解直角三角形及其應(yīng)用——知識(shí)講解

1、解直角三角形及其應(yīng)用知識(shí)講解學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2.知道仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念；3.會(huì)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中的相關(guān)問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形設(shè)在RtABC中，C=90，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：A+B=90.邊角之間的關(guān)系：，.，h為斜邊上的高.在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素（3條邊和2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的3個(gè)未知元素，這

2、叫作解直角三角形.要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90)，是已知值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.要點(diǎn)二、解直角三角形的常見類型及解法解直角三角形的兩種類型是：(1)已知兩邊；(2)已知一銳角和一邊已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90A，銳角、對(duì)邊(如A，a)B=90A，斜邊、銳角(如c，A)B=90A，要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角

3、形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后再求解；2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)為邊.要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：(1)坡度：坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡面的坡度，用字母表示，即i=，如圖，坡度通常寫成1：m的形式，如1:3.坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.顯然，坡度等于坡角的正切，即.顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡. (2)仰角、俯角：在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下

4、看，視線與水平線的夾角叫做俯角，如圖： (3)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30，南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別地：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45. 解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，

5、建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.要點(diǎn)詮釋：解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖；非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解；例如：解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典

6、型例題】類型一、解直角三角形1在RtABC中，C90，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，根據(jù)下列條件，解這個(gè)直角三角形 (1)B=60，a4； (2)a1，【思路點(diǎn)撥】(1)首先用兩銳角互余求銳角A，再利用B的正切、余弦求b、c的值；(2)首先用正切求出B的值，再求A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值【答案與解析】解： (1)A90B906030由知，由知，(2)由得B60， A90-6030 ， 【總結(jié)升華】解直角三角形的兩種類型是：(1)已知兩邊；(2)已知一銳角和一邊解題關(guān)鍵是正確選擇邊角關(guān)系常用口訣：有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無弦(斜邊)用切(正切)舉一反三：【高清課程名稱

7、：解直角三角形及其應(yīng)用 高清ID號(hào)：395952關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（1）-（3）】【變式】（1）已知ABC中，C=90，a=2，b=2 ，求A、B和c；（2）已知ABC中，C=90，sinA=, c=6 ，求a和b.【答案】（1）c=4；A=60、B=30； （2）a=4；b=2如圖所示，在RtABC中，C90，B30，b20，解這個(gè)直角三角形【答案與解析】解：由C90知，A+B90，而B30， A90-3060又 ， c40 由勾股定理知 ，【總結(jié)升華】解這個(gè)直角三角形就是根據(jù)已知C90，B30，b20，求A、a、c的過程舉一反三：【高清課程名稱：解直角三角形及其應(yīng)用 高清I

8、D號(hào)：395952關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2】【變式】如圖，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=（1）求AB邊上的高CD；（2）求ABC的面積S；（3）求tanB 【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；（3）tanB=.類型二、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用3某中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座雕塑為了測(cè)量雕塑的高度，小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30，底部B點(diǎn)的俯角為45，小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60(如圖所示)若已知CD為10米，請(qǐng)求出雕塑AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)1.73)【思路點(diǎn)撥】通過作高，將30、

9、45、60等角放在直角三角形中，轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯栴}.【答案與解析】過點(diǎn)C作CEAB于ED906030，ACD903060，CAD180306090CD10，ACCD5 在RtACE中，AEACsinACE5sin 30，CEACcos ACE5cos 30，在RtBCE中， BCE45，6.8(米)雕塑AB的高度約為6.8米【總結(jié)升華】此題將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵，從實(shí)際操作（用三角形板測(cè)得仰角、俯角）過程中，提供作輔助線的方法，同時(shí)對(duì)仰角、俯角等概念不能模糊舉一反三：【變式1】如圖，AB是江北岸的一段路，長為3千米，C為南岸一渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋經(jīng)測(cè)量

10、得A在C北偏西30方向，B在C的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長為多少千米？（精確到0.1千米）【答案】解：過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D CD就是連接兩岸最短的橋設(shè)CD=x千米 在RtBCD中，BCD=45，BD=CD=x 在RtACD中，ACD=30，AD=CDtanACD=xtan30=xAD+DB=AB，x+x=3， 解得，x=1.9（千米）答：從C處連接兩岸的最短的橋長約為1.9千米.【變式2】（2013益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張?jiān)谛〉郎蠝y(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，PAB=38.5，PBA=2

11、6.5請(qǐng)幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置（以A，B為參照點(diǎn)，結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50） 【答案】解：設(shè)PD=x米，PDAB，ADP=BDP=90，在RtPAD中，tanPAD=，AD=x，在RtPBD中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0米，x+2x=80.0，解得：x24.6，即PD24.6米，DB=2x=49.2答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點(diǎn)約49.2米4某過街天橋的截面圖為梯形，如

12、圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為，CD的長為10 m，天橋另一斜面AB的坡角ABC45 (1)寫出過街天橋斜面AB的坡度； (2)求DE的長； (3)若決定對(duì)該過街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45坡角改為30，方便過路群眾，改建后斜面為AF，試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(結(jié)果精確到0.01m)【答案與解析】 (1)作AGBC于G，在RtAGB中，ABG45，AGBGAB的坡度 (2) 作DEBC于E，在RtDEC中，C30又CD10 m(3)由(1)知AGBG5 m，在RtAFG中，AFG30，即，解得答：改建后需占路面的寬度FB的長約為3.66 m【總結(jié)升華】（1）解梯形問題常作出它的兩條高，構(gòu)造直角三角形求解（2）坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，它等于坡角的正切值5（2013遂寧）釣魚島位于中國東海，自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)） 【思路點(diǎn)撥】首先過點(diǎn)B作BDAC于D，由題意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，則可求得ACD的度數(shù)，然