新人教版九上《2124一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》課件

1、21.2.4 一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的根與系數(shù)的關(guān)系1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 復(fù)習(xí)提問(wèn)復(fù)習(xí)提問(wèn)2.2.求根公式求根公式 方程方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2 2-3-3x+2=0+2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x +4=0-5x +4=0問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根x1+ x2，x1 x2與系數(shù)有什么規(guī)律？與系數(shù)有什么規(guī)律？ 猜想：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為猜想：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1 1時(shí)，方程時(shí)，方程 x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的兩根為的兩根為x x1, x2qx

2、xpxx21212 2 1 13 32 2-1 3 2 2-3-31 1 4 4 5 54 4 方方 程程 x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291372343131-2-23732x1+ x2，x1x2與系數(shù)有什么規(guī)律與系數(shù)有什么規(guī)律?372猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a、b b、c c是常數(shù)且是常數(shù)且a a0 0）的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2，則：則： x x1 1+ +x x2 2和和x x1 1.x.x2 2與系數(shù)與系數(shù)a a，b b，c c 的關(guān)系的關(guān)系

3、. .abxx21acxx21042 acb x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21xx21.abac任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是的兩個(gè)根是X1 , X2 ,那么那么X1 + X2= , X1 X2= ab-ac（韋達(dá)定理）（韋達(dá)定理）注：能用根與系數(shù)

4、的關(guān)系的注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為前提條件為b2-4ac0一、直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系一、直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系例例1、不解方程，求下列方程兩根的和與積、不解方程，求下列方程兩根的和與積.知識(shí)源于知識(shí)源于悟悟222415)3(0973)2(0156)1 (xxxxxx在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X X1 1+X+X2 2= = 時(shí)，時(shí)， 注意注意“ ” ”不要漏寫(xiě)不要漏寫(xiě). .ab二、求關(guān)于兩根的對(duì)稱式或代數(shù)式的值二、求關(guān)于兩根的對(duì)稱式或代數(shù)式的值2221) 1 (xx 例例2、設(shè)

5、、設(shè) 是方程是方程 的兩個(gè)的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221)(6(xx 2111) 2(xx關(guān)于兩根幾種常見(jiàn)的求值關(guān)于兩根幾種常見(jiàn)的求值2111. 4xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 6xx221)(xx 212214)(xxxx212 xx2221. 1xx221)(xx221).(2xx221)(xx 21

6、4 xx例例3 3、求一個(gè)一元二次方程，使、求一個(gè)一元二次方程，使 它的兩個(gè)根是它的兩個(gè)根是2 2和和3 3，且二，且二 次項(xiàng)系數(shù)為次項(xiàng)系數(shù)為1.1.變式：且二次項(xiàng)系數(shù)為變式：且二次項(xiàng)系數(shù)為5 5例例4 4、已知關(guān)于、已知關(guān)于x x的方程的方程x x2 2-5x-2=0-5x-2=0（1 1）, ,且關(guān)于且關(guān)于y y的方程的兩根分別是的方程的兩根分別是方程（方程（1 1）的兩根）的兩根的平方的平方. .求關(guān)于求關(guān)于y y的方程的方程. .的倒數(shù)的倒數(shù). .的相反數(shù)的相反數(shù). .比比都大都大2.2.例例5 5、小明和小敏解同一個(gè)一元二次、小明和小敏解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)所求

7、方程時(shí)，小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)所求出的根為出的根為-9-9和和-1-1；小敏看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)；小敏看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)所求出的根是所求出的根是8 8和和2 2。你知道原來(lái)的方。你知道原來(lái)的方程是什么嗎？程是什么嗎？ 三、構(gòu)造新方程三、構(gòu)造新方程練習(xí)、甲、乙二人解同一個(gè)一元二次練習(xí)、甲、乙二人解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，甲看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)所求出的根方程時(shí)，甲看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)所求出的根為為1 1，4 4；乙看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)所求出；乙看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)所求出的根是的根是-2-2，-3-3。則這個(gè)一元二次方程。則這個(gè)一元二次方程為為_(kāi) 三、構(gòu)造新方程三、構(gòu)造新方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0四、求方程中的待定系數(shù)四、

8、求方程中的待定系數(shù)例例6 6、如果如果1是方程的一個(gè)根，是方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根是則另一個(gè)根是_=_。（還有其他解法嗎？（還有其他解法嗎？) )022mxx-3練習(xí)：已知練習(xí)：已知3 3是方程是方程 的一根，求的一根，求m m及另一根及另一根230 xmx例例7 7、方程、方程 的兩根同為正數(shù)，求的兩根同為正數(shù)，求p p、q q的取值范圍的取值范圍. .02qpxx四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)變式變式: :方程方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m m的取值范圍的取值范圍. .解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1)

9、 0( 0122mmmxmx四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)一正根，一負(fù)根一正根，一負(fù)根0X1X20兩個(gè)正根兩個(gè)正根0X1X20X1+X20兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根0X1X20X1+X20例例8 8、 已知方程的兩已知方程的兩 個(gè)實(shí)數(shù)根是且個(gè)實(shí)數(shù)根是且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac0小結(jié)小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩根分別是如果注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為

10、注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac0已知兩個(gè)數(shù)的和是已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是，積是-2，則兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)是是 解法解法(一一):設(shè)兩數(shù)分別為設(shè)兩數(shù)分別為x,y則則:1 yx2 yx解得解得:x=2y=1或或 1y=2解法解法(二二):設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的兩根則的兩根則:022aa求得求得1, 221aa兩數(shù)為兩數(shù)為2,*已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù)*求未知系數(shù)的取值范圍*例題:已知關(guān)于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求證:無(wú)論k取何值時(shí),方程總有兩不相等的實(shí)數(shù)根. (2)當(dāng)k取何值時(shí),方程的一根大于1,另一根小于1?分析分析:

11、(1)(1)列出的代數(shù)式列出的代數(shù)式, ,證其恒大于零證其恒大于零(2)(x(2)(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0+360 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)由題意得由題意得:解得解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 當(dāng)當(dāng) 時(shí)方程的一根大于時(shí)方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1132m *1.當(dāng)當(dāng)a取什么值時(shí)取什么值時(shí),關(guān)于未知數(shù)關(guān)于未知數(shù)x的方程的方程ax2+4x-1=0,只有正實(shí)數(shù)根只有正實(shí)數(shù)根?*2.已知已知:x1,x2是關(guān)于是關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的兩個(gè)非零實(shí)根的兩個(gè)非零實(shí)根,問(wèn)問(wèn)x1,x2能否同號(hào)能否同號(hào)?若能同號(hào)若能同號(hào),請(qǐng)求出相應(yīng)請(qǐng)求出相應(yīng)m的取值的取值范圍范圍;若不能同號(hào)若不能同號(hào),請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由. *題題9 在在ABC中中a,b,c分別為分別為A, B,C 的對(duì)邊的對(duì)邊,且且c= ,若關(guān)于若關(guān)于x的方程的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,又方程又方程 的兩實(shí)數(shù)根的平方和為的兩實(shí)數(shù)根的平方和為6,求求ABC的面積的面積.350)35(2)35(2baxxb0sin5)sin10(22AxAx五綜合caAsin規(guī)定：1、當(dāng)、當(dāng)k為何值時(shí)，方程為何值時(shí)，方程2x