曲面曲率計算方法的比較與分析

1、木多研究生專業(yè)課程報告曲面曲率直接計算方法的比較學(xué)院：信息學(xué)院課程名稱：三維可視化技術(shù)任課教師：劉曉寧姓名：朱麗品學(xué)號：201520973西北大學(xué)研究生處制曲面曲率直接計算方法的比較1、摘要曲面曲率的計算是圖形學(xué)的一個重要內(nèi)容，一般來說，曲面的一階微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二階微分量是指曲面的曲率等有關(guān)量.它們作為重要的曲面信息度量指標(biāo)，在計算機(jī)圖形學(xué)，機(jī)器人視覺和計算機(jī)輔助設(shè)計等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.此文對曲面上主曲率的2種直接估算方法（網(wǎng)格直接計算法和點(diǎn)云直接計算法）進(jìn)行了論述，并進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)與實(shí)驗(yàn)，并給出了其在顱像重合方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞曲面曲率、主曲率、點(diǎn)云、三角網(wǎng)格2、引

2、言傳統(tǒng)的曲面是連續(xù)形式的參數(shù)曲面和隱式曲面，其微分量的計算已經(jīng)有了較完備的方法.隨著激光測距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技術(shù)和硬件設(shè)備的長足進(jìn)步，以及圖形工業(yè)對任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光滑曲面造型的需求日益迫切，離散形式的曲面細(xì)分曲面、網(wǎng)格曲面和點(diǎn)云曲面正在逐漸成為計算機(jī)圖形學(xué)和幾何設(shè)計領(lǐng)域的新寵.于是，對這種離散形式的曲面如何估算微分量，就成為一個緊迫的課題。CT掃描技術(shù)獲得的原始點(diǎn)云和網(wǎng)格數(shù)據(jù)通常只包含物體表面的空間三維坐標(biāo)信息及其三維網(wǎng)格信息，沒有明確的幾何信息，而在點(diǎn)云和網(wǎng)格的簡化、建模、去噪、特征提取等數(shù)據(jù)處理和模式識別中，常需要提前獲知各點(diǎn)的幾何信息，如點(diǎn)的曲率、法向量等，也正基于此，點(diǎn)云和網(wǎng)格的幾何信

3、息提取算法一直是研究的熱點(diǎn)。點(diǎn)的法向量和曲率通常采用離散曲面的微分幾何理論來計算，由于離散曲面分為網(wǎng)格和點(diǎn)集兩種形式，具法向量和曲率計算也分為兩類：一類是基于網(wǎng)格的法向量和曲率計算，另一類是基于散點(diǎn)的法向量和曲率計算。由于基于三角網(wǎng)的點(diǎn)云幾何信息計算精度一般比較低，通常采用直接計算法。在點(diǎn)云幾何信息提取中，常采用基于散亂點(diǎn)的點(diǎn)云幾何信息計算方法，該類方法主要是通過直接計算法和最小二乘擬合算法獲取點(diǎn)云的局部n次曲面，然后根據(jù)曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而點(diǎn)云的局部曲面表示有兩種：一是基于法向距離的局部曲面表示，二是基于歐幾里德距離的局部曲面表示。本節(jié)中針對近幾年來國際

4、上提出的對三角網(wǎng)格曲面估算離散曲率的直接估算法，從數(shù)學(xué)思想與表達(dá)形式等方面進(jìn)行系統(tǒng)的歸納與總結(jié).3、三角網(wǎng)格曲面的曲率的計算及代碼實(shí)現(xiàn)為了敘述清楚起見，引入統(tǒng)一的記號.ki和k2表示主曲率，曲面的主曲率即過曲面上某個點(diǎn)具有無窮個曲線，也就存在無窮個曲率（法曲率），其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個曲率為極大值k1,垂直于極大曲率面的曲率為極小值k2。這兩個曲率的屬性為主曲率。它們代表著法曲率的極值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。H表示平均曲率，是空間上曲面上某一點(diǎn)任意兩個相互垂直的正交曲率的平均值。如果一組相互垂直的正交曲率可表示為K1、K2,那么平均曲率則為：H=(Ki+K2)/

