單擺周期公式及影響單擺周期的因素研究

1、單擺周期公式及影響單擺周期的因素研究摘要：結(jié)合理論知識(shí)，基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建線性數(shù)學(xué)模型。對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。其中，理論部分主要依據(jù)高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)物理方法的知識(shí)，對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)周期公式進(jìn)行論證；實(shí)驗(yàn)部分主要通過(guò)改變單擺擺線長(zhǎng)度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；觀察、分析單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從而驗(yàn)證單擺周期公式。并對(duì)影響單擺周期的因素展開(kāi)研究。最后總結(jié)出影響單擺周期的因素。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型 ； 單擺運(yùn)動(dòng) ； 周期公式單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是一個(gè)古老的問(wèn)題，無(wú)論是中學(xué)物理還是大學(xué)物理，我們都在學(xué)習(xí)研究單擺。作為一個(gè)重要的理想物理模型，單擺的運(yùn)動(dòng)周期規(guī)律和實(shí)驗(yàn)研究在生產(chǎn)生活中意義重大。單擺問(wèn)題是物理學(xué)中經(jīng)典問(wèn)題。從閱讀物理學(xué)史并可知道，早在 1

2、583 年，十九歲的伽利略（15641642）在比薩教堂祈禱時(shí)注意到因被風(fēng)吹而擺動(dòng)的大燈，他利用自己的脈搏來(lái)測(cè)定大燈的擺動(dòng)周期，發(fā)現(xiàn)了擺的等時(shí)性。但現(xiàn)在這個(gè)故事的真實(shí)性受到懷疑 ,因?yàn)楸人_大教堂所保留的許多相關(guān)歷史文獻(xiàn)都表明該吊燈是在伽利略二十三歲那年才首次安裝的。專(zhuān)家指出，伽利略是于1602 年注意到單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，不過(guò)伽利略誤認(rèn)為在大擺動(dòng)條件下等時(shí)性也成立，他說(shuō)：“物體從直立圓環(huán)上任一點(diǎn)落到最低位置的時(shí)間相同?！彪S后吉多彼得做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論與實(shí)驗(yàn)不符，伽利略解釋說(shuō)可能是由于摩擦力。伽利略從實(shí)驗(yàn)中得出單擺周期與擺長(zhǎng)的平方根成正比。他還指出周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)。他說(shuō)：“因此我取兩個(gè)球，一個(gè)是

3、鉛的而另一個(gè)是軟木的，前者比后者重 100 多倍，用兩根等長(zhǎng)細(xì)線把它們懸掛起來(lái)、把每一個(gè)球從鉛直位置拉到旁邊，我在同一時(shí)刻放開(kāi)它們，它們就沿著以這些等長(zhǎng)線為半徑的圓周下落，穿過(guò)鉛垂位置，并且沿同一路徑返回?！弊钤缦到y(tǒng)地研究單擺的是惠根斯（ChristiaanH uygens）。由于當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)技術(shù)條件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很難精確測(cè)出來(lái)的，所以惠更斯不可能從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出或猜出單擺周期公式的系數(shù)。事實(shí)上，反過(guò)來(lái)重力加速度是 1659 年惠更斯根據(jù)單擺周期公式首次精確測(cè)出來(lái)的。他在巴黎用一個(gè)周惠更斯期為 2s的單擺 (即秒擺 )，測(cè)出擺長(zhǎng)為 3.0565英尺，從而計(jì)算出?；莞褂?1657

4、年取得了關(guān)于擺鐘的專(zhuān)利權(quán)?；莞棺顐ゴ蟮闹鲾[式時(shí)鐘或用于時(shí)鐘上的擺的運(yùn)動(dòng)的幾何證明于 1673 年在巴黎問(wèn)世。這本書(shū)共分 5部分，第一與或第五部分討論時(shí)鐘，第二部分討論質(zhì)點(diǎn)在重力作用下的自由落體運(yùn)動(dòng)以及沿光滑平面或曲面所作的約束運(yùn)動(dòng)，并證明了在大擺動(dòng)下約束在旋輪線上的物體等時(shí)降落的性質(zhì)，第三部分建立漸屈線理論，第四部分解決了復(fù)擺問(wèn)題。這是人類(lèi)第一次系統(tǒng)地研究約束運(yùn)動(dòng)的論著。1659 年，在對(duì)單擺的研究中，他導(dǎo)出了擺動(dòng)周期和沿著擺的長(zhǎng)從靜止開(kāi)始的自由落體時(shí)間之間的關(guān)系。他發(fā)表在擺式時(shí)鐘或用于時(shí)鐘上的擺的運(yùn)動(dòng)的幾何證明第四部分的結(jié)果1，相當(dāng)于在推導(dǎo)過(guò)程中，惠更斯使用了一個(gè)忽略周期與擺幅相關(guān)性的一

