圓錐曲線方程知識點總結(jié)

1、2011年圓錐曲線方程知識點總結(jié)1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定

2、義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。如(08宣武一模) 已知P為拋物線上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)是，則的最小值是 _（答：）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（A，B，同正，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）；（2）若，且

3、，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（答：）；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）如:焦點（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐

4、標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。（3）不要思維定勢認為圓錐曲線方程都是標(biāo)準(zhǔn)方程4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，

5、橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。雙曲線焦點到漸近線的距離是,垂足恰好在準(zhǔn)線上如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；（2）雙曲線的離心

6、率為，則=（答：4或）；（3）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_（答：）；5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線

7、相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：(-,-1)）；（2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離

8、。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線

9、；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_（答：2）；（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：）；（3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）；（4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_（答：相離）；（5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（答：1）；（6）設(shè)雙曲線的右焦點為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左

10、支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點。當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)為何值時，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點？（答：；）；7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：）；（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，

11、則點的坐標(biāo)為_（答：）；（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)為_（答：）；（5）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（答：2）；（6）橢圓內(nèi)有一點，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標(biāo)為_（答：）；8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當(dāng)即為短軸端點時，最大為；，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為

12、、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點，F(xiàn)1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（答：）；（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當(dāng)·<0時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（答：）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則_（答：）；（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）；9、圓錐曲線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）拋物線以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線

13、相切；橢圓以過焦點的弦為直徑的圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相離，雙曲線以過焦點的弦為直徑的圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相交（2）設(shè)AB為焦點弦， M為與相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）拋物線設(shè)AB為焦點弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PAPB；（4）拋物線（橢圓，雙曲線）設(shè)AB為焦點弦若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點，則A，O，C三點共線。 10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦

14、長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）；（2）過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點，則ABC重心的橫坐標(biāo)為_（答：3）；11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：）；

15、（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線對稱（答：）；特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！12你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_（答：）（3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離

16、）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點13動點軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如拋物線頂點在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，過點，拋物線方程為_ （答：）；定義法：先根據(jù)條件得出

17、動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程為（答：）；（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ （答：）；(3) 一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的軌跡為（答：雙曲線的一支）；(4) (08東城一模) 已知定圓：，圓心為，動圓過點且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為.求曲線的方程；代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程。如周長16,動點P是其重心,當(dāng)運動時,則

18、P的軌跡方程為_（答：）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程,引入n個參量 需要n+ 1個等式 ,等式由幾何條件坐標(biāo)化得來 注意參量得范圍,。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MNAB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（答：）；（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（答：）；（3）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是_（答：）；(4)(08海淀一模)已知點分別是射線，上的動點，為坐標(biāo)原點，且的面積為定值2求線段中點的軌跡的方程

19、；注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行轉(zhuǎn)化。如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（1）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當(dāng)時不存在；當(dāng)時存在，此時F1MF22）曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上

20、特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”坐標(biāo)化(三點共線轉(zhuǎn)化為斜率相等)、化解析幾何問題為代數(shù)問題（方程與函數(shù)）、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知

21、是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條

22、角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;15圓錐曲線最值,定值,定點問題基本方法:拿到表達式或和問題等價的代數(shù)形式(西城)已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(海淀文科)已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點，它的短軸長為，右焦點為，右準(zhǔn)線與軸相交于點，過點的直線與橢圓相交于兩點， 點和點在上，且軸.(I) 求橢圓的方程及離心率；(II)當(dāng)時，求直線的方程； （III）求證：直線經(jīng)過線段的中點.16.解析幾何中求變量的范圍問題:基本方法:一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題.或轉(zhuǎn)化為解不等式例(08海淀一模)直線l過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且點A在x軸上方，若直線l的傾斜角, 則|FA|的取值范圍是（ ）（A）（B）（C） （D）例已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過