), 則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記作, 即 . 根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為. 變速直線運動的路程為. 說明: (1)定積

14、分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即. (2)和通常稱為f (x)的積分和. (3)如果函數(shù)f (x)在a, b上的定積分存在, 我們就說f (x)在區(qū)間a, b上可積. 函數(shù)f(x)在a, b上滿足什么條件時, f (x)在a, b上可積呢？ 定理1 設(shè)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則f (x) 在a, b上可積. 定理2 設(shè)f (x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個間斷點, 則f (x) 在a, b上可積. 定積分的幾何意義: 在區(qū)間a, b上, 當(dāng)f(x)³0時, 積分在幾何上表示由曲線y=f (x)、兩條直線x=a、x=b 與x軸所圍成的曲

15、邊梯形的面積; 當(dāng)f(x)£0時, 由曲線y =f (x)、兩條直線x=a、x=b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方, 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值; . 當(dāng)f (x)既取得正值又取得負(fù)值時, 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方, 而其它部分在x軸的下方. 如果我們對面積賦以正負(fù)號, 在x軸上方的圖形面積賦以正號, 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號, 則在一般情形下, 定積分的幾何意義為: 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a、x=b之間的各部分面積的代數(shù)和. 用定積分的定義計算定積分: 例1. 利用定義計算定積分. 解 把區(qū)間0, 1分成n等份, 分點為

16、和小區(qū)間長度為 (i=1, 2,× × ×, n-1), (i=1, 2,× × ×, n) . 取(i=1, 2,× × ×, n), 作積分和 . 因為, 當(dāng)l®0時, n®¥, 所以 . 利定積分的幾何意義求積分: 例2. 用定積分的幾何意義求. 解: 函數(shù)y=1-x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積. 因為以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以 . 三、定積分的性質(zhì)

17、 兩點規(guī)定: (1)當(dāng)a=b時, . (2)當(dāng)a>b時, . 性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即 . 證明: . 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 即 . 這是因為. 性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 . 這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性. 值得注意的是不論a ,b ,c的相對位置如何總有等式 成立. 例如, 當(dāng)a<b<c時, 由于 , 于是有 . 性質(zhì)4 如果在區(qū)間a b上f (x)º1 則 . 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)³0, 則 (a&

18、lt;b). 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)£ g(x) 則 (a<b). 這是因為g (x)-f (x)³0, 從而 , 所以 . 推論2 (a<b). 這是因為-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以 , 即 | . 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 (a<b). 證明 因為 m£ f (x)£ M , 所以 , 從而 . 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點x , 使下

19、式成立: . 這個公式叫做積分中值公式. 證明 由性質(zhì)6 ,各項除以b-a 得 ,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理, 在a, b上至少存在一點x , 使 ,于是兩端乘以b-a得中值公式 . 積分中值公式的幾何解釋: 應(yīng)注意: 不論a<b還是a>b, 積分中值公式都成立. §5. 2 微積分基本公式 一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)物體從某定點開始作直線運動, 在t時刻所經(jīng)過的路程為S(t), 速度為v=v(t)=S¢(t)(v(t)³0), 則在時間間隔T1, T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為 及,即 . 上式表明, 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間T1

20、, T2上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間T1, T2上的增量. 這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 并且設(shè)x為a, b上的一點. 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a, x上的定積分 稱為積分上限的函數(shù). 它是區(qū)間a, b上的函數(shù), 記為F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù) F(x)在a, b上具有導(dǎo)數(shù), 并且它的導(dǎo)數(shù)為 F¢(x)(a£x<b). 簡要證明 若xÎ(a, b), 取Dx使x+DxÎ(a, b). DF=F(

21、x+Dx)-F(x) ,應(yīng)用積分中值定理, 有DF=f (x)Dx, 其中x在x 與x+Dx之間, Dx®0時, x®x . 于是 F¢(x). 若x=a , 取Dx>0, 則同理可證F+¢(x)= f(a); 若x=b , 取Dx<0, 則同理可證F-¢(x)= f(b). 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù) F(x) 就是f (x)在a, b上的一個原函數(shù). 定理的重要意義: 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的, 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. 三、牛頓-萊布尼茨公式 定理3 如果

22、函數(shù)F (x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù), 則 . 此公式稱為牛頓-萊布尼茨公式, 也稱為微積分基本公式. 這是因為F(x)和F(x)=都是f(x)的原函數(shù), 所以存在常數(shù)C, 使 F(x)-F(x)=C (C為某一常數(shù)). 由F(a)-F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a), F(x)-F(x)=F(a). 由F(b)-F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)-F(a), 即 . 證明: 已知函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù)f(x) 的一個原函數(shù), 又根據(jù)定理2, 積分上限函數(shù) F(x)=也是f(x)的一個原函數(shù). 于是有一常數(shù)C, 使 F(x)-F(x)=C (a

