概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、WORD格式"概率論與數(shù)理統(tǒng)計"綜合復(fù)習(xí)資料一、填空題專業(yè)資料整理WORD格式1由長期統(tǒng)計資料得知，某一地區(qū)在4 月份下雨記作事件A 的概率為4/15，刮風(fēng)記專業(yè)資料整理WORD格式作事件B的概率為7/15，刮風(fēng)又下雨記作事件C 的概率為1/10 。那么：專業(yè)資料整理WORD格式P(A|B)；專業(yè)資料整理WORD格式P( AB)。專業(yè)資料整理WORD格式2一批產(chǎn)品共有8 個正品2 個次品，從中任取兩次，每次取一個不放回。那么：專業(yè)資料整理WORD格式 1第一次取到正品，第二次取到次品的概率為；專業(yè)資料整理WORD格式 2恰有一次取到次品的概率為。3設(shè)A、B為事件，P( A)

2、0.6， P( AB)0.3 ，那么P( AB)。4設(shè)X與Y相互獨(dú)立，都服從0， 2上的均勻分布，那么P XY。5設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的泊松分布，且 E( X1)( X2)1 ，那么=。6設(shè)由來自總體XN(，1) 的容量為100 的樣本測得樣本均值X 5，那么的置信度近似等于 0.95 的置信區(qū)間為。7一個袋子中有5 只黑球3 只白球，從袋中任取兩只球，假設(shè)以A 表示：“取到的兩只球均為白球； B 表示：“取到的兩只球同色。那么 P( A)； P(B)。8設(shè)X的概率分布為f ( x)e x， x0，那么0， x0P X3； X 的分布函數(shù)F ( x)。9工廠A、B生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%

3、和 2%，現(xiàn)從由A、B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，假設(shè)取到的是次品， 那么該產(chǎn)品是A 工廠的概率為。，0 x 110設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為f (x)Ax，以 Y 表示對 X 的三次獨(dú)立重0，其它復(fù)觀察中事件 X1 出現(xiàn)的次數(shù)，那么 P Y2 =。211設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，且XN(2,32 )，那么 D (3X2Y)=。二、 選擇題1設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且分別服從N (1,22 ) 和 N(1,1) ，那么【】。專業(yè)資料整理WORD格式 APX Y 1 1/2BPX Y 0 1/2CPX Y 0 1/2DPX Y 1 1/22P( A) 0.4，P(B) 0.6，P(B|

4、A)0.5 ，那么 P( AB) 【】。(A) 1(B ) 0.7(C ) 0.8(D) 0.53甲、乙兩人獨(dú)立的對同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為 0.6 和 0.5，現(xiàn)目標(biāo)被命中，那么它是甲射中的概率是【】。( A) 0.6(B)5/11(C ) 0.75(D)6/114設(shè)事件A、B、C滿足ABC ，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是【】。(A)P(C)P( A) P( B)1(B)P(C)P( A)P( B)1(C ) P(C)P( AB)( D )P(C)P( AB)5B 為任意兩個事件，且AB ，P( B)0，那么必有【】。設(shè) A和(A)P(A)P(A|B)(B )P( A)P(A | B)

5、(C) P(A)P(A|B)(D )P(A)P(A | B)6設(shè)A和B是任意概率不為零的互斥事件，那么下結(jié)論正確的選項(xiàng)是【】。( A ) P(B A) P(B)(B)A與B互斥(C ) P(AB)P( A) P(B)(D)A與B不互斥C，2f ( x， y)0 x 1 0 y7設(shè)( X，Y)的概率密度，其它，那么 C【】。0(A) 3(B) 1/3(C ) 1/2(D) 2三、某工廠三個車間生產(chǎn)同一規(guī)格的產(chǎn)品， 其產(chǎn)量依次占全廠總產(chǎn)量的 25%、35%、40%，如果各車間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率依次為 5%、4%、2%。現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中隨機(jī)地取一件，求：1取到的是次品的概率；2假設(shè)取到的是次品，它是

