同濟(jì) 高等數(shù)學(xué) 課后習(xí)題解析

1、 書(shū)后部分習(xí)題解答P21頁(yè)3（3） （） 知識(shí)點(diǎn)：1）等比級(jí)數(shù)求和（共n項(xiàng)） 2）用P14例4的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，解：5.（1）判斷下列數(shù)列是否收斂，若收斂，則求出極限：設(shè)為正常數(shù)，證：由題意，（數(shù)列有下界）又（因）（數(shù)列單調(diào)減少）由單調(diào)有界定理，此數(shù)列收斂；記，對(duì)兩邊取極限，得，解得（負(fù)的舍去），故此數(shù)列的極限為.P35頁(yè)4.（8）極限(若以后學(xué)了洛必達(dá)法則（型未定型），則） 書(shū)后部分習(xí)題解答2P36頁(yè)8.已知當(dāng)時(shí)，求常數(shù). 知識(shí)點(diǎn)：1）等價(jià)無(wú)窮小的概念；2）熟記常用的等價(jià)無(wú)窮小，求極限時(shí)可用等價(jià)無(wú)窮小的替換定理。解：由題意：得或 （根式有理化）P42頁(yè)3（4）關(guān)于間斷點(diǎn)：為第二類間斷點(diǎn)說(shuō)明：不存

2、在（在的過(guò)程中，函數(shù)值不穩(wěn)定，不趨向與）P43頁(yè)7（1）證明方程在內(nèi)必有一實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：閉區(qū)間（一定要閉）上連續(xù)函數(shù)的根的存在定理證明：設(shè)，易知，在上連續(xù)； （注:設(shè)函數(shù)，閉區(qū)間） ， 故由根的存在定理，至少在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，即方程在內(nèi)必有一實(shí)根.P61頁(yè)3.設(shè)存在，求：（1） （2）（3）分析：因存在，則極限的值為。把（1）（2）（3）化為相應(yīng)可用極限的形式解：（1）（2） （3）8.用導(dǎo)數(shù)的定義求在處的導(dǎo)數(shù).（可參看P51例1-2）知識(shí)點(diǎn)：1）導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義：；2）點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)的定義與記號(hào)：左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 3）分段函數(shù)在分界點(diǎn)（具體的點(diǎn)）處的導(dǎo)數(shù)必須用導(dǎo)數(shù)的定義或左右導(dǎo)數(shù)的定義做。解：

3、因 （先寫(xiě)出處的函數(shù)值） 又 （在處的左導(dǎo)數(shù)定義） （在處的右導(dǎo)數(shù)定義）而10.設(shè)函數(shù)，為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？題型：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)的求法。解：由題意，函數(shù)在處連續(xù)，則，即，得又函數(shù)在處可導(dǎo)，則而（用到了）故 書(shū)后部分習(xí)題解答3（關(guān)于隱函數(shù)求導(dǎo)）P62頁(yè)14 設(shè)，求.分析：1）隱函數(shù)求導(dǎo)；2）由代入方程要求出的值。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)： 得： 又由代入方程，得，所以：20.已知，求，.要點(diǎn)：求隱函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的方法。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)： （1）把代入式（1），解得（或由式（1）解得： （2）再把點(diǎn)代入得）（求隱函數(shù)二階求導(dǎo)的方法）方法1：式（1）兩邊對(duì)求導(dǎo)，（記，）

4、 把，代入，得（代入：）方法2：式（2）對(duì)求導(dǎo)：，點(diǎn)、一階導(dǎo)數(shù)直接代入（不用化簡(jiǎn)，注意式中有0處的值）即可.P62頁(yè)15題.利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)（3）說(shuō)明：1）一定要用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)；2）取對(duì)數(shù)后，先化簡(jiǎn).解：取對(duì)數(shù)：（化簡(jiǎn)）兩邊對(duì)求導(dǎo)：所以： （代入） 書(shū)后部分習(xí)題解答4（關(guān)于中值定理與未定式極限）P82頁(yè)1檢驗(yàn)羅爾定理對(duì)函數(shù)是否成立？分析：1）即檢驗(yàn)是否符合羅爾定理的條件；2）若符合，是否存在？解：易知在1,2,2,3上連續(xù)，（1,2），（2,3）內(nèi)可導(dǎo)，且，故符合羅爾定理的條件。又由，得，故有，符合羅爾定理的結(jié)論.故羅爾定理對(duì)函數(shù)成立。4.(3)證：證：設(shè)，當(dāng)時(shí)，等式成立；若，則易知在上連

5、續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日定理存在，使取絕對(duì)值，得同理，可證綜合：有6.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間1,2上可微，證明：，其中.提示：對(duì)，用柯西中值定理.8.證明：，其中.題型：證明函數(shù)為常數(shù)；用到的知識(shí)：書(shū)78頁(yè)定理3.4（3）的結(jié)論，若，則.()證明：設(shè)，則，整理，當(dāng)，故，又所以：，當(dāng).P89頁(yè)（用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可以適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、整理等，目的簡(jiǎn)化計(jì)算）2（3）解： （用到連續(xù)性與極限的運(yùn)算，相當(dāng)于代入）（5）解： （整理，等價(jià)無(wú)窮小的代換）3.（2） （函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限）解：= （用了等價(jià)無(wú)窮小的代換） 4.（3） （冪指函數(shù)的極限）解：=先求（用到，時(shí)，無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小

6、）故（4）解：而(用到，)故7.試確定常數(shù)，使得.解：因， 又，上式分母，且極限存在，則必須分子得；則 =，得 書(shū)后部分習(xí)題解答4（關(guān)于中值定理與未定式極限）P82頁(yè)1檢驗(yàn)羅爾定理對(duì)函數(shù)是否成立？分析：1）即檢驗(yàn)是否符合羅爾定理的條件；2）若符合，是否存在？解：易知在1,2,2,3上連續(xù)，（1,2），（2,3）內(nèi)可導(dǎo)，且，故符合羅爾定理的條件。又由，得，故有，符合羅爾定理的結(jié)論.故羅爾定理對(duì)函數(shù)成立。4.(3)證：證：設(shè)，當(dāng)時(shí)，等式成立；若，則易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日定理存在，使取絕對(duì)值，得同理，可證綜合：有6.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間1,2上可微，證明：，其中.提示：對(duì)，用柯西中值定理.8.證明：，其中.題型：證明函數(shù)為常數(shù)；用到的知識(shí)：書(shū)78頁(yè)定理3.4（3）的結(jié)論，若，則.()證明：設(shè)，則，整理，當(dāng)，故，又所以：，當(dāng).P89頁(yè)（用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可以適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、整理等，目的簡(jiǎn)化計(jì)算）2（3）解： （用到連續(xù)性與極限的運(yùn)算，相當(dāng)于代入）（5）解： （整理，等價(jià)無(wú)窮小的代換）3.（2） （函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限）解：= （