5、個(gè)近似。這樣引入的誤差在小的擺幅下可以忽略中學(xué)物理中與惠更斯有關(guān)的內(nèi)容還有彈性碰撞理論、向心力理論、光的波動(dòng)說(shuō)。從方法上看，惠更斯沿著伽利略開(kāi)創(chuàng)的實(shí)驗(yàn)與邏輯推理相結(jié)合的道路繼續(xù)前進(jìn)。和伽利略在物理研究中所采用的相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具相比較，惠更斯把無(wú)窮小幾何方法帶進(jìn)了力學(xué)領(lǐng)域。單擺是伽利略科學(xué)研究活動(dòng)的起點(diǎn),此外,單擺與自然哲學(xué)中一個(gè)歷史悠久的主題。通過(guò)參閱前人研究成果，基于普通物理實(shí)驗(yàn)，本文將對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)周期公式規(guī)律及影響單擺周期的因素展開(kāi)研究。1單擺運(yùn)動(dòng)學(xué)公式mg單擺作為一種理想的模型，我們研究的單擺問(wèn)題是在地球表面附近的情況。簡(jiǎn)單復(fù)述如下。如圖1所示,設(shè)擺球質(zhì)量為，半徑為，懸掛點(diǎn)O到小球質(zhì)心的

6、長(zhǎng)度為（擺線長(zhǎng)），且擺球所受地球引力視為恒力，且切向力它總是指向平衡點(diǎn)，在小球開(kāi)始左右擺動(dòng)時(shí)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，或 圖1單擺受力分析 Figure one pendulum stress analysis 其中，、分別表示小球的角位移、角速度和角加速度，為阻力常數(shù)，為固有角頻率。引入，作為新的基本量綱以代替原來(lái)的M，L，T量綱，則方程中各個(gè)量可以改寫(xiě)成 ， 由此可得到描述單擺運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱化微分方程為： 其中，都是無(wú)量綱物理量，也就是純數(shù)。 驗(yàn)證如下，以方括號(hào)表示原來(lái)的量綱。 ， ， ， 2單擺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)判定2眾所周知，彈簧振子振動(dòng)是圍繞著平衡位置作周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律與

7、其相似。目前，判別一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，常用的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判斷依據(jù)： （1） （2） （3） （1）式中是振子受的反向的與其位移成正比的線性回復(fù)力；（2）式是振子運(yùn)動(dòng)微分方程；（3）式說(shuō)明振子的位移可以用時(shí)間的余弦函數(shù)表示。在力學(xué)中，做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)振子一定受線性回復(fù)力的作用，并且該力必須是保守性質(zhì)的力。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的本證特征：首先做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)必須具有動(dòng)能和勢(shì)能，二者相互轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能守恒。動(dòng)能和勢(shì)能缺一不可，一個(gè)周期內(nèi)動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等。簡(jiǎn)諧振動(dòng)缺少勢(shì)能是不允許的。其次振動(dòng)所受的回復(fù)力應(yīng)是系統(tǒng)的保守內(nèi)力，系統(tǒng)才具有相關(guān)的勢(shì)能。第三，線性回復(fù)力總是指向穩(wěn)定的平衡位置。 以上分析可以得出

8、做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的兩個(gè)特點(diǎn)：1）受保守力的線性回復(fù)力； 2）振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。3在如圖（1）的單擺系統(tǒng)中根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，若視小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)（），質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： 當(dāng)取很小值時(shí)（），則，上式則為，。至此，根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的本證特征及判斷依據(jù)可判定單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。3單擺周期公式求解4以上已經(jīng)判定出單擺運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。接下來(lái)根據(jù)高等數(shù)學(xué)的積分知識(shí)求解單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。令單擺振動(dòng)的角頻率的平方等于，即，則。 由此可得出：，利用高等數(shù)學(xué)積分公式對(duì)積分得： （4） 式(4)就是所求的單擺運(yùn)動(dòng)周期的精確解.雖然該式是第一類(lèi)橢圓積分,無(wú)法用初等函數(shù)精確計(jì)算,但|sin2sin2|<<1,可用