6、第一車間生產(chǎn)的概率。四、某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為 4/5，今獨(dú)立重復(fù)地作刺激試驗(yàn)，直到發(fā)火為止，那么消耗的雷管數(shù) X 是一離散型隨機(jī)變量，求 X 的概率分布。五、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為X1012pk0.3 0.20.40.1求：1EX、DX； 2Y2X1 的概率分布；專業(yè)資料整理WORD格式六、設(shè) X 隨機(jī)地在 1，2，3 中任取一值， Y 隨機(jī)地在 1 X 中任取一整數(shù)值 , 求：專業(yè)資料整理WORD格式 1，Y)的分布律；2關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布律。( X七、 rvX 、Y 分別服從正態(tài)分布 N(0, 32) 和 N(2,42)，且 X 與Y的相關(guān)系數(shù)XY1/2，設(shè)Z

7、 X/3 Y/2，求：1數(shù)學(xué)期望 EZ ，方差 DZ ； 2 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù)XZ 。八、設(shè) X1， X 2， ， X n為X的一個樣本，X f ( x,(1)x ,0 x 1)0,其它其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。九 、 設(shè)X1，X 2，X 3，X 4是來自正態(tài)總體N ，2的隨機(jī)樣本，(03 )X a( X12X 2 )2 b(2X3 3X4 )2。試確定a、b使統(tǒng)計量X服從2 分布，并指出其自由度。十、設(shè)二維隨機(jī)變量X ，Y的概率分布為e y ,0xyf ( x, y)0,其它求： 1隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) f X ( x) ；（ 2概率PX Y 1。十一、設(shè) X、 Y

8、的概率分布為(x)1， 1 x5,4e 4 y， y 0,4( y)0，其它 ,0， y 0,求：E(X Y)和 (232) 。EXY專業(yè)資料整理WORD格式十二、設(shè)總體X 的分布列為專業(yè)資料整理WORD格式X10專業(yè)資料整理WORD格式pkp1p專業(yè)資料整理WORD格式X1，X2， X n為X 的一個樣本，求p 的極大似然估計。專業(yè)資料整理WORD格式十三、設(shè)P(A)0.3，P(B)0.4 ，P(AB)0.5 ，求P(B | (AB )。專業(yè)資料整理WORD格式十四、在某城市中發(fā)行三種報紙A 、B、C，經(jīng)調(diào)查，訂閱A報的有50%，訂閱 B 報的有30%，訂閱C報的有20%，同時訂閱A及 B

9、報的有10%，同時訂閱A及專業(yè)資料整理WORD格式C 報的有8%，同時訂閱B及 C 報的有5%，同時訂閱A、 B、 C 報的有3%，試求以下事件的概率：（ 1只訂閱A及B報； 2恰好訂閱兩種報紙。十五、甲、乙兩人各自同時向敵機(jī)射擊，甲擊中敵機(jī)的概率為0.8，乙擊中敵機(jī)的概率為 0.5，求以下事件的概率：( 1 ) 敵機(jī)被擊中；（ 2甲擊中乙擊不中；（ 3乙擊中甲擊不中。十六、在電源電壓不超過200，200240 和超過 240 伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001 和 0.2,假定電源電壓 X N (220,252 ) ，試求：提示：(0.8)0.788 1該電子元件

10、被損壞的概率2電子元件被損壞時，電源電壓在200240 伏內(nèi)的概率。專業(yè)資料整理WORD格式十七、設(shè)X1，X2， X n為總體X 的一個樣本，且X 服從幾何分布，即專業(yè)資料整理WORD格式P Xk(1p) k 1p ,k1,2,3,，求p 的極大似然估計量。專業(yè)資料整理WORD格式參考答案：一、填空題1 3/14 19/302 8/4516/4530.7；4 1/2； 51；6(4.804，5.196)；13/28；81e3；F (x)1 e x， x 07 3/280，x 093/7 10 9/6411 117二、 選擇題1C2C3C4B 5 D6A7C三、某工廠三個車間生產(chǎn)同一規(guī)格的產(chǎn)品，

