圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題

1、第四講 圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題一、直線恒過定點(diǎn)問題 例1. 已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)分別作曲線的切線， 切點(diǎn)為、, 求證：直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)； 解：設(shè)，整理得：同理可得： ，又 ，.例1改為：已知、是拋物線上兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)例2、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，直線的方程為， 直線過P點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為N，直線PN恒 過一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。解：直線的方程為，即 設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 則，解得 直線的斜率為 從而直線的方程為： 即 從而直線恒過定點(diǎn) 二、恒為定值問題例3、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一

2、點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢 圓于A、B兩點(diǎn)。 （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求證直線AB的斜率為定值；解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ，所以橢圓的方程為 則，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為。 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)， 設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以直線AB的斜率為定值。 例4過拋物線的焦點(diǎn)作一直線叫拋物線于、兩點(diǎn)，求的值 例5、已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值. 解: 將代入中得 ， ，所以 。課后作業(yè)： 1. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且

3、不 過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn). （）求的最小值； （）若，求證：直線過定點(diǎn)； 解：（）由題意:設(shè)直線, 由消y得:, 設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即, 所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為, 因為O、E、D三點(diǎn)在同一直線上， 所以，即， 解得， 所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, 即的最小值為2. （）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為, 所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為, 又因為,且，所以, 又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為, 即有, 令得,y=0,與實數(shù)k無關(guān), 所以直線過定點(diǎn)(-1,0). 2. 已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)， 若，是否存在垂直軸的直線 被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在， 請說明理由 解：設(shè)的中點(diǎn)為，垂直于軸的直線方