北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題07000233

1、課程編號(hào)：07000233 北京理工大學(xué)2011-2012學(xué)年第二學(xué)期2010級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題A卷一、設(shè)總體，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求常數(shù)c使得隨機(jī)變量服從F分布，指出分布的自由度并證明。二、設(shè)總體，其中為已知常數(shù)，為未知參數(shù)。是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為相應(yīng)的樣本觀測(cè)值。1.求參數(shù)的矩估計(jì)；2.求參數(shù)和的極大似然估計(jì)；3.證明，其中和都是的無偏估計(jì)；4.比較兩個(gè)無偏估計(jì)和的有效性并解釋結(jié)果。三、設(shè)總體服從泊松分布，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)椤?.求該檢驗(yàn)問題犯第一類錯(cuò)誤的概率；2.求該檢驗(yàn)問題犯第二類錯(cuò)誤的概率和在下的功效函數(shù)。四、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為

2、，其中為未知參數(shù)，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1.驗(yàn)證樣本分布族是指數(shù)族，并寫出其自然形式（標(biāo)準(zhǔn)形式）；2.證明是充分完全（完備）統(tǒng)計(jì)量，并求；3.利用充分完全統(tǒng)計(jì)量法和Cramer-Rao不等式方法證明是的一致最小方差無偏估計(jì)。五、設(shè)是從總體X抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且X的密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)。1.驗(yàn)證，進(jìn)而驗(yàn)證；2.考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題，給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；3.求參數(shù)的一個(gè)置信系數(shù)為的置信區(qū)間。六、擲一顆骰子60次得到如下結(jié)果，試在顯著性水平下檢驗(yàn)這顆骰子是否均勻？點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)781211913附表：六、此問題為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)中的分布擬合問題

3、（書6.4節(jié)250頁），不在這次考試的范圍，以下答案供參考。記表示擲出點(diǎn)，則檢驗(yàn)問題為，由表中數(shù)據(jù)：，因此接受，即認(rèn)為這顆骰子是均勻的。課程編號(hào)：07000233 北京理工大學(xué)2012-2013學(xué)年第二學(xué)期2011級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題A卷一、設(shè)總體，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，1.確定常數(shù)a使得隨機(jī)變量服從t分布，指出分布的自由度并證明。2.確定常數(shù)b使得隨機(jī)變量服從F分布，指出分布的自由度并證明。二、設(shè)總體，其分布列為，其中為未知參數(shù)，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為相應(yīng)的樣本觀測(cè)值。1.求參數(shù)的矩估計(jì)；2.求參數(shù)和的極大似然估計(jì)；3.利用充分完全統(tǒng)計(jì)量法和C-R不等式法證明是的一致最小方差無偏

4、估計(jì)。三、設(shè)總體，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)總體，是抽自總體Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，兩組樣本相互獨(dú)立，且已知。為使的置信系數(shù)為95%的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為，則樣本容量n可以取為多少？四、總體，其中為未知參數(shù)。是為抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)椋骸?.確定常數(shù)c，使得該檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.05；2求該檢驗(yàn)的功效函數(shù)和犯第二類錯(cuò)誤的概率，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示。五、設(shè)是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X的密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)。1.驗(yàn)證，進(jìn)而驗(yàn)證；2.考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題，給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；3.求參數(shù)的一個(gè)置信系數(shù)為的置信區(qū)間。附

5、表：。課程編號(hào)：07000233（MTH17172）北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第二學(xué)期2013級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題A卷一、（15分）設(shè)總體，其中，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（1），其中；（2）若，求服從的分布，并指出其自由度；（3）在（2）的條件下求。二、（20分）1.設(shè)總體服從伽瑪分布，其密度函數(shù)為：，其中均未知，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)；2. 設(shè)總體的密度函數(shù)為：，其中未知，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求和的極大似然估計(jì)（MLE）。三、（10分）設(shè)，未知，證明：是的無偏估計(jì)和相合估計(jì)。四、（10分）設(shè)總體，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為使的置信水平為95%的置

6、信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過1.96，樣本容量n至少為多少？五、（15分）總體X服從兩點(diǎn)分布，是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的一個(gè)檢驗(yàn)的否定域?yàn)椋骸Ｇ螅?.該檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率；2該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率；3.在下的功效函數(shù)。六、（30分）設(shè)是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且X的密度函數(shù)為，其中已知，未知。1.驗(yàn)證樣本分布族是指數(shù)族，并寫出其自然形式（標(biāo)準(zhǔn)形式）；2.證明是充分完全（完備）統(tǒng)計(jì)量；3.驗(yàn)證，進(jìn)而驗(yàn)證；4.利用充分完全統(tǒng)計(jì)量法和C-R不等式法證明是的一致最小方差無偏估計(jì)；5.考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題，給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；6.求參數(shù)的一個(gè)

7、置信水平為的置信區(qū)間。附表：。課程編號(hào)：07000233（MTH17172）北京理工大學(xué)2015-2016學(xué)年第二學(xué)期2014級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題A卷一、設(shè)總體，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，確定常數(shù)c使得隨機(jī)變量服從t分布。二、設(shè)總體的概率分布為：X123P其中為未知參數(shù)，是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本值分別為1,2,1,3,2,1，求參數(shù)的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。三、設(shè)是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且總體均值，總體方差。1.證明和（其中）都是的無偏估計(jì)；2.比較和的有效性。四、設(shè)有參數(shù)分布族，其中是參數(shù)空間，是從上述分布族中抽取的樣本。敘述參數(shù)的置信區(qū)間的定義，并解決下面的問題：設(shè)總體，從總體中抽取容量為36的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若以作為的置信區(qū)間，求置信水平。五、（15分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布，是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值?？紤]假設(shè)檢驗(yàn)問題，拒絕域?yàn)椋夯蛘摺?.求相應(yīng)于這兩個(gè)拒絕域的犯第一類錯(cuò)誤的概率；2求相應(yīng)于這兩個(gè)拒絕域的犯第二類錯(cuò)誤的概率。六、（30分）設(shè)是從總體X抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且X的密度函數(shù)為，其中未知。1.驗(yàn)證樣本分布族是指數(shù)族，并寫出其自然形式（標(biāo)準(zhǔn)形式）；2.證明是充分完全