11、 其產(chǎn)量依次占全廠總產(chǎn)量的 25%、35%、40%，如果各車間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率依次為 5%、4%、2%?，F(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中隨機(jī)地取一件，求：1取到的是次品的概率；2假設(shè)取到的是次品，它是第一車間生產(chǎn)的概率。專業(yè)資料整理WORD格式解：設(shè)事件 A 表示：“取到的產(chǎn)品是次品 ；事件 Ai表示：“取到的產(chǎn)品是第i 車間生產(chǎn)的 i1， 2， 3。2 分那么A1 A2A3，且 P( Ai )0，A1、A2、A3兩兩互斥，由全概率公式得3P( A)P( Ai ) P( A | Ai )5 分i 1255354402691001001001001001007 分2000P(A1|A)=3P( A1 )P(

12、A | A1)10 分P( Aj ) P( A | Aj )j125525100100分6912692000四、某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為 4/5，今獨(dú)立重復(fù)地作刺激試驗(yàn)，直到發(fā)火為止，那么消耗的雷管數(shù) X 是一離散型隨機(jī)變量，求 X 的概率分布。解： X 的可能取值為1，2， 3，。記 Ak表示“第 k 次試驗(yàn)雷管發(fā)火那么 Ak表示“第k次試驗(yàn)雷管不發(fā)火從而得,2 分p1P X1P(A1)45p2P X2P(A1A2 )P(A1 )P(A2 )1455p3PX 3 P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) (1)2412312355pkP XkP(A AAk 1A )(1)

13、k14 ,8 分12k55依次類推，得消耗的雷管數(shù)X 的概率分布為P X41k 1 k1，2，3， k( )55五、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為X1012pk0.30.20.40.1求： 1EX、DX； 2Y2X1 的概率分布；解：1EX10.300.210.42 0.10.3,4 分EX 2(1) 20.300.2120.4220.11.1,6 分專業(yè)資料整理WORD格式DXEX 2(EX ) 21.1( 0.3)21.01,8 分2Y 2X1 的概率分布Y3113pk0.30.20.40.1,12 分六、設(shè) X 隨機(jī)地在 1，2，3 中任取一值， Y 隨機(jī)地在 1 X 中任取一整數(shù)值 ,

14、求： 1 ( X，Y) 的分布律；2關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布律。解：1 ( X，Y) 的概率分布表為YX12311113692011,6 分69300192關(guān)于 X 的邊緣分布律為X123P Xxi pi1119 分33,3關(guān)于 Y 的邊緣分布律為Y123P Yyj pj1151 ,12 分18189七、 r v X、Y分別服從正態(tài)分布N (0,32) 和 N(2,42)，且 X 與Y的相關(guān)系數(shù)XY1/ 2，設(shè)ZX / 3Y/2，求：1數(shù)學(xué)期望 EZ，方差DZ ；2 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù)XZ。解：1由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得EZE( XY )E(X)E(Y )1012 1

15、,3 分323232DZD ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) 2C o v( X，Y )專業(yè)資料整理WORD格式323232專業(yè)資料整理WORD格式1DX1DY211 XYDXDY,5 分32223213214 221 1(1)341423 ,6分322 23222Cov ( X，Z )Cov ( X，1 X1 Y)1 Cov ( X , X )1 Cov ( X ,Y)32321 DX1XYDXDY0,9 分32從而有 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù)Cov( X , Z)0,10 分XZDXDZ八、設(shè) X1，X2， X n為X的一個樣本，X f ( x,)(1)x,0x10,其它其中1

16、為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。解：設(shè) x1，x2， xn為X1，X2， X n觀測值，那么構(gòu)造似然函數(shù)1)n (nL() (xi )3 分i 1nln Ln ln(1)ln xi5 分i1令d ln Lnn08 分dln xi1 i 1解的的極大似然估計量為"1nn10 分ln X ii 1九 、6 分設(shè) X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體 N(0，32) 的隨機(jī)樣本，X a( X12X 2)2b(2X3 3X4 )2。試確定a、b 使統(tǒng)計量X服從2 分布，并指出其自由度。解： 依題意，要使統(tǒng)計量X 服從2 分布，那么必需使a1/ 2 ( X1 2X 2 ) 及b1 / 2 (