9、二項(xiàng)式定理將被積函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),再逐項(xiàng)積分便得 T= （5） 式(5)是擺角小于等于(即)的任意角度的周期計(jì)算公式.5 當(dāng)非常小時(shí), ,略去以上高次方項(xiàng)得。將=帶入即可得出單擺周期公式： （6） 4單擺周期公式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證7經(jīng)過(guò)上面幾步我們已經(jīng)從理論角度求解出了單擺周期公式，接下來(lái)從實(shí)驗(yàn)角度驗(yàn)利用基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)通過(guò)作圖法證單擺周期公式。由第三步單擺周期公式解可知：?jiǎn)螖[周期和單擺的擺線長(zhǎng)度l以及當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)。 將（6）式等號(hào)左右兩邊同時(shí)平方得： （7） 在同一地點(diǎn)同一單擺重復(fù)做單擺實(shí)驗(yàn)我們認(rèn)為重力加速度是常量，根據(jù)上式（7）式可以構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，其中，。在其他條件都相同前提下改變一個(gè)

10、單擺的擺線長(zhǎng)度，測(cè)量出不同的周期值，求出對(duì)應(yīng)的。在直角坐標(biāo)紙上畫(huà)出圖像，若圖像中成正比關(guān)系，則可以說(shuō)明單擺周期公式正確。將（6）式等號(hào)左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得： （8） 在同一地點(diǎn)同一單擺重復(fù)做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為重力加速度g取有相同的值是個(gè)常量，根據(jù)上式（8）式可以構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，其中b是常量（）。在其他條件都相同前提下改變一個(gè)單擺的擺線長(zhǎng)度，測(cè)量出不同的周期值以及擺線，求出對(duì)應(yīng)的和的對(duì)數(shù)。在直角坐標(biāo)紙上畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖像，求解出數(shù)學(xué)模型的系數(shù)若則單擺周期公式成立。表1 單擺周期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表Table 1 Experimental data sheet pendulum cycle項(xiàng)目序號(hào) 1 2

11、 3 4 5 6 7 8擺長(zhǎng)0.9551.0891.1861.3331.4101.5301.5891.73周期1.9772.1112.2032.2342.402.5012.5502.660（）3.9094.4564.8535.4575.7646.2556.5037.0760.6820.7470.7900.8480.8760.9170.9360.978-0.0460.0860.1740.2870.3440.4240.4640.548根據(jù)上表得出的數(shù)據(jù)利用matlab曲線擬合最終作圖如下 圖2 關(guān)系圖Figure two diagram運(yùn)用matlab擬合得出的方程為：Matlab程序代碼：cle

12、ar,clc,close all,format shortx=0.955,1.089,1.186,1.333,1.410,1.530,1.59,1.73;y=3.909,4.456,4.853,5.457,5.764,6.255,6.503,7.076;a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',25);hold onxp=0.8:0.01:1.78;yp=polyval(a,xp);plot(xp,yp,'linewidth',2);title('關(guān)系圖','fontsize&#

13、39;,10);xlabel('L','fontsize',10);ylabel('T2','fontsize',10);grid on圖3 關(guān)系圖Figure three diagram運(yùn)用matlab擬合得出的方程為：Matlab程序代碼：clear,clc,close all,format shortx=-0.046,0.086,0.174,0.287,0.344,0.424,0.464,0.548;y=0.682,0.747,0.790,0.848,0.876,0.917,0.936,0.978;a=polyfit(x,y

14、,1)plot(x,y,'.r','markersize',25);hold onxp=-0.1:0.001:0.6;yp=polyval(a,xp);plot(xp,yp,'linewidth',2);title(' lnT-lnL關(guān)系圖','fontsize',10);xlabel('lnL','fontsize',10);ylabel('lnT','fontsize',10);grid on結(jié)論：通過(guò)實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理，可知，由（6）式變換出來(lái)的（7