5、2K表示曲面的高斯曲率，兩個主曲率的乘積即為高斯曲率，又稱總曲率，反映某點(diǎn)上總的完全程度。K=ki*k2ON張表不法曲率，n表不法向量.考慮三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)ViO(1)曲面二角網(wǎng)格的表水形式給一個三維曲面，如下圖所示，如果用文本形式將其打開，則是由兩部分組成，第一部分以v開頭是三維的點(diǎn)，第二部分以f開頭是三個第一步：估計給定點(diǎn)的法向量三角網(wǎng)格模型一般情況下可以由一對線性表表示，M=(V,F)；其中V=vi：1<=i<=nv表示頂點(diǎn)集，F(xiàn)=fK：i<=k<=nf表示三角片集。如下圖所示：各個三角片的法向量的計算，在計算以Vi為公共頂點(diǎn)的法向量時，由于后面的計算要取其平均值，

6、故必須保證法向量方向的一致性，在這里要用到了數(shù)學(xué)上的右手法則或者左手法則，即與Vi相鄰的點(diǎn)形成一個三維的封閉的圈，按照右手法則給其線段標(biāo)注方向，如下圖所不。三角面片fk的法向量Nfk的計算公式如下：Nfk=(vi-Vj+1)*(vj+1-Vj)/|(Vi-Vj+i)*(Vj+i-Vj)|；我們稱1-環(huán)鄰域是與點(diǎn)Vi相鄰的三角形集合。圖中除頂點(diǎn)Vi外具它頂點(diǎn)組成的集合記為V如果頂點(diǎn)Vj屬于Vi,則Vj是Vi的相鄰點(diǎn)。Vi中頂點(diǎn)的個數(shù)稱為其頂點(diǎn)的度，記為|N(i)|。包含Vi的三角形片集合記為Fi。如果三角形片記fk屬于F：記為fk6Fi。記網(wǎng)為三角形片的面積。包含點(diǎn)Vi的三角片的面積之和記為N(

7、vi)。離散三角網(wǎng)格上法向量和法曲率也有一般的定義方法，這些幾何量估算的準(zhǔn)確度對高斯曲率和平均曲率的準(zhǔn)確度影響很大。對于離散三角網(wǎng)格曲面M=(V,F),任意點(diǎn)Vi的法向量一般可定義為1-環(huán)三角形某些幾何量的加權(quán)和。最簡單的加權(quán)方法為1-環(huán)三角形的法向量平均值，定義如下：對于三角網(wǎng)格上任意點(diǎn)Vi,法曲率通常使用公式第二步：計算法曲率，得到兩個主曲率Ki和K2對于三角網(wǎng)格上任意點(diǎn)s,法曲率通常使用公式第三步：計算高斯曲率和平均曲率K=Ki*K2H=(K1+K2)/2實(shí)現(xiàn)代碼見附件4、點(diǎn)云曲面的曲率的計算及代碼實(shí)現(xiàn)(1)點(diǎn)云簡介點(diǎn)云(CloudPoints)是由很多單個的點(diǎn)組成的集合。點(diǎn)是最簡單、最

8、基本的幾何定義實(shí)體。記錄了模型表面離散點(diǎn)上的各種物理信息，例如模型表面離散點(diǎn)的三維位置坐標(biāo)、大小、法向量、顏色、透明度、紋理特征等。用點(diǎn)云表示的顱骨如下圖所示：(2)點(diǎn)云模型曲率計算-直接計算、一一、，I'1)選取當(dāng)前的點(diǎn)R(x,y,z);2)運(yùn)用kd-tree查找點(diǎn)R的最近鄰的m個點(diǎn)，夠成m*3的矩陣A;3)計算協(xié)方差矩陣AA；4)求解3)中獲得的協(xié)方差矩陣的特征值-2,3；5)取1,2,3中的最小特征值min；6)計算P：的曲率：min/(1+2+3)；實(shí)現(xiàn)代碼見附件5、曲面曲率的應(yīng)用(1)基于曲率的點(diǎn)采樣曲面簡化對于從原始的幾何形體采樣得到的密集點(diǎn)云來說，有時并不需要豐富的細(xì)節(jié)特