17、2X 33X 4 ) 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,2 分由于 X1，X 2，X 3， X 4為簡單隨機(jī)樣本，故相互獨(dú)立，所以由正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)知a1/2 (X12X 2) N(0，(936 ) ，從而解得a1/45。aa專業(yè)資料整理WORD格式,4 分同理 b1/2(2X 1 3X 2) N (0，(36b81b)，從而解得b1/117 。,5 分由2分布定義知，當(dāng) a1、 b1時， X a( X12X 2 )2 b(2X3 3X4 ) 245117服從 2分布，且自由度為 2。,6 分十、設(shè)二維隨機(jī)變量X ， Y 的概率分布為e y ,0 x yf ( x, y)其它0,求： 1隨機(jī)變量 X 的密

18、度函數(shù) f X ( x) ；2概率P XY1 。解：1 x 0時，fX(x)=0；,2 分x 0時，fX(x) =f ( x, y)dye ydye x,4 分xe x，0x5 分故隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)fX(x) =x00，11x2PX Y1f ( x, y)dxdyydy2 dxeX Y10xe 111 2e 210 分十一、設(shè) X、 Y 的概率分布為(x)1， 1 x5,4e 4 y， y 0,4( y)y 0,0，其它 ,0，求：E(X Y)和 (232) 。EXY解：由于 X 在有限區(qū)間1，5上服從均勻分布，所以EX513 ；又由2于 Y 服從參數(shù)為4 的指數(shù)分布，所以EY = 1

19、、DY1，3 分416因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)2、性質(zhì) 3 及重要公式得E(X Y)EXEY313 16 分44專業(yè)資料整理WORD格式E(2X 3Y 2 )2E(X)3E(Y2 )6 3(DY (EY) 2) 635 5。10 分88十二、設(shè)總體 X 的分布列為X10pkp1pX1，X2， X n為 X 的一個樣本，求p的極大似然估計。解：設(shè) x1，x2， ， xn為X1，X2， X n觀測值，X的分布律為p(x, p)p x (1p)1 xx，01于是似然函數(shù)專業(yè)資料整理WORD格式nnpxi (1p)1 xiL( p)p(xi , p)i 1i 1nnpixinxi1(1p)i1nnln Ll

20、n pxi(nxi ) ln(1 p)i1i1nnd ln L ixinxi1i1dpp1p令d ln L0 ，解得p1nX ，因此p的極大似然估計為dpxin i 1p1 nxiXn i1十三、設(shè) P(A)0.3，P( B)0.4 ，P(AB)0.5，求 P(B|(A解：由于 P( B|( AB )P(B( AB) ，P(A B)B( AB) BABBBA，AABAB， ABAB，而2 分4 分6 分8 分10 分B) 。2 分3 分專業(yè)資料整理WORD格式P( BA)P( A) P( AB)1 P(A)P( AB)07.05.02. ，5 分P(A B)P( A) P( B)P( AB)0

21、.7 10.405.08. ，7 分故專業(yè)資料整理WORD格式P(B|( A B )P(B(AB )0.21 。8 分P( AB )08.4十四、在某城市中發(fā)行三種報紙A 、B、C，經(jīng)調(diào)查，訂閱A報的有50%，訂閱 B 報的有30%，訂閱C報的有20%，同時訂閱A及 B 報的有10%，同時訂閱A 及 C 報的有8%，同時訂閱B及 C 報的有5%，同時訂閱A、 B、 C 報的有3%，試求以下事件的概率： 1只訂閱A及B報； 2恰好訂閱兩種報紙。解：1 P( ABC ) P( ABC)P( ABABC),2 分P( AB)P(A B C),3分0.10.03 0.07,4分2P( ABCABCAB

22、C)P( ABC )P( ABC)P( ABC),6 分0.07 0.02 0.050.14,8分十五、甲、乙兩人各自同時向敵機(jī)射擊，甲擊中敵機(jī)的概率為0.8，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，求以下事件的概率：( 1 ) 敵機(jī)被擊中；（ 2甲擊中乙擊不中；（ 3乙擊中甲擊不中。解：設(shè)事件 A 表示：“甲擊中敵機(jī)；事件 B 表示：“乙擊中敵機(jī)；事件 C 表示：“敵機(jī)被擊中。那么1P(C) P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB)10.10.9,4 分2 P(AB)P(A)P(B)0.8(10.5)0.4,8 分3 P(AB)P(A)P(B)(10.8)0.50.1,12 分十六、在電源電壓不超過200，200240 和超過 240 伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001