15、）式繪制的圖成正比關(guān)系說(shuō)明（6）式單擺周期公式正確，由（6）式變換出來(lái)的（8）式繪制的圖成正比關(guān)系、不過(guò)原點(diǎn)且斜率等于0.5可說(shuō)明（6）式單擺周期公式正確。5影響單擺周期的因素8通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以明白理論和實(shí)際總是有著一定的差距，不論是通過(guò)的關(guān)系還是關(guān)系最終都只是近似的得到理論值，是什么因素影響著單擺周期？通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)：5.1擺角對(duì)單擺周期的影響9當(dāng)實(shí)驗(yàn)中拉開(kāi)的擺角越大時(shí)，單擺運(yùn)動(dòng)越混亂，如果擺角等于90度時(shí)，它的軌跡是不可尋的。當(dāng)擺角較大時(shí)，此時(shí)，R1=T/T0= 為便于作圖,將上式中的弧度化為角度,并取,則R1隨擺角的變化曲線如圖5所示.圖4擺角對(duì)單擺周期的影響Figure four

16、 angle on the pendulum swing cycleMatlab程序代碼：clear,clc,close allfigure(1)x=0:pi/20:pi/2;y=1+x.2/16+11*x.4/3072+173*x.6/737280;a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',15);hold onplot(x,y)title('單擺擺角對(duì)周期影響','fontsize',10);xlabel('','fontsize',10);ylabe

17、l('R1=T/T0','fontsize',10);grid on5.2擺球?qū)螖[周期影響10通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，同一懸線下，不同半徑的小球得到的周期是不同的。通過(guò)計(jì)算可知，是擺球的半徑影響了擺線長(zhǎng)度最終影響了單擺周期。設(shè)懸掛點(diǎn)到小球的距離為，小球質(zhì)量為，半徑是，若忽略因擺球運(yùn)動(dòng)而引起的擺線變化。設(shè)擺動(dòng)裝置對(duì)固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則單擺周期為化簡(jiǎn)可得利用matlab對(duì)上式求圖得：圖5 擺球半徑對(duì)單擺周期的影響Figure five ball radius on the pendulum swing cycleMatlab程序代碼：clear,clc,close a

18、llfigure(1)r=0.005:0.001:0.015;T=2*pi*sqrt(1/9.78)*sqrt(1+2/5*r.2);a=polyfit(r,T,1)plot(r,T,'.r','markersize',15);hold onplot(r,T)title('擺球半徑r對(duì)單擺周期的影響','fontsize',10);xlabel('r','fontsize',10);ylabel('T','fontsize',10);grid on 由此可知隨著增加得

19、到的周期值也增加。 5.3地球維度對(duì)單擺周期的影響11 通過(guò)查閱資料知道，由于地球自轉(zhuǎn)，地球表面的物體除了兩級(jí)其他各緯度下地球?qū)ξ矬w的吸引力不僅大小不等，方向也不一致。對(duì)此重力加速度g將隨著緯度的變化而變化，由次式（6） 取得不同的周期值。 5.4單擺系統(tǒng)距離地面高度對(duì)單擺周期的影響12 根據(jù)牛頓的萬(wàn)有引力我們知道處于地面不同高度的物體受到地球的吸引力是不同的，致使不同高度下的重力加速度是不相同的。現(xiàn)在設(shè)單擺系統(tǒng)處于高度為h的地方。根據(jù)萬(wàn)有引力可知，則由此可知隨著單擺系統(tǒng)所處位置的增高而變長(zhǎng)。 結(jié)論：通過(guò)查閱資料及運(yùn)算，單擺周期大小受到很多因素影響，擺角、擺球半徑、單擺系統(tǒng)所處的緯度、單擺系統(tǒng)

20、所處的高度。以及空氣密度等都將會(huì)影響到單擺周期。其中隨著擺角、擺球半徑、單擺系統(tǒng)所處高度增大而增大。隨著緯度增大而減小。 總結(jié)：?jiǎn)螖[規(guī)律在實(shí)際生活中應(yīng)用有著重要意義，通過(guò)研究得到了單擺的周期公式，同時(shí)也驗(yàn)證了單擺周期公式的正確性。在實(shí)際中影響單擺周期的因素非常的多，由于水平限制，只能考慮到有限的幾種。而且單擺涉及到各級(jí)物理教學(xué)，能夠深刻的了解、探究、認(rèn)識(shí)單擺規(guī)律及其實(shí)驗(yàn)問(wèn)題對(duì)物理教學(xué)有著不可替代的作用。有助于提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。 參考文獻(xiàn)1 姜濤.圖解單擺運(yùn)動(dòng)18世紀(jì)牛頓派教科書(shū)的處理方法J.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，17（4）,62-64. 2 譚志中，方靖淮

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