9、征只需要形體的大致輪廓，或者為了避免對利用采樣得到的密集點(diǎn)云進(jìn)行曲面重建后再簡化。這時為了有利于繪制，方便后續(xù)處理就有必要對點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行簡化。關(guān)于點(diǎn)采樣曲面的簡化,Pauly等14】提出了幾種有效的方法，主要是將原來網(wǎng)格曲面成熟的簡化算法推廣到點(diǎn)采樣曲面。從微分幾何的角度來看，原始曲面曲率較高的區(qū)域，應(yīng)該用較多的采樣點(diǎn)表示，相反則用相對較少的采樣點(diǎn)表示。曲率是反映曲面的基本特性，因此常用作簡化的閾值準(zhǔn)則之一。一般基于曲率的簡化是這樣的：設(shè)一個閾值，小于閾值的簡化掉反之則給予保留；反復(fù)重復(fù)該過程直至簡化之后的點(diǎn)個數(shù)滿足要求為止，或者當(dāng)沒有小于閾值的采樣點(diǎn)了。然而這種做法一個明顯不足的是，簡化可

10、能一直在某個曲相差微小的區(qū)域進(jìn)行，相反在需要簡化的曲面區(qū)域則沒有簡化到。為此，簡化算法可以這樣改進(jìn)：首先根據(jù)曲率大小把曲率分成不同的區(qū)間段，相當(dāng)于對點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行分割，然后設(shè)一個曲率偏差，最后把每個區(qū)間段內(nèi)與最大曲率點(diǎn)相差小于偏差的采樣點(diǎn)簡化掉。這樣做法的最大好處在于點(diǎn)采樣曲面的不同曲率間段的區(qū)域都簡化到。根據(jù)不同的需要，區(qū)間段的個數(shù)，曲率偏差可以取不同的值，甚至每個區(qū)間段的曲率偏差可以取不同。(2)特征提取特征提取在計算機(jī)視覺、圖像處理、逆向工程等領(lǐng)域得到廣泛研究。在逆向工程中，三維幾何形體的特征提取在曲面的重建、光順去噪等都占有重要的地位。Gumhold等【5】通過Hoppe等的主元分析，

11、為每個采樣點(diǎn)加權(quán)，接著利用最小生成圖(minimumspanninggraph)提出一種直接在點(diǎn)云曲面進(jìn)行特征提出的方法；與之類似，Pauly等5將圖像處理中的多尺度概念引入點(diǎn)采樣曲面，提出一種抗干擾性更強(qiáng)的多尺度特征提取方法。本文對點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行特征提取采用的方法也與Gumhold類似，只不過算法中的曲率計算方法不一樣。曲率計算在工程、醫(yī)學(xué)、信息學(xué)等方面都有很多的應(yīng)用，在法醫(yī)學(xué)上，對于無身源顱骨和失蹤人照片重疊的過程中，輪廓線的曲率是一個重要的指標(biāo)。在工程制造方面，曲率的一致性也發(fā)揮了很大的作用6、總結(jié)本文首先給出了兩種方法在點(diǎn)集上直接計算曲率，試驗(yàn)表明這兩種方法都可以達(dá)到很小的誤差，然后我

12、們從準(zhǔn)確度和效率上對這兩種方法做了比較，給出了各自的適用場合.進(jìn)一步的工作可以考慮曲率的一些應(yīng)用.在點(diǎn)集的重采樣和點(diǎn)集的簡化6中,曲率可以起指導(dǎo)作用，比如曲率小的區(qū)域比較平坦，采樣密度可以小一些.在點(diǎn)集的繪制方面,A.Kalaiah等人4提出了一種基于曲率的繪制方法，但是他們的曲率是通過參數(shù)曲面或者網(wǎng)格計算得到的，而結(jié)合我們的方法，就可以直接從點(diǎn)集進(jìn)行繪制.本文填補(bǔ)了從點(diǎn)集模型計算曲面曲率的空白，拓展了點(diǎn)集模型的應(yīng)用。7、參考文獻(xiàn)【1】鄒凱，等.山區(qū)公路路基邊坡地質(zhì)災(zāi)害遠(yuǎn)程監(jiān)測預(yù)報系統(tǒng)開發(fā)及應(yīng)用J.巖土力學(xué)，21賀美芳.基于散亂點(diǎn)集數(shù)據(jù)的曲面重建關(guān)鍵技術(shù)研究D.南京航空航天大學(xué)，2006.【3】吳劍煌.點(diǎn)采樣曲面曲率估計。4王奎武.基于點(diǎn)表示的曲面曲率計算方法?！?】ZwickerM,PaulyM,KnollOetal.Pointshop3D:aninteractivesystemforpoint-based