23、63;x£b). 當(dāng)x=a時, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 當(dāng)x=b 時, F(b)-F(b)=F(a), 所以F(b)=F(b)-F(a), 即 . 為了方便起見, 可把F(b)-F(a)記成, 于是 . 進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系. 例1. 計算. 解: 由于是的一個原函數(shù), 所以 . 例2 計算. 解 由于arctan x是的一個原函數(shù), 所以 . 例3. 計算. 解: =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 計算正弦曲線y=sin x在0, p上與x軸所圍成的平面圖形的面積. 解: 這圖形是曲邊梯形的一個

24、特例. 它的面積 =-(-1)-(-1)=2. 例5. 汽車以每小時36km速度行駛, 到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a=-5m/s2剎車. 問從開始剎車到停車, 汽車走了多少距離？ 解 從開始剎車到停車所需的時間: 當(dāng)t=0時, 汽車速度 v0=36km/hm/s=10m/s. 剎車后t時刻汽車的速度為 v(t)=v0+at =10-5t . 當(dāng)汽車停止時, 速度v(t)=0, 從 v(t)=10-5t =0得, t=2(s). 于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為 (m), 即在剎車后, 汽車需走過10m才能停住. 例6. 設(shè)f(x)在0, +¥)內(nèi)連續(xù)且f(x)>

25、0. 證明函數(shù)在(0, +¥)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 證明: , . 故.按假設(shè), 當(dāng)0<t<x時f (t)>0, (x-t)f (t)> 0 , 所以, , 從而F ¢(x)>0 (x>0), 這就證明了F (x) 在(0, +¥)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 例7. 求. 解: 這是一個零比零型未定式, 由羅必達(dá)法則, . 提示: 設(shè), 則. . §5. 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t

26、)在a, b(或b, a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且其值域不越出a, b, 則有. 這個公式叫做定積分的換元公式. 證明 由假設(shè)知, f(x)在區(qū)間a, b上是連續(xù), 因而是可積的; f j(t)j¢(t)在區(qū)間a, b(或b, a)上也是連續(xù)的, 因而是可積的. 假設(shè)F(x)是f (x)的一個原函數(shù), 則=F(b)-F(a). 另一方面, 因為Fj(t)¢=F ¢j(t)j¢(t)= f j(t)j¢(t), 所以Fj(t)是f j(t)j¢(t)的一個原函數(shù), 從而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 計算

27、(a>0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 當(dāng)x=0時t=0, 當(dāng)x=a時. 例2 計算. 解 令t=cos x, 則 . 提示: 當(dāng)x=0時t=1, 當(dāng)時t=0. 或 . 例3 計算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 計算. 解 . 提示: , dx=tdt; 當(dāng)x=0時t=1, 當(dāng)x=4時t=3. 例5 證明: 若f (x)在-a, a上連續(xù)且為偶函數(shù), 則 . 證明 因為,而 , 所以 . 討論: 若f(x)在-a, a上連續(xù)且為奇函數(shù), 問？ 提示: 若f (x)為奇函數(shù), 則f (-x)+f (x)

28、 =0, 從而 . 例6 若f (x)在0, 1上連續(xù), 證明 (1); (2). 證明 (1)令, 則 . (2)令x=p-t, 則 , 所以 . 例7 設(shè)函數(shù), 計算. 解 設(shè)x-2=t, 則 . 提示: 設(shè)x-2=t, 則dx=dt; 當(dāng)x=1時t=-1, 當(dāng)x=4時t=2. 二、分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 式兩端在區(qū)間a, b上積分得, 或.這就是定積分的分部積分公式.分部積分過程: . 例1

29、 計算. 解 . 例2 計算. 解 令, 則 . 例3 設(shè), 證明 (1)當(dāng)n為正偶數(shù)時, ; (2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時, . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 設(shè)(n為正整數(shù)), 證明 , . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特別地 , .因此 , . §5. 4 反常積分 一、無窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上連續(xù), 取b>a . 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分, 記作,

30、 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分就沒有意義, 此時稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, b 上連續(xù), 如果極限(a<b)存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥, b 上的反常積分, 記作, 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 則稱反常積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, +¥)上連續(xù), 如果反常積分和都收斂, 則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分, 記作, 即 . 這時也稱反常積分收斂. 如果上式右端有一個反常積分發(fā)散, 則稱反常積分發(fā)散. 定義1¢ 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂; 否則稱此反常積分發(fā)散. 類似地, 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, b上和在區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分定義為. 反常積分的計算: 如果F(x)是f(x)的原函數(shù), 則 . 可采用如下簡記形式: . 類似